Equazioni differenziali lineari primo ordine: valore assoluto
Salve...sto avendo problemi con la seguente equazione:
$ y' = y/x +xe^x $
quando trovo l'integrale ho:
$ A(x)= -ln |x| $ e quindi: $ e^(-A(x)) = |x| $
Ora, il libro nel risultato lo porta risolto senza valore assoluto...ma mica è corretto? Cioè non è un problema di cauchy, qui le soluzioni dovrei prenderle tutte o sbaglio? Aiutatemi a capire :s
$ y' = y/x +xe^x $
quando trovo l'integrale ho:
$ A(x)= -ln |x| $ e quindi: $ e^(-A(x)) = |x| $
Ora, il libro nel risultato lo porta risolto senza valore assoluto...ma mica è corretto? Cioè non è un problema di cauchy, qui le soluzioni dovrei prenderle tutte o sbaglio? Aiutatemi a capire :s
Risposte
considerata l'equazione $y'+p(x)y=q(x)$, col simbolo $ A(x)=int p(x) dx $ si intende una qualsiasi primitiva di $p(x)$(mi rendo conto che a rigore non è corretto,ma penso che sia per non appesantire la spiegazione del metodo)
$ y=lnx$ è una primitiva di $y=1/x$
quindi,il procedimento del libro è corretto (non dimentichiamo che nella soluzione generale compare una costante arbitraria $c$)
$ y=lnx$ è una primitiva di $y=1/x$
quindi,il procedimento del libro è corretto (non dimentichiamo che nella soluzione generale compare una costante arbitraria $c$)
non capisco...cioè se fosse un problema di cauchy allora noi potremmo dire che data una condizione assegnataci la x è positiva o negativa e allora togliamo il valore assoluto. Ma qui?
ah aspetta forse ho capito...potendo prendere una primitiva qualsiasi prendiamo quella con la x positiva?
in pratica,l'importante è che tu alla fine abbia tutte le possibili soluzioni dell'equazione,e questo te lo assicura la $c$
grazie ho capito ora, mi hai tolto un bel dubbio 
Eh no, non sono d'accordo con stormy stavolta. Non è questione di costanti; le soluzioni col valore assoluto sono definite in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, quelle senza in \((0, \infty)\), è una differenza sostanziale che non può essere esaurita dall'aggiungere costanti. Semplicemente qui si è fatta una convenzione tacita di cercare le soluzioni nell'intervallo \((0, \infty)\), ma in mancanza di dati iniziali la scelta è completamente arbitraria.
In conclusione direi che thedoctor15 ha ragione e che il libro è stato un po' troppo affrettato.
In conclusione direi che thedoctor15 ha ragione e che il libro è stato un po' troppo affrettato.
ciao dissonance
però,facendo come dice il libro si trova la soluzione $y=xe^x+cx$,che è l'integrale generale dell'equazione differenziale data : la soluzione particolare è definita in $mathbbR^+$ o $mathbbR^-$ a seconda della condizione iniziale,essendo ovvio che la soluzione non può passare per un punto di ascissa $0$
però,facendo come dice il libro si trova la soluzione $y=xe^x+cx$,che è l'integrale generale dell'equazione differenziale data : la soluzione particolare è definita in $mathbbR^+$ o $mathbbR^-$ a seconda della condizione iniziale,essendo ovvio che la soluzione non può passare per un punto di ascissa $0$
Si effettivamente anche se uno moltiplica prima per $x$ e poi integra viene fuori il tuo stesso risultato. Mi sa che ho detto una cavolata prima. Ma qual è questo libro, si puo' vedere? Vorrei leggere esattamente cosa ha fatto.
"stormy":
in pratica,l'importante è che tu alla fine abbia tutte le possibili soluzioni dell'equazione,e questo te lo assicura la $c$
In generale, questa affermazione è falsa.
La costante additiva è conseguenza del teorema di Lagrange, il quale, per funzionare come si deve, ha bisogno che l'insieme di definizione della funzione cui esso va applicato sia un intervallo.[nota]Infatti, esso è il tipico esempio elementare (assieme, e.g., al teorema degli zeri) di teorema analitico che ha un ipotesi ineliminabile relativa alla "geometria" del dominio.[/nota]
Conseguentemente, è la stessa definizione di "integrale generale" di una EDO ad aver bisogno di qualche assunzione sul dominio di definizione dell'equazione (i.e., dei coefficienti), almeno fintantoché si vogliono far funzionare le cose "come siamo abituati".
Di solito, si assume che il dominio della EDO sia un intervallo (ossia un insieme connesso) proprio perché è possibile applicare Lagrange e concludere, come da vulgata, che:
l'integrale generale di una EDO lineare di ordine \(N\) dipende da \(N\) costanti arbitrarie
Tuttavia, senza ipotesi di tipo "geometrico", la precedente affermazione è non solo inesatta, ma addirittura falsa.
