Equazioni differenziali- prolungamento delle soluzioni
Ciao a tutti.
Ho il seguente problema di Cauchy, molto semplice poichè sono agli inizi.
$y' =|y|^a , y(0)=b$ a fa parte di R+ e b fa parte di R
Ora: $ f(y)=|y|^a $ è continua in R, se a>0
è derivabile con continuita in R se a>1
è lipschitziana se a> 1 poichè in questo caso $||y1|-|y2||<= |y1|-|y2|$
Se $ 0
Di conseguenza si puo dire che esiste una soluzione (locale) per ogni a e per ogni b. Tale soluzione è unica
per ogni b se $a>=1$ e per $b<>0$ se $ 0
So cosa significa in teoria ma non so metterlo in pratica…………..
Prendiamo il caso $a>1$ $y(0)=b, b<>0$
Il testo dice che in questo caso la soluzione non è prolungabile in R. ..(mentre negli altri casi si)
Ma perché ? ? Dopo aver studiato i teoremi di unicità e prolungabilità sono ancora in alto mare.
Qualcuno puo darmi una dritta almeno per questo primo problema ???
Ho il seguente problema di Cauchy, molto semplice poichè sono agli inizi.
$y' =|y|^a , y(0)=b$ a fa parte di R+ e b fa parte di R
Ora: $ f(y)=|y|^a $ è continua in R, se a>0
è derivabile con continuita in R se a>1
è lipschitziana se a> 1 poichè in questo caso $||y1|-|y2||<= |y1|-|y2|$
Se $ 0
Di conseguenza si puo dire che esiste una soluzione (locale) per ogni a e per ogni b. Tale soluzione è unica
per ogni b se $a>=1$ e per $b<>0$ se $ 0
So cosa significa in teoria ma non so metterlo in pratica…………..
Prendiamo il caso $a>1$ $y(0)=b, b<>0$
Il testo dice che in questo caso la soluzione non è prolungabile in R. ..(mentre negli altri casi si)
Ma perché ? ? Dopo aver studiato i teoremi di unicità e prolungabilità sono ancora in alto mare.
Qualcuno puo darmi una dritta almeno per questo primo problema ???
Risposte
ciao, sto studiando pure io le equazioni differenziali. per quanto riguarda la prolungabilità, potresti esporre il teorema che hai studiato?
Ciao, per quanto riguarda la prolungabilità delle soluzioni, partendo dal "teorema di esistenza e unicita locale".
Non esiste un vero e proprio teorema ma un criterio di analisi delle soluzioni, che coinvolge il concetto di " intervallo massimale" di definizione.
Ossia , la soluzione del p.d.C. possiede un intervallo massimale destro di esistenza [t0, Tmax) ed uno sinistro (Tmin,t0] con Tmax<= +inf e Tmin>= -inf. Cioè la soluzione puo essere estesa per tutto l'intervallo massimale di definizione che puo essere piu ampio dell'aperto D entro il guale la funzione f (Y'=f(x,y)) è derivabile con continuità oppure localmente lipschitziana.
Se Tmax = +inf e Tmin =-inf , la soluzione si dice indefinibilmente prolungabile.....
E qui mi perdo!!!
Per quanto riguarda i testi, ne sto utilizzando diversi: Analisi Matematica vol. 2 di Pagani Salsa, e l' Ebook " Introduzione all'analisi qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie" di Squassina - Zuccher ed. Apogeo.
Non esiste un vero e proprio teorema ma un criterio di analisi delle soluzioni, che coinvolge il concetto di " intervallo massimale" di definizione.
Ossia , la soluzione del p.d.C. possiede un intervallo massimale destro di esistenza [t0, Tmax) ed uno sinistro (Tmin,t0] con Tmax<= +inf e Tmin>= -inf. Cioè la soluzione puo essere estesa per tutto l'intervallo massimale di definizione che puo essere piu ampio dell'aperto D entro il guale la funzione f (Y'=f(x,y)) è derivabile con continuità oppure localmente lipschitziana.
Se Tmax = +inf e Tmin =-inf , la soluzione si dice indefinibilmente prolungabile.....
E qui mi perdo!!!
