Equazioni di eulero
ciao a tutti, qualcuno mi può spiegare come si risolvono le equazioni differenziali di Eulero? Non ho proprio capito
Oppure avete qualche link dove sono spiegate per bene?
Grazie
Oppure avete qualche link dove sono spiegate per bene?
Grazie
Risposte
Ciao Aletzunny,
Potresti cominciare a dare un'occhiata ad esempio qui.
Cercando poi "equazione differenziale di eulero" su questo stesso forum troverai 11 pagine di materiale e 105 risultati...
Potresti cominciare a dare un'occhiata ad esempio qui.
Cercando poi "equazione differenziale di eulero" su questo stesso forum troverai 11 pagine di materiale e 105 risultati...
Ciao, quello che non mi è chiaro è un passaggio che ho visto a lezione: se $x>0$ $t=ln(x)$ e se $x<0$ allora $t=ln(-x)$; ma poi fatta questa sostituzione non ho capito come devo procedere nella sostituzione. Cioè in un esempio pratico non ho capito come agire...
"Aletzunny":
quello che non mi è chiaro è un passaggio che ho visto a lezione: se $x>0$ $t=ln(x)$ e se $ x<0 $ allora $t=ln(−x)$
Beh, io a lezione non c'ero, ma è chiaro che occorre distinguere i due casi, essendo la funzione $ln(x) $ definita per $x > 0 $. Nel dubbio puoi considerare $t = ln|x| $
Un esempio pratico puoi trovarlo anche qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Euler_equation
"Aletzunny":
Cioè in un esempio pratico non ho capito come agire...
Perché non riporti qui l'esempio pratico che così ci diamo un'occhiata?
"Aletzunny":
Ciao, quello che non mi è chiaro è un passaggio che ho visto a lezione: se $x>0$ $t=ln(x)$ e se $x<0$ allora $t=ln(-x)$; ma poi fatta questa sostituzione non ho capito come devo procedere nella sostituzione. Cioè in un esempio pratico non ho capito come agire...
Beh, basta leggere il mio post nel thread linkato da pilloeffe per capire.
"pilloeffe":
[quote="Aletzunny"] quello che non mi è chiaro è un passaggio che ho visto a lezione: se $x>0$ $t=ln(x)$ e se $ x<0 $ allora $t=ln(−x)$
Beh, io a lezione non c'ero, ma è chiaro che occorre distinguere i due casi, essendo la funzione $ln(x) $ definita per $x > 0 $. Nel dubbio puoi considerare $t = ln|x| $
Un esempio pratico puoi trovarlo anche qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Euler_equation
"Aletzunny":
Cioè in un esempio pratico non ho capito come agire...
Perché non riporti qui l'esempio pratico che così ci diamo un'occhiata?[/quote]
Questo è l'esempio da cui non riesco ad uscire
$x^3*z'''+x^2*z''+x*z'+6z=0$
$z(0)=-6$
Grazie
Vabbè, bellino l'esempio... Ma cosa hai provato?
"gugo82":
Vabbè, bellino l'esempio... Ma cosa hai provato?
innanzitutto non so cosa fare all'inizio poichè qui ho $x=0$ da $z(0)=-6$ e dunque non penso si possa applicare tale metodo perchè il $ln(x)$ o $ln(-x)$ non è definito.
Ho dunque considerato $z(1)=-6$ e ho ragionato cosi
$t=ln(x)$ e $z(x)=z(e^t)=w(t)$ da cui
$w'(t)=z'(e^t)*e^t=z'(x)*x$
$w''(t)=z''(e^t)*e^t*e^t+e^t*z'(e^t)=z''(x)*x^2+z'(x)*x$
$w'''(t)=z'''(e^t)*e^(3t)+2e^(2t)*z''(e^t)+z''(e^t)*e^(2t)+e^t*z'(e^t)=x^3*z'''(x)+3x^2*z''(x)+xz'(x)$
ma ora non so come sostituire nell'equazione iniziale e quindi non so più come andare avanti
In realtà non hai nulla da calcolare. Il problema assegnato non può avere alcuna soluzione perché sostituendo la c.i. nella EDO si ottiene un'uguaglianza falsa anche nei peggiori bar di Caracas.
Ma, pur volendo cambiare il punto iniziale, quel problema sarebbe comunque sottodeterminato, poiché ha meno condizioni di quelle che servono a determinare univocamente la soluzione.
Da dove hai preso il testo?
