Equazioni differenziali - Determinazione parametro

alex_28
Buonasera a tutti;
Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda esercizi sulle equazioni differenziali, + in particolare su problemi di Cauchy, nei quali è richiesto il valore di un parametro α per far sì che si abbia una soluzione non nulla del problema.
Ad esempio vi è il seguente esercizio:

y''+α^(2)y=0
y(0)=0
y'(0)=y(1)

L' esercizio mi chiede di determinare il parametro α affinchè esista una soluzione NON nulla del problema;
Quali sono gli step da seguire?
Grazie in anticipo! :smt023 :)

Risposte
ciampax
Per capirci: l'equazione è la seguente $y''+\alpha^2 y=0$, mentre le condizioni iniziali sono $y(0)=0$ e $y'(0)=y(1)$, giusto?
Bé, mi pare "semplice": risolvi l'equazione nel modo usuale (dove la soluzione generale dipenderà dal parametro $\alpha$) e sostituisci i valori per le condizioni iniziali in modo da determinare le costanti arbitrarie. Da quel che posso vedere, dovrai distinguere i due casi $\alpha\ne 0$ e $\alpha=0$.

alex_28
Ok;
Dunque procedendo passo passo, avrei :
Equazione caratteristica:
K^(2) + α^(2) = 0 , per la quale distinguerei i due casi :
(caso i): α=0 => K=0 {DELTA = 0, quindi soluzione GENERALE = (c1+c2x) }

(caso ii): α<>0 => DELTA = -4(α^(2)) <0 ;
COME PROCEDERE adesso? :S

ciampax
Che significa: come procedere adesso? Lo sai come si risolve un problema di Cauchy o no? E come si risolve una generica equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti?

alex_28
Sìsì lo so =) Risolto, grazie! =)

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