Equazioni differenziali: info sullo svolgimento
salve a tutti
sto svolgendo il seguente problema di cauchy
$ { ( 2y^(III)-3y^(II)=6e^(2x) ),( y(0)=0 ),( y^I(0)=1 ):} $
svolgo la omogenea, e trovo $ y=e^(3/2x) $
arrivo alla soluzione particolare, seguo queste 2 formule
$ P_1e^(ax)cosbx+P_2e^(ax)sinbx $
trovo P1=6 P2=0 a=2 e b=0
$ bar(u)(y)=x^h(Q_1e^(ax)cosbx+Q_2e^(ax)sinbx) $
essendo le soluzioni lambda numeri reali h=0
Le Q corrispondono al grado più elevato delle P, in questo caso sono costanti
ok, da qui in poi non so come devo andare avanti
come devo procedere? grazie
sto svolgendo il seguente problema di cauchy
$ { ( 2y^(III)-3y^(II)=6e^(2x) ),( y(0)=0 ),( y^I(0)=1 ):} $
svolgo la omogenea, e trovo $ y=e^(3/2x) $
arrivo alla soluzione particolare, seguo queste 2 formule
$ P_1e^(ax)cosbx+P_2e^(ax)sinbx $
trovo P1=6 P2=0 a=2 e b=0
$ bar(u)(y)=x^h(Q_1e^(ax)cosbx+Q_2e^(ax)sinbx) $
essendo le soluzioni lambda numeri reali h=0
Le Q corrispondono al grado più elevato delle P, in questo caso sono costanti
ok, da qui in poi non so come devo andare avanti
come devo procedere? grazie
Risposte
Se sicuro di aver riportato correttamente il testo del problema? L'equazione differenziale che hai postato è del terzo ordine, quindi servono 3 condizioni per risolvere il problema di cauchy.
ciao, l'ho riportato bene ma credo che sia sbagliato (tra l'altro quest'appunto me l'ha dato il prof stesso) quindi facciamo finta che sia
$ 2y^(II)-3y^I=6e^(2x) $
le condizioni sempre medesime
ha 2 radici, una lamba=0 e l'altra 3/2 e il risultato della omogenea non cambia
rifaccio lo stesso ragionamento di sopra per la particolare
arrivo a quantificare Q come costante, l'equazione di una costante è semplicemente una costante, chiamamola k
ecco da questo punto in poi non mi è chiaro il procedimento
chiedo gentilmente delucidazioni
grazie
$ 2y^(II)-3y^I=6e^(2x) $
le condizioni sempre medesime
ha 2 radici, una lamba=0 e l'altra 3/2 e il risultato della omogenea non cambia
rifaccio lo stesso ragionamento di sopra per la particolare
arrivo a quantificare Q come costante, l'equazione di una costante è semplicemente una costante, chiamamola k
ecco da questo punto in poi non mi è chiaro il procedimento
chiedo gentilmente delucidazioni
grazie
Il problema è che:
[list=1]
[*:3e76m927] sbagli ed individuare l'integrale generale dell'equazione omogenea associata, perché non consideri i contributi provenienti da entrambe le radici del polinomio caratteristico;
[/*:m:3e76m927]
[*:3e76m927] sbagli la forma in cui cercare la soluzione particolare della equazione completa, perché non applichi bene il metodo di somiglianza.[nota]Infatti, affinché una EDO del 2° ordine abbia soluzioni del tipo "esponenziale per trigonometrica" c'è bisogno che il polinomio caratteristico abbia due radici complesse coniugate.[/nota][/*:m:3e76m927][/list:o:3e76m927]
Hai il PdC:
\[
\begin{cases}
2y^{\prime \prime} (x) - 3 y^\prime (x) = 6e^{2x}\\
y(0) = 0\\
y^\prime (0) = 1
\end{cases}\; .
\]
La EDO è lineare completa, con termine noto in forma "buona" per applicare il metodo di somiglianza.