Ma, pur volendo cambiare il punto iniziale, quel problema sarebbe comunque sottodeterminato, poiché ha meno condizioni di quelle che servono a determinare univocamente la soluzione.
Da dove hai preso il testo?
Tralasciando il problema di Cauchy (purtroppo della lezione manca una parte dell'audio e forse allora qualcosa non torna) l'equazione differenziale iniziale sarebbe (penso) un'equazione di Eulero e non comprendo come si debba risolvere...
Perché ciò che più mi interessa è capire come si risolvono tali equazioni...e seguendo la teoria (supponendo $x>0$) non riesco a trovare la soluzione.
Grazie
Grazie
Se il problema (che non è un PdC... Perché?) è quello, non hai neanche un calcolo da fare come detto su.
Se consideri solo la EDO, allora la sostituzione da fare è $x=e^t$.
Devi vedere, come sempre quando cambi variabile indipendente, come si trasformano gli operatori differenziali coinvolti, in questo caso $("d")/("d"x)$, $("d"^2)/("d"x^2)$ e $("d"^3)/("d"x^3)$.
Fai due conti e trovi:
$("d")/("d"x) = 1/(("d"x)/("d"t)) * ("d")/("d"t) = 1/e^t * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x * ("d")/("d"x) = ("d")/("d" t)$.
Ancora:
$("d"^2)/("d"x^2) = ("d")/("d"x) [("d")/("d"x)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^t * ("d")/("d"t)] = 1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x^2 * ("d"^2)/("d"x^2) = ("d"^2)/("d"t^2) - ("d")/("d"t)$.
Analogamente:
$("d"^3)/("d"x^3) = ("d")/("d"x) [("d"^2)/("d"x^2)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)] = 1/e^(3t) * ("d"^3)/("d"t^3) - 3/e^(3t) * ("d"^2)/("d"t^2) +2/e^(3t) * ("d")/("d"t)$
sicché:
$x^3 * ("d"^3)/("d"x^3) = ("d"^3)/("d"t^3) - 3 ("d"^2)/("d"t^2) + 2 ("d")/("d"t)$.
Ne viene (convenendo di denotare con $z(t)$ la funzione $z(e^t)$ e sempre con apice la derivazione anche rispetto alla nuova variabile $t$) che:
$x^3 z^(\prime \prime \prime) (x) + x^2 z^(\prime \prime)(x) + x z^\prime (x) + 6 z(x) = 0 <=> (z^(\prime \prime \prime)(t) - 3 z^(\prime \prime)(t) + 2 z^\prime(t)) + (z^(\prime \prime)(t) - z^\prime (t)) + z^\prime (t) + 6 z(t) = 0 <=> z^(\prime\prime\prime)(t) -2z^(\prime\prime)(t)+2z^\prime(t)+6z(t)=0$
con la EDO ausiliaria lineare a coefficienti costanti.
Risolta quest'ultima, per determinare la soluzione del problema originario basta fare la sostituzione inversa $t = log x$... Casomai qui il problema è che le radici del polinomio caratteristico non sono determinabili in maniera semplice.
***
Ovviamente, se vuoi fare meno conti, basta formulare un educated guess sulla forma della soluzione.
Supponiamo che la soluzione sia del tipo potenza, i.e. del tipo $z(x) = x^alpha$ per qualche $alpha in RR$ da determinare.
Dai in pasto la probabile soluzione alla EDO e vedi che fine fai: ottieni:
$alpha(alpha-1)(alpha-2)x^alpha + alpha(alpha -1) x^alpha + alpha x^alpha + 6 x^alpha = 0$
da cui, semplificando $x^alpha$ e riducendo i termini simili, trai:
$alpha^3 -2alpha^2 +2alpha +6=0$
che (guarda un po'...) coincide coll'equazione caratteristica della EDO ausiliaria determinata sopra.
Quindi, se le soluzioni $alpha$ di questa equazione algebrica sono reali e se le riesci ad esprimere decentemente, l'integrale generale della tua EDO di ottiene come combinazione lineare di tre potenze.
P.S.: Ho controllato: il polinomio caratteristico della EDO ausiliaria ha una radice reale e due complesse, che sono espresse da formule obbrobriose.
Chi ti ha proposto l'esercizio non deve averci riflettuto con attenzione oppure si è perso qualche dettaglio per strada.
Se vuoi un esercizio più significativo, in cui riesci a terminare il calcolo, puoi provare a sostituire il termine $6 z(x)$ della EDO iniziale o con $-z(x)$ oppure con $-4z(x)$.
Se consideri solo la EDO, allora la sostituzione da fare è $x=e^t$.