Per capire questa cosa, basta meditare sul seguente esempio.
L'integrale generale dell'equazione differenziale:
\[
\tag{1}
y^\prime (x) = \frac{1}{x}\; ,\quad x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}
\]
non è affatto:
\[
y\left( x;C\right) = C+\ln |x|\; ,
\]
perché ad esempio la funzione:
\[
y ( x) := \begin{cases} \ln x &\text{, se } x>0\\
1 + \ln (-x) &\text{, se } x<0\; ,
\end{cases}
\]
che pure è soluzione di (1) in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) (provare per credere!
), non si ottiene da \(y(\cdot ;C)\) per nessun valore di \(C\).Il vero integrale generale della (1) è:
\[
y\left( x;C_1,C_2\right) := \begin{cases} C_1 + \ln x &\text{, se } x>0\\
C_2 + \ln (-x) &\text{, se } x<0\; ,
\end{cases}
\]
ed esso dipende da due costanti arbitrarie, pur essendo la (1) un'equazione del primo ordine!
ma, quindi anche l'equazione scritta da the doctor potrebbe avere altre soluzioni,visto che anche in questo caso il dominio della $f(x,y)$ non è un intervallo ? 
e se sì,come si fa ad individuarle ? (la faccenda è molto interessante )
e se sì,come si fa ad individuarle ? (la faccenda è molto interessante
)
"stormy":
ma, quindi anche l'equazione scritta da the doctor potrebbe avere altre soluzioni,visto che anche in questo caso il dominio della $f(x,y)$ non è un intervallo ?
e se sì,come si fa ad individuarle ? (la faccenda è molto interessante
Basta lavorare componente connessa per componente connessa... Insomma, si risolve la EDO prima in \(]0,\infty[\), poi in \(]-\infty ,0[\) ed infine si mettono insieme le cose.
Anche in questo caso, l'integrale generale della EDO contiene due costanti arbitrarie perché l'insieme di definizione dei coefficienti è costituito da due pezzi.
ok,giusto; quindi l'integrale generale in $mathbbR-{0} $è
$xe^x+c_1x$ se $x >0$
$xe^x+c_2x$ se $x<0$
$xe^x+c_1x$ se $x >0$
$xe^x+c_2x$ se $x<0$
scusate se mi intrometto in questa discussione, ma all'inizio avevo la stessa idea dell'utente stormy
poi in base da quanto è stato scritto con i diversi interventi, sono andato a rivedere gli appunti presi ad esercitazione
e c'è un esempio simile, ma la soluzione è proprio con $x>0$ e con $x<0$
era quest'equazione differenziale $ y'+y/x=4x $
e ci conclude che l'integrale generale è $ { ( y(x)=4/3x^2+c/x if x>0),( y(x)=4/3x^2+d/x if x<0):} $
menomale che ho visto questa discussione e sia andato a riguardare.. avrei commesso un grosso errore all'esame..
grazie anche a tutti gli altri che hanno risposto..
poi in base da quanto è stato scritto con i diversi interventi, sono andato a rivedere gli appunti presi ad esercitazione
e c'è un esempio simile, ma la soluzione è proprio con $x>0$ e con $x<0$
era quest'equazione differenziale $ y'+y/x=4x $
e ci conclude che l'integrale generale è $ { ( y(x)=4/3x^2+c/x if x>0),( y(x)=4/3x^2+d/x if x<0):} $
menomale che ho visto questa discussione e sia andato a riguardare.. avrei commesso un grosso errore all'esame..
grazie anche a tutti gli altri che hanno risposto..
@ 21zuclo:[ot]
Dillo a me, che su questa cosa mi sono giocato la lode in Analisi II...[/ot]
"21zuclo":
menomale che ho visto questa discussione e sia andato a riguardare... avrei commesso un grosso errore all'esame...
Dillo a me, che su questa cosa mi sono giocato la lode in Analisi II...
[/ot]
[ot]
Dillo a me, che su questa cosa mi sono giocato la lode in Analisi II...[/quote]
@Gugo Quindi c'è stato un momento in cui Gugo non era onniscente? Non sei nato così?
Chiaramente si fa per scherzare[/ot]
"gugo82":
@ 21zuclo:[quote="21zuclo"]menomale che ho visto questa discussione e sia andato a riguardare... avrei commesso un grosso errore all'esame...
Dillo a me, che su questa cosa mi sono giocato la lode in Analisi II...
[/quote]@Gugo Quindi c'è stato un momento in cui Gugo non era onniscente? Non sei nato così?
Chiaramente si fa per scherzare
[/ot]
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