Le radici del polinomio caratteristico sono \(\lambda_1=0\) e \(\lambda_2 = 3/2\), ergo l'integrale generale della EDO omogenea associata si esprime come combinazione lineare delle funzioni $e^{\lambda_1 x} = e^0 = 1$ ed $e^{\lambda_2 x} = e^{3/2 x}$, i.e.:
\[
\bar{y}(x) = C_1 + C_2 e^{\frac{3}{2} x}\; .
\]
Dato che il coefficiente $2$ all'esponente del secondo membro della EDO completa non è una radice del polinomio caratteristico, una soluzione particolare della EDO completa è una funzione esponenziale del tipo $Y(x) = Ae^{2x}$, con $A$ da determinare opportunamente.
Calcolando esplicitamente le derivate di $Y$ e sostituendo nella EDO completa otteniamo che $Y$ risolve l'equazione se e solo se:
\[
2\cdot 4Ae^{2x} - 3\cdot 2Ae^{2x} = 6e^{2x}
\]
il che equivale a dire se e solo se:
\[
A=3\; ;
\]
dunque una soluzione particolare della EDO completa è:
\[
Y(x) = 3e^{2x}
\]
e l'integrale generale della EDO completa è:
\[
y(x) = Y(x)+\bar{y}(x) = 3e^{2x} + C_1 + C_2 e^{\frac{3}{2} x}
\]
Il resto è questione di calcolo.
Dato che:
\[
y^\prime (x) = 6e^{2x} + \frac{3}{2}C_2 e^{\frac{3}{2} x}
\]
la seconda condizione iniziale è soddisfatta solo se:
\[
6 + \frac{3}{2} C_2 = 1
\]
da cui si trae $C_2 = -10/3$ e dunque:
\[
y(x) = 3e^{2x} + C_1 - \frac{10}{3} e^{\frac{3}{2} x}\; ;
\]
la prima condizione, invece, è soddisfatta non appena risulti:
\[
3 + C_1 - \frac{10}{3} = 0
\]
da cui segue $C_1= 1/3$ e perciò la soluzione del PdC assegnato è:
\[
y(x) = 3e^{2x} + \frac{1}{3} - \frac{10}{3} e^{\frac{3}{2} x}\; .
\]
[list=1]
[*:3e76m927] sbagli ed individuare l'integrale generale dell'equazione omogenea associata, perché non consideri i contributi provenienti da entrambe le radici del polinomio caratteristico;
[/*:m:3e76m927]
[*:3e76m927] sbagli la forma in cui cercare la soluzione particolare della equazione completa, perché non applichi bene il metodo di somiglianza.[nota]Infatti, affinché una EDO del 2° ordine abbia soluzioni del tipo "esponenziale per trigonometrica" c'è bisogno che il polinomio caratteristico abbia due radici complesse coniugate.[/nota][/*:m:3e76m927][/list:o:3e76m927]
Hai il PdC:
\[
\begin{cases}
2y^{\prime \prime} (x) - 3 y^\prime (x) = 6e^{2x}\\
y(0) = 0\\
y^\prime (0) = 1
\end{cases}\; .
\]
La EDO è lineare completa, con termine noto in forma "buona" per applicare il metodo di somiglianza.
Le radici del polinomio caratteristico sono \(\lambda_1=0\) e \(\lambda_2 = 3/2\), ergo l'integrale generale della EDO omogenea associata si esprime come combinazione lineare delle funzioni $e^{\lambda_1 x} = e^0 = 1$ ed $e^{\lambda_2 x} = e^{3/2 x}$, i.e.:
\[
\bar{y}(x) = C_1 + C_2 e^{\frac{3}{2} x}\; .
\]
Dato che il coefficiente $2$ all'esponente del secondo membro della EDO completa non è una radice del polinomio caratteristico, una soluzione particolare della EDO completa è una funzione esponenziale del tipo $Y(x) = Ae^{2x}$, con $A$ da determinare opportunamente.
Calcolando esplicitamente le derivate di $Y$ e sostituendo nella EDO completa otteniamo che $Y$ risolve l'equazione se e solo se:
\[
2\cdot 4Ae^{2x} - 3\cdot 2Ae^{2x} = 6e^{2x}
\]
il che equivale a dire se e solo se:
\[
A=3\; ;
\]
dunque una soluzione particolare della EDO completa è:
\[
Y(x) = 3e^{2x}
\]
e l'integrale generale della EDO completa è:
\[
y(x) = Y(x)+\bar{y}(x) = 3e^{2x} + C_1 + C_2 e^{\frac{3}{2} x}
\]
Il resto è questione di calcolo.