Per quanto riguarda i testi, ne sto utilizzando diversi: Analisi Matematica vol. 2 di Pagani Salsa, e l' Ebook " Introduzione all'analisi qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie" di Squassina - Zuccher ed. Apogeo.
neanch'io ci capisco granchè per adesso, le ho iniziate da poco.
non ho capito come fai a dedurre la lipschitzianità: dovresti dimostrare che [tex]||y_2|^a - |y_1|^a | < |y_2 - y_1|[/tex]. per a=1 questa è la disuguaglianza triangolare, ma per a diverso da 1 non mi pare scontata la disuguaglianza. piuttosto direi che, essendo f di classe C1 per a > 1, allora puoi dedurre che è localmente lipschitziana.
poi, sopra scrivi "Se 0
non ho capito come fai a dedurre la lipschitzianità: dovresti dimostrare che [tex]||y_2|^a - |y_1|^a | < |y_2 - y_1|[/tex]. per a=1 questa è la disuguaglianza triangolare, ma per a diverso da 1 non mi pare scontata la disuguaglianza. piuttosto direi che, essendo f di classe C1 per a > 1, allora puoi dedurre che è localmente lipschitziana.
poi, sopra scrivi "Se 0
Per quanto riguarda la Lipschitzianita io la interpreto cosi:
considero un intervallo [a,b] nel quale la funzione f risulta continua e derivabile.
Utilizzando il teorema di Langrange (del valor medio) so che per ogni x1,x2 appartenenti ad [a,b] esiste un punto c opportuno
tale che
f(x1) - f (x2) = (x1 - x2) * f '(c)
Se f '(x) continua in [a,b] allora per il teorema di Weierstrass deve avere un punto M massimo locale in [a,b].
scelgo c tale che f '(c) = M utilizzando la disuguaglianza triangolare ||f(x1)| - |f (x2)| <= M*|x1 - x2|
Nel p.d.C. in oggetto se a>1 essendo $ (|y|^a)' = R^1 $ il gioco mi sembra chiaro.
se a=1 basta la disuguaglianza triangolare come tu hai detto.
considero un intervallo [a,b] nel quale la funzione f risulta continua e derivabile.
Utilizzando il teorema di Langrange (del valor medio) so che per ogni x1,x2 appartenenti ad [a,b] esiste un punto c opportuno
tale che
f(x1) - f (x2) = (x1 - x2) * f '(c)
Se f '(x) continua in [a,b] allora per il teorema di Weierstrass deve avere un punto M massimo locale in [a,b].
scelgo c tale che f '(c) = M utilizzando la disuguaglianza triangolare ||f(x1)| - |f (x2)| <= M*|x1 - x2|
Nel p.d.C. in oggetto se a>1 essendo $ (|y|^a)' = R^1 $ il gioco mi sembra chiaro.
se a=1 basta la disuguaglianza triangolare come tu hai detto.
Per la continuita uniforme io faccio questo ragionamento: se $ f=|x|^a , a>1$ allora essendo $f ' = sign(x)*a *x^(a-1)$ se faccio
$lim x->0 f '(x) = 0$ in questo caso f è derivabile con continuità. Se pero a=1, f '(x) = segn(x) e non ho piu $lim x->0 f '(x) = 0$
Cioè in questo caso la derivata di f non è continua in 0.
Cosa ne pensi?
$lim x->0 f '(x) = 0$ in questo caso f è derivabile con continuità. Se pero a=1, f '(x) = segn(x) e non ho piu $lim x->0 f '(x) = 0$
Cioè in questo caso la derivata di f non è continua in 0.
Cosa ne pensi?
per la prima risposta, sì: non hai fatto altro che dimostrare quanto asserivo sopra, e cioè che una funzione di classe C1 è localmente lipschitziana. anche la seconda deduzione mi pare corretta.
ma il libro giustifica un po' quello che dice o ti dà solo il risultato?
ma il libro giustifica un po' quello che dice o ti dà solo il risultato?
Purtroppo da solo risultati. Per esempio... vorrei postarti il pdf di una pagina ma non so come fare. Comunque:
ESEMPIO 1. il problema di Cauchy $ y'(t) =3 y^(2/3) , y(0) = 0 $ Non ha mai una soluzione unica comunque piccolo scegliamo l'intervallo
contenete y0. Avremo sempre almeno due soluzioni cioè $x^3$ e $ 0$.
ESEMPIO 2. il problema di Cauchy $ y'(t) =3 y^(2/3) , y(0) = 1 $ Questo problema ha una ed una sola soluzione nell'intervallo [1/2, 3/2] ed è X^3. x^3 è UNA SOLUZIONE MASSIMALE
ESEMPIO 1. il problema di Cauchy $ y'(t) =3 y^(2/3) , y(0) = 0 $ Non ha mai una soluzione unica comunque piccolo scegliamo l'intervallo
contenete y0. Avremo sempre almeno due soluzioni cioè $x^3$ e $ 0$.
