Equazioni di eulero
ciao a tutti, qualcuno mi può spiegare come si risolvono le equazioni differenziali di Eulero? Non ho proprio capito
Oppure avete qualche link dove sono spiegate per bene?
Grazie
Oppure avete qualche link dove sono spiegate per bene?
Grazie
Risposte
Ti ricordi come si fa la derivata del prodotto di due funzioni, vero? 
"pilloeffe":
Ti ricordi come si fa la derivata del prodotto di due funzioni, vero?
si mi ricordo, ad esempio la derivata di $g(x)*f(x)=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)$ ma non riesco assolutamente a capire come applicarla in quei due casi soprattutto anche referita a $d/dt$.
insomma non ho capito, oltre a come derivare li dentro, come gestire i $d/dt$ e perchè certe volte siano $d^2/dt^2$ ecc
Quel $\frac{\text{d}}{\text{d}t}$ è un operatore di derivazione, brutalmente lo devi pensare come "quando qualcosa compare alla sua destra va derivato rispetto a $t$"; lo stesso devi fare se compaiono altri operatori alla sua destra.
In questo caso particolare, alla sua destra compare il prodotto tra una funzione di $t$ e un altro operatore di derivazione (che all'interno della parentesi quadra sia un operatore che in questo contesto non esegue nulla lo deduci dal fatto che alla sua destra non compare nulla, quindi come si dice in gergo tecnico "non è applicato a nulla").
Quindi hai per la regola della derivazione del prodotto di due funzioni
$$\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \right]=\frac{1}{e^t} \left[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{e^t}\right) \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)\right]$$
Ora quello che è dentro le parentesi tonde è effettivamente una funzione da derivare, gli altri sono operatori di derivazione. Quindi
$$\frac{1}{e^t} \left[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{e^t}\right) \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)\right]=\frac{1}{e^t} \left[-\frac{1}{e^{t}} \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}^2}{\text{d}t^2}\right]=-\frac{1}{e^{2t}} \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^{2t}} \frac{\text{d}^2}{\text{d}t^2}$$
L'ultimo operatore con i quadrati è appunto l'idea di derivare un qualcosa che è un operatore di derivazione, quindi diventa un operatore di derivata seconda.
Ovviamente non c'è nessuna pretesa di rigore in quello che ho scritto, è un approccio spannometrico per aiuto.
In questo caso particolare, alla sua destra compare il prodotto tra una funzione di $t$ e un altro operatore di derivazione (che all'interno della parentesi quadra sia un operatore che in questo contesto non esegue nulla lo deduci dal fatto che alla sua destra non compare nulla, quindi come si dice in gergo tecnico "non è applicato a nulla").
Quindi hai per la regola della derivazione del prodotto di due funzioni
$$\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \right]=\frac{1}{e^t} \left[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{e^t}\right) \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)\right]$$
Ora quello che è dentro le parentesi tonde è effettivamente una funzione da derivare, gli altri sono operatori di derivazione. Quindi
$$\frac{1}{e^t} \left[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{e^t}\right) \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)\right]=\frac{1}{e^t} \left[-\frac{1}{e^{t}} \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^t} \frac{\text{d}^2}{\text{d}t^2}\right]=-\frac{1}{e^{2t}} \frac{\text{d}}{\text{d}t}+\frac{1}{e^{2t}} \frac{\text{d}^2}{\text{d}t^2}$$
L'ultimo operatore con i quadrati è appunto l'idea di derivare un qualcosa che è un operatore di derivazione, quindi diventa un operatore di derivata seconda.
Ovviamente non c'è nessuna pretesa di rigore in quello che ho scritto, è un approccio spannometrico per aiuto.
grazie mille , la spiegazione brutale mi ha aiutato molto...e ho provato anche l'altro passaggio sperando di aver fatto giusto
$1/e^t[d/dt(1/e^(2t)d^2/dt^2 - 1/e^(2t)d/dt) + (1/e^(2t) d^2/dt^2 -1/e^(2t) d/dt) (d/dt)]$
$1/e^t[-2/e^(2t) d^2/dt^2 +2/e^(2t) d/dt +1/e^(2t) d^3/dt^3 -1/e^(2t) d^2/dt^2]$
$1/e^t(1/e^(2t) d^3/dt^3 - 3/e^(2t)d^2/dt^2 + 2/e^(2t) d/dt$
$1/e^t[d/dt(1/e^(2t)d^2/dt^2 - 1/e^(2t)d/dt) + (1/e^(2t) d^2/dt^2 -1/e^(2t) d/dt) (d/dt)]$
$1/e^t[-2/e^(2t) d^2/dt^2 +2/e^(2t) d/dt +1/e^(2t) d^3/dt^3 -1/e^(2t) d^2/dt^2]$
$1/e^t(1/e^(2t) d^3/dt^3 - 3/e^(2t)d^2/dt^2 + 2/e^(2t) d/dt$
grazie mille , la spiegazione brutale mi ha aiutato molto...e ho provato anche l'altro passaggio sperando di aver fatto giusto
$1/e^t[d/dt(1/e^(2t)d^2/dt^2 - 1/e^(2t)d/dt) + (1/e^(2t) d^2/dt^2 -1/e^(2t) d/dt) (d/dt)]$
$1/e^t[-2/e^(2t) d^2/dt^2 +2/e^(2t) d/dt +1/e^(2t) d^3/dt^3 -1/e^(2t) d^2/dt^2]$
$1/e^t(1/e^(2t) d^3/dt^3 - 3/e^(2t)d^2/dt^2 + 2/e^(2t) d/dt$
$1/e^t[d/dt(1/e^(2t)d^2/dt^2 - 1/e^(2t)d/dt) + (1/e^(2t) d^2/dt^2 -1/e^(2t) d/dt) (d/dt)]$
$1/e^t[-2/e^(2t) d^2/dt^2 +2/e^(2t) d/dt +1/e^(2t) d^3/dt^3 -1/e^(2t) d^2/dt^2]$
$1/e^t(1/e^(2t) d^3/dt^3 - 3/e^(2t)d^2/dt^2 + 2/e^(2t) d/dt$
"gugo82":
Se il problema (che non è un PdC... Perché?) è quello, non hai neanche un calcolo da fare come detto su.