Dato che:
\[
y^\prime (x) = 6e^{2x} + \frac{3}{2}C_2 e^{\frac{3}{2} x}
\]
la seconda condizione iniziale è soddisfatta solo se:
\[
6 + \frac{3}{2} C_2 = 1
\]
da cui si trae $C_2 = -10/3$ e dunque:
\[
y(x) = 3e^{2x} + C_1 - \frac{10}{3} e^{\frac{3}{2} x}\; ;
\]
la prima condizione, invece, è soddisfatta non appena risulti:
\[
3 + C_1 - \frac{10}{3} = 0
\]
da cui segue $C_1= 1/3$ e perciò la soluzione del PdC assegnato è:
\[
y(x) = 3e^{2x} + \frac{1}{3} - \frac{10}{3} e^{\frac{3}{2} x}\; .
\]
ciao gugo82, grazie per la risposta, sei stato molto chiaro ed esauriente
solo una cosa non ho capito
la particolare me la calcolo con questa formula
$ Y(x)=x^h(Q_1e^(alpha x)cosbeta x-Q_2e^(alpha x)sinbeta x) $
h è uguale a 0 nel caso in cui le lambda sono soluzioni reali (se sono soluzione complesse è uguale alla loro molteplicità algebrica)
alpha = 2
beta = 0
Q equivale al grado massimo dei polinomi, in questo caso è A perché il polinomio di grado max è 6, una costante appunto
tutto il resto svolge liscio
io sono arrivato alla tua stessa conclusione con questa formula, vorrei capire se abbiamo detto la stessa cosa oppure hai usato un'altra formula a me ignara
dalla soluzione di questo volevo arrivare a quanto segue
prendo un esempio stupido
\[ \begin{cases} 2y^{\prime \prime} (x) - 3 y^\prime (x) = 3xe^{2x}\\ y(0) = 0\\ y^\prime (0) = 1 \end{cases}\; . \]
cambia solo un dettaglio nel termine particolare, ho messo 3x al posto di 6
lo svolgimento e soluzione della omogenea non cambia
arrivata alla particolare, usando la formula che conosco, l'unica differenza è Q, il grado massimo sarà Ax+B, perché il polinomio di grado max è 3x
$ Y(x)=(Ax+B)e^(2x)=Axe^(2x)+Be^(2x) $
$ Y^prime(x)=Ae^(2x)+2Axe^(2x)+2Be^(2x) $
$ Y^\primeprime(x)=4Ae^(2x)+4Axe^(2x)+4Be^(2x) $
sostituisco nella y(x) e alla fine mi esce
$ y(x)=5Ae^(2x)+2Axe^(2x)+2Be^(2x) $
qui mi ritrovo 2 incognite, e ovviamente un'unica equazione
lo svolgimento fin qui e il metodo mi sembrano corretti
io non ricordo cosa bisogna fare dopo, bisogna fare un sistema ma non ricordo in base a quale criterio
solo una cosa non ho capito
Dato che il coefficiente 2 all'esponente del secondo membro della EDO completa non è una radice del polinomio caratteristico, una soluzione particolare della EDO completa è una funzione esponenziale del tipo Y(x)=Ae2x, con A da determinare opportunamente.
