Equazioni esponenziali
Buongiorno, mi chiamo Samuel e sto ripassando per un test di autovalutazione che dovrò sostenere all'università.
Ho studiato in passato e ripassato, un po' dopo, gli argomenti principali di analisi 1, ma col disuso ho dimenticato un po'.
Stavo ripassando le equazioni esponenziali e mi sono imbattuto in un esercizio preso da un noto sito che si occupa dell'argomento.
Ho provato a risolverlo almeno cinque volte, ma nulla. Vi posto uno dei miei tentativi.
Il testo è il seguente:
$(3^(x+1))/25*sqrt(3)=sqrt(25^x*root(3)(3^(x-1)))$
il mio procedimento:
(ho numerato le righe, così magari vi viene più semplice farvi riferimento, se necessario)
Dove sbaglio?
Quale altro procedimento dovrei seguire?
Vi ringrazio in anticipo.
Ho studiato in passato e ripassato, un po' dopo, gli argomenti principali di analisi 1, ma col disuso ho dimenticato un po'.
Stavo ripassando le equazioni esponenziali e mi sono imbattuto in un esercizio preso da un noto sito che si occupa dell'argomento.
Ho provato a risolverlo almeno cinque volte, ma nulla. Vi posto uno dei miei tentativi.
Il testo è il seguente:
$(3^(x+1))/25*sqrt(3)=sqrt(25^x*root(3)(3^(x-1)))$
il mio procedimento:
(ho numerato le righe, così magari vi viene più semplice farvi riferimento, se necessario)
Dove sbaglio?
Quale altro procedimento dovrei seguire?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
alla fine, puoi notare che
$3^(x5/6)=(3^(5/6))^x$
Il vantaggio sta nel fatto che ora puoi fare:
$(3^(5/6))^x/5^x= ((3^(5/6))/5)^x$
Ora applicando il logaritmo in base $b=((3^(5/6))/5)$ ad entrambi i membri dell'equazione , arrivi alla soluzione
$3^(x5/6)=(3^(5/6))^x$
Il vantaggio sta nel fatto che ora puoi fare:
$(3^(5/6))^x/5^x= ((3^(5/6))/5)^x$
Ora applicando il logaritmo in base $b=((3^(5/6))/5)$ ad entrambi i membri dell'equazione , arrivi alla soluzione
"Ernesto01":
alla fine, puoi notare che
$3^(x5/6)=(3^(5/6))^x$
Il vantaggio sta nel fatto che ora puoi fare:
$(3^(5/6))^x/5^x= ((3^(5/6))/5)^x$
Ora applicando il logaritmo in base $b=((3^(5/6))/5)$ ad entrambi i membri dell'equazione , arrivi alla soluzione
Intanto grazie mille per la risposta;
ma la soluzione la trovo sotto forma di logaritmo?
Forse ho frainteso il concetto di applicare un logaritmo (non sono molto esperto); comunque ho riscritto il membro di destra sotto forma di logaritmo in base $b$ e l'ho posto uguale a x:
$log(3^(5/6)/5)(25*3^(-5/3))=x$ (la prima parentesi sarebbe la base, non so come inserirla al pedice con le formule)
Però il sito mi dà una soluzione espressa in numero intero, non in logaritmo...
Ciao longosamuel,
La soluzione è $x = - 2 $. Si vede abbastanza bene anche dalla tua riga 4)...
La soluzione è $x = - 2 $. Si vede abbastanza bene anche dalla tua riga 4)...
"pilloeffe":
Ciao longosamuel,
La soluzione è $x = - 2 $. Si vede abbastanza bene anche dalla tua riga 4)...
Ciao, grazie per la risposta;
sì a occhio lo vedo, però matematicamente come lo scrivo? Cioè quale sarebbe il passaggio, se non riuscissi a capire la soluzione "a occhio"?
Prego.
Devi cercare di avere al membro di destra dell'equazione la stessa base $frac{3^{5/6}}{5} $ che hai al membro di sinistra...
Devi cercare di avere al membro di destra dell'equazione la stessa base $frac{3^{5/6}}{5} $ che hai al membro di sinistra...
Ecco, partendo dall'equazione che hai scritto te.
Utilizzando la formula del cambiamento di base dei logaritmi, trasformiamo in base $e$, hai:
$x=(log (25*3^(-5/3)))/log(5^(-1)3^(5/6))$
E ora applicando la formula $log(xy)=log(x)+log(y)$ e la formula $log(x^(alpha))=alphalog(x)$
$x=(2log5-5/3log3)/(5/6log(3)-log(5))=-2((5/6log3-log5)/(5/6log3-log5))=-2*1=-2$
Utilizzando la formula del cambiamento di base dei logaritmi, trasformiamo in base $e$, hai:
$x=(log (25*3^(-5/3)))/log(5^(-1)3^(5/6))$
E ora applicando la formula $log(xy)=log(x)+log(y)$ e la formula $log(x^(alpha))=alphalog(x)$
$x=(2log5-5/3log3)/(5/6log(3)-log(5))=-2((5/6log3-log5)/(5/6log3-log5))=-2*1=-2$
Sì beh, è corretta anche la soluzione di Ernesto01, ma si può evitare di far intervenire i logaritmi. Partendo dalla tua quarta riga, si ha:
$((3^(5/6))/5)^x = 5^2 \cdot 3^(- 5/3) = (3^(- 5/3))/5^{-2} = (3^(5/6))^{-2}/5^{-2} = ( (3^(5/6))/5)^{- 2} \implies x = - 2$
$((3^(5/6))/5)^x = 5^2 \cdot 3^(- 5/3) = (3^(- 5/3))/5^{-2} = (3^(5/6))^{-2}/5^{-2} = ( (3^(5/6))/5)^{- 2} \implies x = - 2$
Perfetto, grazie a tutti, mi avete dato delle spiegazioni più che esaustive!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo