Equazioni differenziali non riconducibili.
Salve ragazzi, una domanda: quando abbiamo equazioni differenziali non riconducibili a forme conosciute, come ci comportiamo? Es
$ y'=sen((x+y)/(2x-y)) +1 $
$ y(1)=-1 $
Ho provato a fare la sostituzione z=y/x raccogliendo dentro il seno ma non mi porta da nessuna parte... Mi sapete suggerire qualcosa?? Grazie infinite
$ y'=sen((x+y)/(2x-y)) +1 $
$ y(1)=-1 $
Ho provato a fare la sostituzione z=y/x raccogliendo dentro il seno ma non mi porta da nessuna parte... Mi sapete suggerire qualcosa?? Grazie infinite
Risposte
prova a porre l'argomento del seno uguale a z e vedi che succede
Ci ho provato ma così non riesco ad isolare la y per farci la derivata...non si riconduce a nulla!!
o anche questo tipo:
$ y'=cosh(2x-2y+1) $
ponendo la sostituzione z(x)= 2x-2y quindi
$ z'=2-2y' $
e dunque
$ y'=-1/2z'+1 $
si giunge alla: $ -1/2z'+1=cosh(z+1) $
che in verità penso non si riconduca a niente (anche perchè a variabili separabili questa non si risolve).... Sono quasi convinto che bisogna fare una qualche osservazione ma a me sfugge e quindi spero in qualcuno più acuto di me... Qualcuno suggerisce??
$ y'=cosh(2x-2y+1) $
ponendo la sostituzione z(x)= 2x-2y quindi
$ z'=2-2y' $
e dunque
$ y'=-1/2z'+1 $
si giunge alla: $ -1/2z'+1=cosh(z+1) $
che in verità penso non si riconduca a niente (anche perchè a variabili separabili questa non si risolve).... Sono quasi convinto che bisogna fare una qualche osservazione ma a me sfugge e quindi spero in qualcuno più acuto di me... Qualcuno suggerisce??
@francescojordan: Qual è il testo completo dell'esericizio?
Sei sicuro che ti serva necessariamente la soluzione in forma chiusa per risolvere?
Sei sicuro che ti serva necessariamente la soluzione in forma chiusa per risolvere?
Allora, la richiesta per il secondo è:
Trovare la soluzione del seguente problema di valori iniziali:
$ y'=cosh(2x-2y+1) $
$ Y(0)=1 $
mentre per il primo è:
Trovare la soluzione del seguente problema:
$ y'=sen ((x+y)/(2x-y))-1 $
$ y(1)=-1 $
Mi ricordo vagamente che un mio compagno aveva accennato che come unica soluzione era quella presente ma atraverso un 'osservazione che non ricordo... Sostituendo a me pare che non ri risolva nulla... Boh...
Trovare la soluzione del seguente problema di valori iniziali:
$ y'=cosh(2x-2y+1) $
$ Y(0)=1 $
mentre per il primo è:
Trovare la soluzione del seguente problema:
$ y'=sen ((x+y)/(2x-y))-1 $
$ y(1)=-1 $
Mi ricordo vagamente che un mio compagno aveva accennato che come unica soluzione era quella presente ma atraverso un 'osservazione che non ricordo... Sostituendo a me pare che non ri risolva nulla... Boh...
Allora, forse ci sto arrivando... penso bisogna utilizzare il teorema di esistenza e unicità del problema di cauchy:
Condizioni:
F(x,y) continua,
F(x,y) lipschitziana---> la derivata rispetto a y deve essere continua nel dominio
Tesi: La soluzione è unica.
Per il primo problema
Dominio
$ 2x-y != 0 $
Derivata rispetto y
$ del f(x,y)/(dely)= cos ((x+y)/(2x-y)) * ((2x-y)+(x+y))/(2x-y)^2 $
Le condizioni sono rispettate e quindi
y(1)=-1 è soluzione unica...