la particolare me la calcolo con questa formula
$ Y(x)=x^h(Q_1e^(alpha x)cosbeta x-Q_2e^(alpha x)sinbeta x) $
h è uguale a 0 nel caso in cui le lambda sono soluzioni reali (se sono soluzione complesse è uguale alla loro molteplicità algebrica)
alpha = 2
beta = 0
Q equivale al grado massimo dei polinomi, in questo caso è A perché il polinomio di grado max è 6, una costante appunto
tutto il resto svolge liscio
io sono arrivato alla tua stessa conclusione con questa formula, vorrei capire se abbiamo detto la stessa cosa oppure hai usato un'altra formula a me ignara
dalla soluzione di questo volevo arrivare a quanto segue
prendo un esempio stupido
\[ \begin{cases} 2y^{\prime \prime} (x) - 3 y^\prime (x) = 3xe^{2x}\\ y(0) = 0\\ y^\prime (0) = 1 \end{cases}\; . \]
cambia solo un dettaglio nel termine particolare, ho messo 3x al posto di 6
lo svolgimento e soluzione della omogenea non cambia
arrivata alla particolare, usando la formula che conosco, l'unica differenza è Q, il grado massimo sarà Ax+B, perché il polinomio di grado max è 3x
$ Y(x)=(Ax+B)e^(2x)=Axe^(2x)+Be^(2x) $
$ Y^prime(x)=Ae^(2x)+2Axe^(2x)+2Be^(2x) $
$ Y^\primeprime(x)=4Ae^(2x)+4Axe^(2x)+4Be^(2x) $
sostituisco nella y(x) e alla fine mi esce
$ y(x)=5Ae^(2x)+2Axe^(2x)+2Be^(2x) $
qui mi ritrovo 2 incognite, e ovviamente un'unica equazione
lo svolgimento fin qui e il metodo mi sembrano corretti
io non ricordo cosa bisogna fare dopo, bisogna fare un sistema ma non ricordo in base a quale criterio
forse ho capito come fare chiedo gentilmente conferma
$ { ( 5A+2B=0 ),( 2A=3 ):} $
quindi A=3/2 e B=-15/4
diventa
$ bar(y) (x)=15/2e^(2x)+3xe^(2x)-15/2e^(2x)=3xe^(2x) $
\[ y(x) = Y(x)+\bar{y}(x) = 3xe^{2x} + C_1 + C_2 e^{\frac{3}{2} x} \]
il resto è semplice calcolo
attendo delucidazioni, grazie in anticipo
$ { ( 5A+2B=0 ),( 2A=3 ):} $
quindi A=3/2 e B=-15/4
diventa
$ bar(y) (x)=15/2e^(2x)+3xe^(2x)-15/2e^(2x)=3xe^(2x) $
\[ y(x) = Y(x)+\bar{y}(x) = 3xe^{2x} + C_1 + C_2 e^{\frac{3}{2} x} \]
il resto è semplice calcolo
attendo delucidazioni, grazie in anticipo
mi serve una conferma... ditemi se il procedimento va bene
mi ritrovo con un'altra equazione differenziale che è uscita all'esame ma che non sono riuscito ad uscirne
$ { ( y''+8y'-9y=x+5e^(2x) ),( y(0)=1 ),( y(0)=0 ):} $
calcolo l'omogenea ed esce
$ Y(x)=c_1e^(-9x)+c_2e^x $
calcolo la particolare
uso il metodo della somiglianza, prendo ogni termine "singolarmente"
$ bar(y)_1(x)=Ax+B $
$ bar(y)_2(x)=Be^(2x) $
$ bar(y)(x)=Ax+B+Be^(2x) $
le derivate
$ bar(y)'(x)=A+2Be^(2x) $
$ bar(y)''(x)=4Be^(2x) $
sostituisco nell'edo
$ 4Be^(2x)+8A+16Be^(2x)-9Ax-9B-9Be^(2x)=x+5e^(2x) $
arrivato a questo punto dovrei fare un sistema, ma ritrovo 3 equazioni con 2 incognite, che non si "risolvono"
quindi ho fatto 1 di questi sbagli
-ho sbagliato a nominare B la costante su entrambi i termini, e quindi al secondo termine diventa $ Ce^(2x) $ e quindi ho 3 equazioni e 3 incognite
-ho sbagliato il sistema a ricavare le 3 equazioni, devono essere per forza 2, però non so come, visto che i termini con la e li accoppio al 5 e i termini con la x li accoppio a 1, mi rimangono i termini noti
$ { ( y''+8y'-9y=x+5e^(2x) ),( y(0)=1 ),( y(0)=0 ):} $
