Errore di una funzione integrale.
Sia $F(x)=$$int_{0}^{x} (e^t-1)/tdt$
Mi chiede di determinare un numero razionale che approssimi $F(1)$ a meno di $10^-4$
Io avevo trovato il polinomio di taylor approssimato alla funzione e sapendo che il resto era definito come $F(x)-T(x)$ . Il punto è che non so come proseguire assolutamente.
Mi chiede di determinare un numero razionale che approssimi $F(1)$ a meno di $10^-4$
Io avevo trovato il polinomio di taylor approssimato alla funzione e sapendo che il resto era definito come $F(x)-T(x)$ . Il punto è che non so come proseguire assolutamente.
Risposte
Ciao, lo sviluppo di Taylor di $e^x=sum _(n=0)^(+oo) x^n/(n!) ~=1+x+x^2/2+x^3/6+...+o(x^n)$
Quindi $(e^t-1)/t=sum _(n=1)^(+oo) t^(n-1)/(n!) ~=1+t/2+t^2/6+t^3/24...+o(t^n)$
Sostituisci ora lo sviluppo di Taylor di $(e^t-1)/t$ nell'integrale. Lo svolgi portando la sommatoria fuori dall'integrale, a questo punto troverai ancora una sommatoria. Esplicita i primi termini della sommatoria finché non ne trovi uno $<10^(-4)$. Ora la somma dei termini fino a quello $<10^(-4)$ è il numero razionale cercato.
Quindi $(e^t-1)/t=sum _(n=1)^(+oo) t^(n-1)/(n!) ~=1+t/2+t^2/6+t^3/24...+o(t^n)$
Sostituisci ora lo sviluppo di Taylor di $(e^t-1)/t$ nell'integrale. Lo svolgi portando la sommatoria fuori dall'integrale, a questo punto troverai ancora una sommatoria. Esplicita i primi termini della sommatoria finché non ne trovi uno $<10^(-4)$. Ora la somma dei termini fino a quello $<10^(-4)$ è il numero razionale cercato.
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