Se consideri solo la EDO, allora la sostituzione da fare è $x=e^t$.
Devi vedere, come sempre quando cambi variabile indipendente, come si trasformano gli operatori differenziali coinvolti, in questo caso $("d")/("d"x)$, $("d"^2)/("d"x^2)$ e $("d"^3)/("d"x^3)$.
Fai due conti e trovi:
$("d")/("d"x) = 1/(("d"x)/("d"t)) * ("d")/("d"t) = 1/e^t * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x * ("d")/("d"x) = ("d")/("d" t)$.
Ancora:
$("d"^2)/("d"x^2) = ("d")/("d"x) [("d")/("d"x)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^t * ("d")/("d"t)] = 1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x^2 * ("d"^2)/("d"x^2) = ("d"^2)/("d"t^2) - ("d")/("d"t)$.
Analogamente:
$("d"^3)/("d"x^3) = ("d")/("d"x) [("d"^2)/("d"x^2)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)] = 1/e^(3t) * ("d"^3)/("d"t^3) - 3/e^(3t) * ("d"^2)/("d"t^2) +2/e^(3t) * ("d")/("d"t)$
sicché:
$x^3 * ("d"^3)/("d"x^3) = ("d"^3)/("d"t^3) - 3 ("d"^2)/("d"t^2) + 2 ("d")/("d"t)$.
Ne viene (convenendo di denotare con $z(t)$ la funzione $z(e^t)$ e sempre con apice la derivazione anche rispetto alla nuova variabile $t$) che:
$x^3 z^(\prime \prime \prime) (x) + x^2 z^(\prime \prime)(x) + x z^\prime (x) + 6 z(x) = 0 <=> (z^(\prime \prime \prime)(t) - 3 z^(\prime \prime)(t) + 2 z^\prime(t)) + (z^(\prime \prime)(t) - z^\prime (t)) + z^\prime (t) + 6 z(t) = 0 <=> z^(\prime\prime\prime)(t) -2z^(\prime\prime)(t)+2z^\prime(t)+6z(t)=0$
con la EDO ausiliaria lineare a coefficienti costanti.
Risolta quest'ultima, per determinare la soluzione del problema originario basta fare la sostituzione inversa $t = log x$... Casomai qui il problema è che le radici del polinomio caratteristico non sono determinabili in maniera semplice.
***
Ovviamente, se vuoi fare meno conti, basta formulare un educated guess sulla forma della soluzione.
Supponiamo che la soluzione sia del tipo potenza, i.e. del tipo $z(x) = x^alpha$ per qualche $alpha in RR$ da determinare.
Dai in pasto la probabile soluzione alla EDO e vedi che fine fai: ottieni:
$alpha(alpha-1)(alpha-2)x^alpha + alpha(alpha -1) x^alpha + alpha x^alpha + 6 x^alpha = 0$
da cui, semplificando $x^alpha$ e riducendo i termini simili, trai:
$alpha^3 -2alpha^2 +2alpha +6=0$
che (guarda un po'...) coincide coll'equazione caratteristica della EDO ausiliaria determinata sopra.
Quindi, se le soluzioni $alpha$ di questa equazione algebrica sono reali e se le riesci ad esprimere decentemente, l'integrale generale della tua EDO di ottiene come combinazione lineare di tre potenze.
P.S.: Ho controllato: il polinomio caratteristico della EDO ausiliaria ha una radice reale e due complesse, che sono espresse da formule obbrobriose.
Chi ti ha proposto l'esercizio non deve averci riflettuto con attenzione oppure si è perso qualche dettaglio per strada.
Se vuoi un esercizio più significativo, in cui riesci a terminare il calcolo, puoi provare a sostituire il termine $6 z(x)$ della EDO iniziale o con $-z(x)$ oppure con $-4z(x)$.
ho provato a risolvere l'esercizio da te proposto.