ESEMPIO 2. il problema di Cauchy $ y'(t) =3 y^(2/3) , y(0) = 1 $ Questo problema ha una ed una sola soluzione nell'intervallo [1/2, 3/2] ed è X^3. x^3 è UNA SOLUZIONE MASSIMALE
ma non capisco sinceramente: il risultato dell'esempio 1 è comprensibile, nel senso che non mi sembra che f(y) sia localmente lipschitziana (la derivata tende ad infinito se y tende a 0).
il problema è l'esempio 2: ho anche provato a sostituire, e per ogni x la soluzione è effettivamente $y = (x+1)^3$. per l'unicità io direi che non essendo localmente lipschitziana in ogni intervallo contenente y = 0, la soluzione è unica in ogni intervallo $[a,b]$ contenuto in $]0, +infty[$ o $]-infty,0[$, e non c'è un intervallo massimale di esistenza delle soluzioni.
il problema è l'esempio 2: ho anche provato a sostituire, e per ogni x la soluzione è effettivamente $y = (x+1)^3$. per l'unicità io direi che non essendo localmente lipschitziana in ogni intervallo contenente y = 0, la soluzione è unica in ogni intervallo $[a,b]$ contenuto in $]0, +infty[$ o $]-infty,0[$, e non c'è un intervallo massimale di esistenza delle soluzioni.
E no enr. Questa equazione differenziale ti dà problemi di unicità quando le soluzioni toccano l'asse delle $x$ (formalmente, quando esiste una $x$ tale che $y(x)=0$). Ma negli altri punti del piano no. Quindi per il secondo problema di Cauchy puoi aspettarti esistenza e unicità locale e anche esistenza di un unico prolungamento massimale se la soluzione non tocca mai l'asse delle $x$.
"dissonance":
E no enr. Questa equazione differenziale ti dà problemi di unicità quando le soluzioni toccano l'asse delle $x$ (formalmente, quando esiste una $x$ tale che $y(x)=0$). Ma negli altri punti del piano no. Quindi per il secondo problema di Cauchy puoi aspettarti esistenza e unicità locale e anche esistenza di un unico prolungamento massimale se la soluzione non tocca mai l'asse delle $x$.
cavolo hai ragione, ho fatto confusione con gli intervalli! allora mi pare sia sufficiente prendere un intervallo che non contenga x = -1, cioè lì la soluzione esiste ed è unica, giusto?
Cosa c'entra $x=-1$? non capisco... Come ci sei arrivato? Non è che stai confondendo $x$ e $y$?
Io farei così per il secondo problema: siccome mi aspetto esistenza e unicità locale, e siccome il dato iniziale è non nullo, posso supporre che, localmente, la soluzione del pdC sia non nulla: $y!=0$ in un intorno di $x=0$. Allora posso dividere per $y$ e integrare a variabili separabili.
Io farei così per il secondo problema: siccome mi aspetto esistenza e unicità locale, e siccome il dato iniziale è non nullo, posso supporre che, localmente, la soluzione del pdC sia non nulla: $y!=0$ in un intorno di $x=0$. Allora posso dividere per $y$ e integrare a variabili separabili.
a questo punto mi viene da farti questa domanda, che in realtà era la risposta che avevo dato nel post che ho appena cancellato: quando faccio la divisione per y, suppongo che y sia non nulla, altrimenti non sarebbe possibile dividere. premesso che la soluzione del problema è $y = (x+1)^3$, io noto che y si annulla in x = -1: cosa si dovrebbe dire circa l'intervallo di esistenza delle soluzioni allora? tra l'altro mi pare che sul mio libro facciano un esempio un po' ambiguo a riguardo, ma eventualmente apro un altro topic più tardi.
Eh purtroppo questo è un argomento su cui anche nei libri si trovano parecchi errori. Ecco una discussione di un paio d'anni fa nella quale è saltato fuori un errore sul libro di Salsa e Pagani (grazie a Fioravante Patrone e a ViciousGoblin).
Allora tu hai trovato che $y(x)=(x+1)^3$ è una soluzione del pdC definita in tutto $RR$. Puoi stare tranquillo che nell'intervallo $(-1, infty)$ non ce ne sono altre, perché sei in ipotesi di esistenza e unicità e come sai in questi casi le curve integrali non possono toccarsi. Ma tu ti chiedi: e in intervalli più grandi ho ancora unicità? Risposta: NO.
Per esempio la funzione $y^\star(x)={((x+1)^3, x\in[-1, infty)), (0, x\in(-infty, -1)):}$ è un'altra soluzione del pdC (verifica a mano che è derivabile, soddisfa l'equazione differenziale e anche la condizione iniziale). Hai quindi ALMENO due soluzioni distinte, in realtà ce ne saranno anche altre e con un po' di pazienza si potrebbe anche scriverle tutte.