Qualcuno mi corregge?
Condizioni:
F(x,y) continua,
F(x,y) lipschitziana---> la derivata rispetto a y deve essere continua nel dominio
Tesi: La soluzione è unica.
Per il primo problema
Dominio
$ 2x-y != 0 $
Derivata rispetto y
$ del f(x,y)/(dely)= cos ((x+y)/(2x-y)) * ((2x-y)+(x+y))/(2x-y)^2 $
Le condizioni sono rispettate e quindi
y(1)=-1 è soluzione unica...
Qualcuno mi corregge?
Sul fatto che i due problemi abbiano soluzione unica non credo ci piova.
Tuttavia le soluzioni di quei problemi non credo affatto siano esprimibili elementarmente.
Perciò, ti torno a ripetere: sei sicuro che il testo dell'esercizio sia "Trovare la soluzione di..." e non "Dimostrare che il problema... ha unica soluzione"?
Tuttavia le soluzioni di quei problemi non credo affatto siano esprimibili elementarmente.
Perciò, ti torno a ripetere: sei sicuro che il testo dell'esercizio sia "Trovare la soluzione di..." e non "Dimostrare che il problema... ha unica soluzione"?
Sisi sono sicuro... il testo è questo... (;) se vuoi te lo mando) ma per affermare che l'equazione col cosh ha soluzione unica come si fa a dimostrare? per il teorema di esistenza e unicità? cioè che hanno entrambe lo stesso dominio??
Comunque ne ho trovata un altra nella quale anche in questa bisogna fare le medesime considerazioni... questi praticamente sono tutti problemi messi nei compiti di analisi 1 e alcuni sono risolvibili normalmente, altri penso bisogna fare alcune considerazioni... guarda questa:
$ y'=(2tgx)y+((y)^(1/2))*cosx $
$ y(0)=1 $
quest'ultima ad esempio non ha soluzione unica visto che il dominio della derivata non coincide col dominio dela funzione
eppure non è risolvibile nemmeno con bernoulliin quanto sono presenti 2 y ognuna con esponente diverso... (manco a dire che posso raccogliere)... Grazie dell'aiuto comunque!
Comunque ne ho trovata un altra nella quale anche in questa bisogna fare le medesime considerazioni... questi praticamente sono tutti problemi messi nei compiti di analisi 1 e alcuni sono risolvibili normalmente, altri penso bisogna fare alcune considerazioni... guarda questa:
$ y'=(2tgx)y+((y)^(1/2))*cosx $
$ y(0)=1 $
quest'ultima ad esempio non ha soluzione unica visto che il dominio della derivata non coincide col dominio dela funzione
eppure non è risolvibile nemmeno con bernoulliin quanto sono presenti 2 y ognuna con esponente diverso... (manco a dire che posso raccogliere)... Grazie dell'aiuto comunque!
"francescojordan":
Sisi sono sicuro... il testo è questo... (;) se vuoi te lo mando)
Se riuscissi a postare un'immagine sul forum te ne sarei grato.
"francescojordan":
ma per affermare che l'equazione col cosh ha soluzione unica come si fa a dimostrare? per il teorema di esistenza e unicità? cioè che hanno entrambe lo stesso dominio??
In generale, per stabilire l'unicità della soluzione devi usare il teorema di esistenza ed unicità*, quindi devi far vedere che il secondo membro dell'equazione cioè \(f(x,y)\) è continuo nel suo insieme di definizione, che è localmente lipschitziano, e che il punto \((x_0,y_0)\) corrispondente alle condizioni iniziali appartiene all'insieme in cui \(f\) è localmente lipschitziana.
Ora, nel caso del coseno iperbolico, ossia nel caso di \(f(x,y):=\cosh (2x-2y+1)\), il termine noto è definito e di classe \(C^\infty\) in tutto \(\mathbb{R}^2\); pertanto esso è continuo e localmente lipschitziano in tutto il piano e ciò implica l'esistenza e l'unicità della soluzione locale del problema di Cauchy che ti è stato assegnato.