Devi vedere, come sempre quando cambi variabile indipendente, come si trasformano gli operatori differenziali coinvolti, in questo caso $("d")/("d"x)$, $("d"^2)/("d"x^2)$ e $("d"^3)/("d"x^3)$.
Fai due conti e trovi:
$("d")/("d"x) = 1/(("d"x)/("d"t)) * ("d")/("d"t) = 1/e^t * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x * ("d")/("d"x) = ("d")/("d" t)$.
Ancora:
$("d"^2)/("d"x^2) = ("d")/("d"x) [("d")/("d"x)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^t * ("d")/("d"t)] = 1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x^2 * ("d"^2)/("d"x^2) = ("d"^2)/("d"t^2) - ("d")/("d"t)$.
Analogamente:
$("d"^3)/("d"x^3) = ("d")/("d"x) [("d"^2)/("d"x^2)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)] = 1/e^(3t) * ("d"^3)/("d"t^3) - 3/e^(3t) * ("d"^2)/("d"t^2) +2/e^(3t) * ("d")/("d"t)$
sicché:
$x^3 * ("d"^3)/("d"x^3) = ("d"^3)/("d"t^3) - 3 ("d"^2)/("d"t^2) + 2 ("d")/("d"t)$.
Ne viene (convenendo di denotare con $z(t)$ la funzione $z(e^t)$ e sempre con apice la derivazione anche rispetto alla nuova variabile $t$) che:
$x^3 z^(\prime \prime \prime) (x) + x^2 z^(\prime \prime)(x) + x z^\prime (x) + 6 z(x) = 0 <=> (z^(\prime \prime \prime)(t) - 3 z^(\prime \prime)(t) + 2 z^\prime(t)) + (z^(\prime \prime)(t) - z^\prime (t)) + z^\prime (t) + 6 z(t) = 0 <=> z^(\prime\prime\prime)(t) -2z^(\prime\prime)(t)+2z^\prime(t)+6z(t)=0$
con la EDO ausiliaria lineare a coefficienti costanti.
Risolta quest'ultima, per determinare la soluzione del problema originario basta fare la sostituzione inversa $t = log x$... Casomai qui il problema è che le radici del polinomio caratteristico non sono determinabili in maniera semplice.
***
Ovviamente, se vuoi fare meno conti, basta formulare un educated guess sulla forma della soluzione.
Supponiamo che la soluzione sia del tipo potenza, i.e. del tipo $z(x) = x^alpha$ per qualche $alpha in RR$ da determinare.
Dai in pasto la probabile soluzione alla EDO e vedi che fine fai: ottieni:
$alpha(alpha-1)(alpha-2)x^alpha + alpha(alpha -1) x^alpha + alpha x^alpha + 6 x^alpha = 0$
da cui, semplificando $x^alpha$ e riducendo i termini simili, trai:
$alpha^3 -2alpha^2 +2alpha +6=0$
che (guarda un po'...) coincide coll'equazione caratteristica della EDO ausiliaria determinata sopra.
Quindi, se le soluzioni $alpha$ di questa equazione algebrica sono reali e se le riesci ad esprimere decentemente, l'integrale generale della tua EDO di ottiene come combinazione lineare di tre potenze.
P.S.: Ho controllato: il polinomio caratteristico della EDO ausiliaria ha una radice reale e due complesse, che sono espresse da formule obbrobriose.
Chi ti ha proposto l'esercizio non deve averci riflettuto con attenzione oppure si è perso qualche dettaglio per strada.
Se vuoi un esercizio più significativo, in cui riesci a terminare il calcolo, puoi provare a sostituire il termine $6 z(x)$ della EDO iniziale o con $-z(x)$ oppure con $-4z(x)$.
"gugo82":
Se il problema (che non è un PdC... Perché?) è quello, non hai neanche un calcolo da fare come detto su.
Se consideri solo la EDO, allora la sostituzione da fare è $x=e^t$.
Devi vedere, come sempre quando cambi variabile indipendente, come si trasformano gli operatori differenziali coinvolti, in questo caso $("d")/("d"x)$, $("d"^2)/("d"x^2)$ e $("d"^3)/("d"x^3)$.
Fai due conti e trovi:
$("d")/("d"x) = 1/(("d"x)/("d"t)) * ("d")/("d"t) = 1/e^t * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x * ("d")/("d"x) = ("d")/("d" t)$.