Morale della favola: quando non ci sono teoremi di esistenza e unicità, studiare le equazioni differenziali è parecchio più difficile.
Allora tu hai trovato che $y(x)=(x+1)^3$ è una soluzione del pdC definita in tutto $RR$. Puoi stare tranquillo che nell'intervallo $(-1, infty)$ non ce ne sono altre, perché sei in ipotesi di esistenza e unicità e come sai in questi casi le curve integrali non possono toccarsi. Ma tu ti chiedi: e in intervalli più grandi ho ancora unicità? Risposta: NO.
Per esempio la funzione $y^\star(x)={((x+1)^3, x\in[-1, infty)), (0, x\in(-infty, -1)):}$ è un'altra soluzione del pdC (verifica a mano che è derivabile, soddisfa l'equazione differenziale e anche la condizione iniziale). Hai quindi ALMENO due soluzioni distinte, in realtà ce ne saranno anche altre e con un po' di pazienza si potrebbe anche scriverle tutte.
Morale della favola: quando non ci sono teoremi di esistenza e unicità, studiare le equazioni differenziali è parecchio più difficile.
bhè, ti ringrazio molto. un'altra cosa: essendo f lipschitziana anche nell'intervallo $(-infty, -1)$ perchè ivi C1, se il dato iniziale fosse stato dato in un istante $t_0 < -1$ avrei sempre trovato un'unica soluzione in $(-infty, -1)$, giusto?
[edit] ho riletto sul libro. data un'equazione $y' = g(x)h(y)$, relativamente alle equazioni differenziali omogenee loro parlano di "procedimento formale" quando dividono per h(y), ovvero dicono che non ci si deve preoccupare di escludere eventuali y tali che h(y) = 0: si fa senza problemi, come se fosse sempre lecito. a questo punto mi chiedo: il motivo per cui prima abbiamo escluso y = 0 era legato al fatto che lì la f(y) non era localmente lipschitziana o era relazionato anche con altro?
[edit] ho riletto sul libro. data un'equazione $y' = g(x)h(y)$, relativamente alle equazioni differenziali omogenee loro parlano di "procedimento formale" quando dividono per h(y), ovvero dicono che non ci si deve preoccupare di escludere eventuali y tali che h(y) = 0: si fa senza problemi, come se fosse sempre lecito. a questo punto mi chiedo: il motivo per cui prima abbiamo escluso y = 0 era legato al fatto che lì la f(y) non era localmente lipschitziana o era relazionato anche con altro?
Scusami dissonance, ma è proprio qui il punto che vorrei chiarire. Nel secondo esempio la soluzione $ y=(x+1)^3$ tocca l'asse delle x
con x=-1. Qui ho un punto di flesso. Ma perchè in questo punto non ho unicita? Non capisco cosa mi sfugge o che cosa non considero...
con x=-1. Qui ho un punto di flesso. Ma perchè in questo punto non ho unicita? Non capisco cosa mi sfugge o che cosa non considero...
Oppure forse si ho capito. Se faccio il limite di $ (x+1)^3 $ per x-> -1+ ho 0+ mentre il limite per x-> -1- mi da 0-. Per questo motivo non ho unicità di soluzione. E' così ??
credo che la questione sia questa: per l'unicità guardi che l'ipotesi di lipschitzianità locale soddisfatta (altrimenti non è detto che non sia unica, infatti è solo una condizione sufficiente). se y si annulla (in x = -1), tuttavia, la derivata tende a infinito e dunque perdi la lipschitzianità. in questo caso dissonance ha trovato un'altra soluzione oltre a $y = (x+1)^3$ in $RR$, cioè $y^*(x)$. per questo motivo ha potuto affermare che la soluzione non è unica in $RR$
Io la lipschitzianità la consideravo solo per f, per stabilire appunto una condizione sufficiente all'unicita delle soluzioni. Se manca questa condizione mi posso aspettare soluzioni multiple in uno stesso intorno (della x). ... Comunque mi sembra di cominciare a capire... devo testare altri esercizi...
sì, la lipschitzianità va considerata per f (non so se ti ho fatto confusione sopra, magari dimmi dove)
Quando scrivi .... se y si annulla (in x = -1), tuttavia, la derivata tende a infinito e dunque perdi la lipschitzianità. Ma forse ho frainteso.
Comunque ora devo ragionarci su. Soprattutto sulla "prolungabilità delle suluzioni"
Comunque ora devo ragionarci su. Soprattutto sulla "prolungabilità delle suluzioni"
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