La soluzione locale può poi essere prolungata ad un insieme massimale conservando l'unicità.
Nel caso precedente, avevi \(f(x,y):=\sin \left( \frac{x+y}{2x-y}\right) +1\) il quale è definito e di classe \(C^\infty\) nell'insieme \(\Omega\) coincidente con \(\mathbb{R}^2\) privato della retta d'equazione \(2x-y=0\). Dato che il punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,-1)\) non sta sulla retta esclusa dal dominio di \(f\), il tuo problema ha soluzione unica (almeno localmente).
__________
* Questo teorema non è di Cauchy, almeno nella versione generale che si studia oggi. Detto per inciso, è un teorema elaborato nel corso di circa 40 anni (diciamo 1868-1905) con contributi fondamentali di Lipschitz, Peano, Picard e Goursat.
Eccole!
cosh
sen
ultimo
cosh
sen
ultimo
Devo dirti la verità... Non saprei che sostituzione fare (le cose "standard" che mi sono venuta in mente non hanno semplificato più di tanto il problema).
"A occhio", le soluzioni di quei problemi lì non sono esprimibili elementarmente in maniera immediata, però potrei sbagliarmi (dato che sono stati assegnati in aula).
Che eserciziario avete usato?
Probabile che spulciando lì dentro ci si trovi qualche cosa di utile.
"A occhio", le soluzioni di quei problemi lì non sono esprimibili elementarmente in maniera immediata, però potrei sbagliarmi (dato che sono stati assegnati in aula).
Che eserciziario avete usato?
Probabile che spulciando lì dentro ci si trovi qualche cosa di utile.
"francescojordan":
Salve ragazzi, una domanda: quando abbiamo equazioni differenziali non riconducibili a forme conosciute, come ci comportiamo? Es
$ y'=sen((x+y)/(2x-y)) +1 $
$ y(1)=-1 $
In questo caso si vede ad occhio che la soluzione è \(y(x) = -x\).
Rigel, c'è un \(+1\) a secondo membro... Altrimenti me ne sarei accorto. 
Però, porca paletta, nella traccia sul foglio c'è \(-1\). (Ma che vi costa copiare i testi giusti?)
Quindi il problema col seno è risolto...
Però, porca paletta, nella traccia sul foglio c'è \(-1\). (Ma che vi costa copiare i testi giusti?)
Quindi il problema col seno è risolto...
"francescojordan":
o anche questo tipo:
$ y'=cosh(2x-2y+1) $
Per questa proverei con la sostituzione \(z=e^{-2y}\) (o qualcosa di analogo).
Mi sa che non ci siamo capiti... questo è un compito d'esame! 
il nostro professore li scrive a mano... :D i testi sono tutti giustissimi!
il nostro professore li scrive a mano... :D i testi sono tutti giustissimi!
Con la sostituzione che ha suggerito rigel mi complico la vita... mi porta il cosh con dentro un logaritmo...
@Rigel, come fai a dire che la soluzione a occhio è: y=-x??
potrebbe essere un unico punto la soluzione??
@Rigel, come fai a dire che la soluzione a occhio è: y=-x??
potrebbe essere un unico punto la soluzione??
"gugo82":
Rigel, c'è un \(+1\) a secondo membro... Altrimenti me ne sarei accorto.
Però, porca paletta, nella traccia sul foglio c'è \(-1\). (Ma che vi costa copiare i testi giusti?)
Quindi il problema col seno è risolto...
Infatti: io ho letto la traccia ma per non dover riscrivere ho riportato il post...
ma quindi come sei riuscito a dire al volo che è y=-x?
In questa equazione $y'=\cosh (2x-2y+1)$ ponendo $2x-2y+1=z$ le cose diventano abbastanza semplici.
VI prego spiegatemi!!!!
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