Ancora:
$("d"^2)/("d"x^2) = ("d")/("d"x) [("d")/("d"x)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^t * ("d")/("d"t)] = 1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)$
da cui:
$x^2 * ("d"^2)/("d"x^2) = ("d"^2)/("d"t^2) - ("d")/("d"t)$.
Analogamente:
$("d"^3)/("d"x^3) = ("d")/("d"x) [("d"^2)/("d"x^2)] = 1/e^t * ("d")/("d"t) [1/e^(2t) * ("d"^2)/("d"t^2) - 1/e^(2t) * ("d")/("d"t)] = 1/e^(3t) * ("d"^3)/("d"t^3) - 3/e^(3t) * ("d"^2)/("d"t^2) +2/e^(3t) * ("d")/("d"t)$
sicché:
$x^3 * ("d"^3)/("d"x^3) = ("d"^3)/("d"t^3) - 3 ("d"^2)/("d"t^2) + 2 ("d")/("d"t)$.
Ne viene (convenendo di denotare con $z(t)$ la funzione $z(e^t)$ e sempre con apice la derivazione anche rispetto alla nuova variabile $t$) che:
$x^3 z^(\prime \prime \prime) (x) + x^2 z^(\prime \prime)(x) + x z^\prime (x) + 6 z(x) = 0 <=> (z^(\prime \prime \prime)(t) - 3 z^(\prime \prime)(t) + 2 z^\prime(t)) + (z^(\prime \prime)(t) - z^\prime (t)) + z^\prime (t) + 6 z(t) = 0 <=> z^(\prime\prime\prime)(t) -2z^(\prime\prime)(t)+2z^\prime(t)+6z(t)=0$
con la EDO ausiliaria lineare a coefficienti costanti.
Risolta quest'ultima, per determinare la soluzione del problema originario basta fare la sostituzione inversa $t = log x$... Casomai qui il problema è che le radici del polinomio caratteristico non sono determinabili in maniera semplice.
***
Ovviamente, se vuoi fare meno conti, basta formulare un educated guess sulla forma della soluzione.
Supponiamo che la soluzione sia del tipo potenza, i.e. del tipo $z(x) = x^alpha$ per qualche $alpha in RR$ da determinare.
Dai in pasto la probabile soluzione alla EDO e vedi che fine fai: ottieni:
$alpha(alpha-1)(alpha-2)x^alpha + alpha(alpha -1) x^alpha + alpha x^alpha + 6 x^alpha = 0$
da cui, semplificando $x^alpha$ e riducendo i termini simili, trai:
$alpha^3 -2alpha^2 +2alpha +6=0$
che (guarda un po'...) coincide coll'equazione caratteristica della EDO ausiliaria determinata sopra.
Quindi, se le soluzioni $alpha$ di questa equazione algebrica sono reali e se le riesci ad esprimere decentemente, l'integrale generale della tua EDO di ottiene come combinazione lineare di tre potenze.
P.S.: Ho controllato: il polinomio caratteristico della EDO ausiliaria ha una radice reale e due complesse, che sono espresse da formule obbrobriose.
Chi ti ha proposto l'esercizio non deve averci riflettuto con attenzione oppure si è perso qualche dettaglio per strada.
Se vuoi un esercizio più significativo, in cui riesci a terminare il calcolo, puoi provare a sostituire il termine $6 z(x)$ della EDO iniziale o con $-z(x)$ oppure con $-4z(x)$.
Allora ho capito il ragionamento dietro all'equazione di Eulero e alle varie soluzioni ma non ho davvero capito come hai fatto la sostituzione $x=e^t$ e mi spiego:
io parto dall'equazione differenziale iniziale con $x$ e $z(x)$ ma poi non ho capito come calcoli le varie derivate che portano ad ottenere la nuova forma dell'equazione!
Per ora l'unica sostituzione che avevo visto era $t=z/x$ in equazioni del tipo $z'=f(z/x)$ che rendeva poi $z=tx$ e dunque $z'=t+xt'$ ma qui non ho capito come sì è agitoe quindi non capisco come si ottenga poi un'equazione a coefficienti costanti.
Grazie
Pensavo che dovessi agire così
$t=ln(x)$ e $z(x)=z(e^t)=w(t)$ da cui
$w'(t)=z'(e^t)*e^t=z'(x)*x$
$w''(t)=z''(e^t)*e^t*e^t+e^t*z'(e^t)=z''(x)*x^2+z'(x)*x$
$w'''(t)=z'''(e^t)*e^(3t)+2e^(2t)*z''(e^t)+z''(e^t)*e^(2t)+e^t*z'(e^t)=x^3*z'''(x)+3x^2*z''(x)+xz'(x)$
Che errori ho commesso? Oppure cosa mancherebbe?
