Equazioni nel campo complesso

[p4ngm4n]

salve ho a che fare con equazioni semplici nel campo complesso ma non ho ben capito come si risolvono...
ad esempio in questa:
$z^6+z^4+z^2+1=0$

come procedo?z^6+z^4+z^2+1=0

[_Tipper]

Se poni $t = z^2$ l'equazione diventa $t^3 + t^2 + t + 1 = 0$, ed una radice di questa è $z^2 = t= -1$. La abbassi di grado e il gioco è fatto.

[p4ngm4n]

Si ci avevo pensato... e questa come la scompongo? con Ruffini?
$t^3+t^2+t+1=0$

[_Tipper]

Sì.

[p4ngm4n]

fatto con Ruffini, ma c'è anche un altro modo per scomporre quel polinomio?
Tipo un prodotto notevole o mi sbaglio?

[_Tipper]

Certo: ti basta raccogliere un $t^2$ fra $t^3$ e $t^2$. Anzi, così è senzìaltro più semplice.

[p4ngm4n]

grazie. Invece con questa?

$|z|-1/(|z|)=(z^2+e^(jpi/2))/(|z|)$

a parte la semplificazione che $e^(jpi/2)=j$ cosa posso fare?

[_Tipper]

Prova a porre $z = \rho e ^{j \theta}$, e guarda se così se ne può uscire...

[Mega-X]

ho risolto così io.. (non penso che sia corretto risolvere cosi pero.. )

$|z| - 1/|z| = (z^2 + j)/(|z|)$
$(z^2-1)/(|z|) = (z^2 + j)/(|z|)$

ponendo $|z| != 0$ e moltiplicando per $|z|$ tutti e 2 i membri

$z^2-1 = z^2 + j => -1 = j => "FALSO"$ dunque non è risolvibile per nessun $z$

come detto prima non ne sono sicuro di questo risultato quindi aspetta uno più esperto di me..

[_Tipper]

Il fatto è che $|z| \cdot |z|$ non è detto che sia uguale a $z^2$...

[Mega-X]

potresti darmi un esempio per favore?

[_Tipper]

Di esempi ne trovi quanti ne vuoi, per capire che quell'uguaglianza non è vera in generale basta ragionare così: $|z|$ è un numero reale non negativo (in quanto il modulo di un numero complesso è un numero reale non negativo), di conseguenza $|z| \cdot |z|$ è un numero reale non negativo (in quanto quadrato di un numero reale). Se davvero $z^2 = |z| \cdot |z|$ $\forall z \in \mathbb{C}$, allora il quadrato di ogni numero complesso sarebbe un numero reale non negativo. È possibile tutto ciò? Direi proprio di no...

[Mega-X]

perdonami sono un pazzo che si è scordato il quadrato di un binomio..

grazie comunque..

[p4ngm4n]

ritornando al problema iniziale nessuno è in grado di aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

posso provarci io
ho posto $z=a+ib$ e $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ ho sostituito, fatto tutti i calcoli e, infine, separato la parte reale da quella immaginaria, alla fine ottengo $z=+-1/(sqrt2) -+i/(sqrt2)$

[p4ngm4n]

ho provato anche io così solo che non riesco ad ottenere un risultato...m spieghi come hai fatto?

[Camillo]

Non ho letto tutti i post , farei così
$z^4(z^2+1)+(z^2+1) = 0 $ da cui

$(z^4+1)(z^2+1)=0 $
si tratt quindi di trovare le radici quarte e le radici seconde di $-1 $ che è semplice.


EDIT: mi riferivo al primo esercizio .

[Sk_Anonymous]

Io ho svolto così
$|z| - 1/|z| = (z^2 + j)/(|z|)$

$|z| - 1/|z| = (z^2 + i)/(|z|)$
$|z|^2 - 1 = z^2 + i$

$a^2 +b^2-1=a^2 +2iab-b^2 +i$

$2b^2 -1=2iab+i$

$2b^2 -1=0$ quindi $b=+-1/(sqrt2)$
$2ab+1=0$ sostituendo b ottengo $a=-+1/(sqrt2)$

$z=+-1/(sqrt2) -+i/(sqrt2)$

[p4ngm4n]

amelia penso il tuo ragionamento sia sbagliato proprio per quello ke diceva Tipper qualche post fa...

[Sk_Anonymous]

Definizione di $|z|$ distanza di z dall'origine del piano di Gauss, quindi valore positivo, quando poni $z=a+ib$ ottieni $|z|=sqrt(a^2 +b^2)$ mentre $z^2=(a+ib)^2=a^2+2iab+i^2 b^2=a^2+2iab-b^2$ che non è altro che il quadrato del binomio calcolato con i numeri complessi.

Io non ho mai imposto che il quadrato del numero complesso sia positivo.

E poi basta che tu sostituisca le soluzioni nell'equazione per verificare che ... sono quelle giuste!

[p4ngm4n]

grazie amelia per la tua spiegazione.
Allo stesso modo ho risolto un'equazione simile alla precedente posto i calcoli per avere conferma:

$(|z|^2)/z_c=2z+zz_cj$

dove $z=x+jy$ e $z_c=x-jy$

$z=2z+|z|^2j$

$x+jy+(x^2+y^2)j=0$

separando parte reale e parte immaginaria ottengo:

$x=0$

$x^2+y^2+y=0=>y^2+y=0=>y_1=0$ ; $y_2=-1$

la soluzione z=0 non è accettabile
quindi l'unica soluzione è $z=-j$