calcolo l'omogenea ed esce
$ Y(x)=c_1e^(-9x)+c_2e^x $
calcolo la particolare
uso il metodo della somiglianza, prendo ogni termine "singolarmente"
$ bar(y)_1(x)=Ax+B $
$ bar(y)_2(x)=Be^(2x) $
$ bar(y)(x)=Ax+B+Be^(2x) $
le derivate
$ bar(y)'(x)=A+2Be^(2x) $
$ bar(y)''(x)=4Be^(2x) $
sostituisco nell'edo
$ 4Be^(2x)+8A+16Be^(2x)-9Ax-9B-9Be^(2x)=x+5e^(2x) $
arrivato a questo punto dovrei fare un sistema, ma ritrovo 3 equazioni con 2 incognite, che non si "risolvono"
quindi ho fatto 1 di questi sbagli
-ho sbagliato a nominare B la costante su entrambi i termini, e quindi al secondo termine diventa $ Ce^(2x) $ e quindi ho 3 equazioni e 3 incognite
-ho sbagliato il sistema a ricavare le 3 equazioni, devono essere per forza 2, però non so come, visto che i termini con la e li accoppio al 5 e i termini con la x li accoppio a 1, mi rimangono i termini noti
Dunque, il problema sta nel fatto che usi B due volte. E' sbagliato perché non è detto che quei coefficienti siano uguali. L'omogenea invece è corretta 
Suddividendo in due integrali particolari per ogni addendo nella parte destra dell'equazione abbiamo
[1] $ y''_(p1) + 8y'_(p1) -9y_(p1) = x $ e [2] $ y''_(p2) + 8y'_(p2) -9y_(p2) = 5e^2x $
Risolviamo la prima provando con
$ y_(p1) = a_1x + a_2 rarr y'_(p1) = a_1 rarr y''_(p1) = 0$
Sostituendo in [1]
$ 0 + 8a_1 - 9a_1 - 9a_2 = x rarr a_2 = -8/81, a_1 = -1/9$
Facciamo lo stesso con [2], provando
$ y_(p2) = C_1e^(2x) rarr y'_(p2) = 2C_1e^(2x) rarr y''_(p2) = 4C_1e^(2x)$
E trovando $C_1 = 5/11 $
Dunque la tua soluzione generale totale è
$ y = y_o + y_(p1) + y_(p2) = Ae_x + Be^(-9x) + 5/11e^(2x) - 1/9x - 8/81 $
Che puoi verificare essere corretta trovando derivata prima e seconda e sostituendo nella differenziale originale.
Il problema è definitivamente risolto nel momento in cui applichi le condizioni e trovi i coefficienti A e B (che, ad occhio, mi sembrano sbagliate perché hai due valori differenti per y(0)).
Suddividendo in due integrali particolari per ogni addendo nella parte destra dell'equazione abbiamo
[1] $ y''_(p1) + 8y'_(p1) -9y_(p1) = x $ e [2] $ y''_(p2) + 8y'_(p2) -9y_(p2) = 5e^2x $
Risolviamo la prima provando con
$ y_(p1) = a_1x + a_2 rarr y'_(p1) = a_1 rarr y''_(p1) = 0$
Sostituendo in [1]
$ 0 + 8a_1 - 9a_1 - 9a_2 = x rarr a_2 = -8/81, a_1 = -1/9$
Facciamo lo stesso con [2], provando
$ y_(p2) = C_1e^(2x) rarr y'_(p2) = 2C_1e^(2x) rarr y''_(p2) = 4C_1e^(2x)$
E trovando $C_1 = 5/11 $
Dunque la tua soluzione generale totale è
$ y = y_o + y_(p1) + y_(p2) = Ae_x + Be^(-9x) + 5/11e^(2x) - 1/9x - 8/81 $
Che puoi verificare essere corretta trovando derivata prima e seconda e sostituendo nella differenziale originale.
Il problema è definitivamente risolto nel momento in cui applichi le condizioni e trovi i coefficienti A e B (che, ad occhio, mi sembrano sbagliate perché hai due valori differenti per y(0)).
ottimo, sei stato chiarissimo
le condizioni sono esatte, ho fatto i calcoli e il risultato è uguale a quello del calcolatore
le condizioni sono esatte, ho fatto i calcoli e il risultato è uguale a quello del calcolatore
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