$x^3z'''(x)+x^2z''(x)+xz'(x)-4z(x)=0$
posto $w(t)$ la funzione $w(e^t)$ si ha che
$w'''(t)-2w''(t)+2w'(t)-4w(t)=0$
$k^3-2k^2+2k-4=0$ e usando Ruffini $(k^2+2)*(k-2)=0$ da cui $k=2$ o $k=+-sqrt(2i)$ e dunque
$w(t)=e^(2t)+ Acos(sqrt(2)t) + Bsin(sqrt(2)t)$
e sostituendo si ha
$z(x)=e^(2ln(x))+ Acos(sqrt(2)ln(x)) + Bsin(sqrt(2)ln(x))$
è corretto?
grazie
"Aletzunny":
ad esempio non ho capito come si trova che [...]
Semplicemente, Teoremi di Derivazione della Funzione Composta e Derivazione della Funzione Inversa.
Ma applicato come fanno gli ingegneri (e come avrebbe fatto Eulero), senza troppi fronzoli, usando i differenziali.
Pilloeffe ti ha mostrato come.
"Aletzunny":
ho provato a risolvere [...] è corretto?
Per quel che riguarda la verifica, falla da te.
Come si fa a verificare che una funzione risolve una EDO?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]ad esempio non ho capito come si trova che [...]
Semplicemente, Teoremi di Derivazione della Funzione Composta e Derivazione della Funzione Inversa.
Ma applicato come fanno gli ingegneri (e come avrebbe fatto Eulero), senza troppi fronzoli, usando i differenziali.
Pilloeffe ti ha mostrato come.
"Aletzunny":
ho provato a risolvere [...] è corretto?
Per quel che riguarda la verifica, falla da te.
Come si fa a verificare che una funzione risolve una EDO?[/quote]
Derivando e sostituendo direttamente... io ho provato e mi pareva fosse corretto... non so se però ho fatto altri errori.
Grazie
"Aletzunny":
Derivando e sostituendo direttamente... io ho provato e mi pareva fosse corretto...
Bravo.
"Aletzunny":
non so se però ho fatto altri errori.
Perché dovresti averne fatti?
Perfetto, allora è corretto!
Perché non credo mai abbastanza in me stesso, ahimè
Perché non credo mai abbastanza in me stesso, ahimè
"Aletzunny":
Perfetto, allora è corretto!
No... Tanto per cominciare qui:
"Aletzunny":
[...] o $k=\pm sqrt{2i}$
In realtà è $ k^2 = - 2 \implies k_{2,3} = \pm sqrt2 i $
Ma soprattutto qui:
"Aletzunny":
$w(t) = e^{2t} + Acos(sqrt2 t) + Bsin(sqrt2 t) $
Manca la costante che moltiplica la funzione $e^{2t} $, che per qualche motivo che ignoro hai assunto arbitrariamente pari a $1$: la cosa beninteso è lecita, ma non è la soluzione più generale che è invece la seguente:
$ w(t) = c_1 e^{2t} + c_2 cos(sqrt2 t) + c_3 sin(sqrt2 t) $
Trattandosi di un'equazione differenziale del terzo ordine è naturale che vi siano tre costanti, non solo due...
"Aletzunny":
Perché non credo mai abbastanza in me stesso, ahimè
Male: come diceva uno dei miei grandi istruttori di apnea, se non credi tu in te stesso, non ci credo neanch'io...
"pilloeffe":
[quote="Aletzunny"]Perfetto, allora è corretto!
No... Tanto per cominciare qui:
"Aletzunny":
[...] o $k=\pm sqrt{2i}$
In realtà è $ k^2 = - 2 \implies k_{2,3} = \pm sqrt2 i $
Ma soprattutto qui:
"Aletzunny":
$w(t) = e^{2t} + Acos(sqrt2 t) + Bsin(sqrt2 t) $
Manca la costante che moltiplica la funzione $e^{2t} $, che per qualche motivo che ignoro hai assunto arbitrariamente pari a $1$: la cosa beninteso è lecita, ma non è la soluzione più generale che è invece la seguente:
$ w(t) = c_1 e^{2t} + c_2 cos(sqrt2 t) + c_3 sin(sqrt2 t) $
Trattandosi di un'equazione differenziale del terzo ordine è naturale che vi siano tre costanti, non solo due...
"Aletzunny":
Perché non credo mai abbastanza in me stesso, ahimè
Male: come diceva uno dei miei grandi istruttori di apnea, se non credi tu in te stesso, non ci credo neanch'io...
[/quote]Ciao, grazie per le correzioni! Allora sul $k$ ho palesemente sbagliato a scrivere qui...ma l'avevo fatto giusto!
Invece sulla costante l'ho proprio dimenticata ieri sera quando ho "concluso" l'esercizio ma ho capito benissimo la sua necessità in una soluzione generale!
Grazie
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