Equazioni differenziali non riconducibili.

[francesco.android6]

Salve ragazzi, una domanda: quando abbiamo equazioni differenziali non riconducibili a forme conosciute, come ci comportiamo? Es

$ y'=sen((x+y)/(2x-y)) +1 $
$ y(1)=-1 $

Ho provato a fare la sostituzione z=y/x raccogliendo dentro il seno ma non mi porta da nessuna parte... Mi sapete suggerire qualcosa?? Grazie infinite

[ciampax]

Cosa?

[francesco.android6]

Come fanno a diventare semplice? correggimi se sbaglio per favore:

$ z(x)=2x-2y+1 $

Calcolo la derivata rispetto a x

$ y'(x)=-1/2z'(x)+1 $
Sostituisco
$-1/2z'+1=coshz$

$z'=-2coshz +1$
E poi?? come trovo l'unica soluzione?

[ciampax]

Per prima cosa, $z'=2-2y'$ e ertanto l'equazione diventa $z'=2-2\cosh z$ che è una equazione a variabili separbili. Inoltre, essendo $\cosh z={e^z+e^{-z}}/2={e^{2z}+1}/{2e^z}$ puoi scrivere

$z'=2-{e^{2z}+1}/{e^z}={2e^z-e^{2z}-1}/{e^z}$

e a questo punto basta integrare.

[francesco.android6]

WOW! GRANDE!!!!

[francesco.android6]

ma il fatto che venga questo integrale è giusto?

$ int_^((e^z)/(2e^z-e^(2z)-1))dz $

Mi pare abbastanza indecoroso... o no?

[ciampax]

Indecoroso? Cosa ha fatto, atti osceni in luogo pubblico?????
L'integrale che viene è il seguente: poiché $z(0)=-2y(0)+1=-1$

$\int_{-1}^z -{e^s}/{e^{2s}-2e^s+1}\ ds=\int_0^x\ ds=x$

Per risolvere il primo integrale, poni $e^s=t$...