Equazioni differenziali- prolungamento delle soluzioni
Ciao a tutti.
Ho il seguente problema di Cauchy, molto semplice poichè sono agli inizi.
$y' =|y|^a , y(0)=b$ a fa parte di R+ e b fa parte di R
Ora: $ f(y)=|y|^a $ è continua in R, se a>0
è derivabile con continuita in R se a>1
è lipschitziana se a> 1 poichè in questo caso $||y1|-|y2||<= |y1|-|y2|$
Se $ 0
Di conseguenza si puo dire che esiste una soluzione (locale) per ogni a e per ogni b. Tale soluzione è unica
per ogni b se $a>=1$ e per $b<>0$ se $ 0
So cosa significa in teoria ma non so metterlo in pratica…………..
Prendiamo il caso $a>1$ $y(0)=b, b<>0$
Il testo dice che in questo caso la soluzione non è prolungabile in R. ..(mentre negli altri casi si)
Ma perché ? ? Dopo aver studiato i teoremi di unicità e prolungabilità sono ancora in alto mare.
Qualcuno puo darmi una dritta almeno per questo primo problema ???
Ho il seguente problema di Cauchy, molto semplice poichè sono agli inizi.
$y' =|y|^a , y(0)=b$ a fa parte di R+ e b fa parte di R
Ora: $ f(y)=|y|^a $ è continua in R, se a>0
è derivabile con continuita in R se a>1
è lipschitziana se a> 1 poichè in questo caso $||y1|-|y2||<= |y1|-|y2|$
Se $ 0
Di conseguenza si puo dire che esiste una soluzione (locale) per ogni a e per ogni b. Tale soluzione è unica
per ogni b se $a>=1$ e per $b<>0$ se $ 0
So cosa significa in teoria ma non so metterlo in pratica…………..
Prendiamo il caso $a>1$ $y(0)=b, b<>0$
Il testo dice che in questo caso la soluzione non è prolungabile in R. ..(mentre negli altri casi si)
Ma perché ? ? Dopo aver studiato i teoremi di unicità e prolungabilità sono ancora in alto mare.
Qualcuno puo darmi una dritta almeno per questo primo problema ???
Risposte
@enr: Non è questione di "lecito" o "non lecito" (quanto odio questo aggettivo!). Quando, nell'equazione $y'=g(x)h(y)$, dividi per $h(y)$, stai dicendo: qualunque soluzione dell'equazione, che in più non annulla $h(y(x))$ in nessun punto di tutto un intervallo, verifica la relazione $\frac{y'}{h(y)}=g(x)$. Integrandola si trova una espressione esplicita per la $y$.
Il problema è che questo procedimento NON TROVA tutte le soluzioni!
Infatti questo ti permette di trovare tutte le soluzioni che verificano la condizione in sottolineato, ma non le altre. Se sei in ipotesi di esistenza e unicità, le altre le trovi subito: per ogni $c$ zero di $h(y)$ ne hai una, la costante $y(x)-=c$ e sei tranquillo che non ce ne sono più.
Senza esistenza e unicità è tutto più difficile: in generale in casi come questo le soluzioni trovate separando le variabili e le soluzioni costanti si possono incollare, come nella $y^\star$ del post precedente, formando ulteriori soluzioni che la procedura standard non trova. Un altro esempio istruttivo, ma abbastanza difficile, di un fenomeno analogo lo trovi nel topic che ho linkato prima.
Il problema è che questo procedimento NON TROVA tutte le soluzioni!
Infatti questo ti permette di trovare tutte le soluzioni che verificano la condizione in sottolineato, ma non le altre. Se sei in ipotesi di esistenza e unicità, le altre le trovi subito: per ogni $c$ zero di $h(y)$ ne hai una, la costante $y(x)-=c$ e sei tranquillo che non ce ne sono più.
Senza esistenza e unicità è tutto più difficile: in generale in casi come questo le soluzioni trovate separando le variabili e le soluzioni costanti si possono incollare, come nella $y^\star$ del post precedente, formando ulteriori soluzioni che la procedura standard non trova. Un altro esempio istruttivo, ma abbastanza difficile, di un fenomeno analogo lo trovi nel topic che ho linkato prima.
Col post precedente mi riferivo a
mentre scrivevo avete parlato anche di altro, e le considerazioni che avete fatto sono corrette.
P.S.: Ma da quale libro è preso questo stralcio, enr? "Procedimento formale"... che brutto modo di dire le cose. Non mi piace proprio. Ma ti dirò, su questo argomento praticamente tutti i libri di Analisi 2 fanno acqua. Vediti la dispensa di Fioravante sull'urang-utang, se hai tempo, che è piccola e getta un po' di luce.
"enr87":
bhè, ti ringrazio molto. un'altra cosa: essendo f lipschitziana anche nell'intervallo $(-infty, -1)$ perchè ivi C1, se il dato iniziale fosse stato dato in un istante $t_0 < -1$ avrei sempre trovato un'unica soluzione in $(-infty, -1)$, giusto?
[edit] ho riletto sul libro. data un'equazione $y' = g(x)h(y)$, relativamente alle equazioni differenziali omogenee loro parlano di "procedimento formale" quando dividono per h(y), ovvero dicono che non ci si deve preoccupare di escludere eventuali y tali che h(y) = 0: si fa senza problemi, come se fosse sempre lecito. a questo punto mi chiedo: il motivo per cui prima abbiamo escluso y = 0 era legato al fatto che lì la f(y) non era localmente lipschitziana o era relazionato anche con altro?
mentre scrivevo avete parlato anche di altro, e le considerazioni che avete fatto sono corrette.
P.S.: Ma da quale libro è preso questo stralcio, enr? "Procedimento formale"... che brutto modo di dire le cose. Non mi piace proprio. Ma ti dirò, su questo argomento praticamente tutti i libri di Analisi 2 fanno acqua. Vediti la dispensa di Fioravante sull'urang-utang, se hai tempo, che è piccola e getta un po' di luce.
al link seguente trovi il procedimento che ti ho detto prima (parte dal basso della prima pagina)
http://img693.imageshack.us/gal.php?g=11778033.jpg
il libro è "analisi matematica" di bertsch-dal passo-giacomelli
mi leggerò la dispensa di fioravante, comunque un po' alla volta mi stai illuminando anche tu
@raimond: mi riferivo alla lipschitzianità locale di f
http://img693.imageshack.us/gal.php?g=11778033.jpg
il libro è "analisi matematica" di bertsch-dal passo-giacomelli
mi leggerò la dispensa di fioravante, comunque un po' alla volta mi stai illuminando anche tu
@raimond: mi riferivo alla lipschitzianità locale di f
Ho letto. Attenzione che l'autore sta parlando di equazioni lineari, che verificano sempre un teorema di esistenza e unicità (addirittura globale): ecco perché può permettersi di fare i passaggi in tutta leggerezza, senza preoccuparsi di perdere soluzioni.
In questo caso la locuzione "procedimento formale" è da interpretarsi come "regola mnemonica", come dire: i passaggi che faccio non hanno senso (come la divisione per $"d"x$) ma il risultato a cui arrivo è corretto e con questa strada è facile da ricordare.
In questo caso la locuzione "procedimento formale" è da interpretarsi come "regola mnemonica", come dire: i passaggi che faccio non hanno senso (come la divisione per $"d"x$) ma il risultato a cui arrivo è corretto e con questa strada è facile da ricordare.
ok , mi pare che rimandi a quei due punti anche quando tratta le equazioni omogenee. ma fa niente, ormai ho capito come si fa.
grazie
grazie
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