Grazie
$t=ln(x)$ e $z(x)=z(e^t)=w(t)$ da cui
$w'(t)=z'(e^t)*e^t=z'(x)*x$
$w''(t)=z''(e^t)*e^t*e^t+e^t*z'(e^t)=z''(x)*x^2+z'(x)*x$
$w'''(t)=z'''(e^t)*e^(3t)+2e^(2t)*z''(e^t)+z''(e^t)*e^(2t)+e^t*z'(e^t)=x^3*z'''(x)+3x^2*z''(x)+xz'(x)$
Che errori ho commesso? Oppure cosa mancherebbe?
Grazie
Il problema non è ricavare le derivate di $w(t)$ in termini di quelle di $z(x)$, ma viceversa (perché nella EDO iniziale vuoi liberarti proprio di queste ultime).
Quindi devi fare i conti in modo da esprimere le derivate di $z(x)$, o meglio le quantità $x^n z^((n))(x)$, in funzione di quelle di $w(t)$.
Quindi devi fare i conti in modo da esprimere le derivate di $z(x)$, o meglio le quantità $x^n z^((n))(x)$, in funzione di quelle di $w(t)$.
"gugo82":
Il problema non è ricavare le derivate di $w(t)$ in termini di quelle di $z(x)$, ma viceversa (perché nella EDO iniziale vuoi liberarti proprio di queste ultime).
Quindi devi fare i conti in modo da esprimere le derivate di $z(x)$, o meglio le quantità $x^n z^((n))(x)$, in funzione di quelle di $w(t)$.
ecco allora non ho proprio capito come devo derivare e di conseguenza tutti i passaggi che sono stati messi nel tuo post precedente.
Potresti spiegarmi questo aspetto?
grazie
Scusami Aletzunny, ma il mio post precedente ti mostra tutti, ma proprio tutti, i passaggi.
Cosa non ti è chiaro?
Un altro approccio possibile, che completa i tuoi calcoli è questo: chiama $A=xz^\prime(x),\ B=x^2z^(\prime \prime)(x),\ C=x^3 z^(\prime \prime \prime)(x)$ e nota che le relazioni che hai trovato si possono scrivere come un sistema lineare nelle incognite $A,B,C$:
$\{(A = w^\prime(t)), (A+B = w^(\prime \prime)(t)), (A+3B+C = w^(\prime \prime \prime)(t)):}$
che puoi risolvere per trovare quel che ti serve.
Oppure, altro metodo, invece di considerare $w(t) = z(e^t)$, considera e deriva $z(x) = w(log x)$: usando un po' di algebra ottieni comunque quel che ti serve.
Cosa non ti è chiaro?
Un altro approccio possibile, che completa i tuoi calcoli è questo: chiama $A=xz^\prime(x),\ B=x^2z^(\prime \prime)(x),\ C=x^3 z^(\prime \prime \prime)(x)$ e nota che le relazioni che hai trovato si possono scrivere come un sistema lineare nelle incognite $A,B,C$:
$\{(A = w^\prime(t)), (A+B = w^(\prime \prime)(t)), (A+3B+C = w^(\prime \prime \prime)(t)):}$
che puoi risolvere per trovare quel che ti serve.
Oppure, altro metodo, invece di considerare $w(t) = z(e^t)$, considera e deriva $z(x) = w(log x)$: usando un po' di algebra ottieni comunque quel che ti serve.
"gugo82":
Scusami Aletzunny, ma il mio post precedente ti mostra tutti, ma proprio tutti, i passaggi.
Cosa non ti è chiaro?
Un altro approccio possibile, che completa i tuoi calcoli è questo: chiama $A=xz^\prime(x),\ B=x^2z^(\prime \prime)(x),\ C=x^3 z^(\prime \prime \prime)(x)$ e nota che le relazioni che hai trovato si possono scrivere come un sistema lineare nelle incognite $A,B,C$:
$\{(A = w^\prime(t)), (A+B = w^(\prime \prime)(t)), (A+3B+C = w^(\prime \prime \prime)(t)):}$
che puoi risolvere per trovare quel che ti serve.
Oppure, altro metodo, invece di considerare $w(t) = z(e^t)$, considera e deriva $z(x) = w(log x)$: usando un po' di algebra ottieni comunque quel che ti serve.
del post precedente non capisco come trovi le derivate che poi vanno sostituite nell'equazione iniziale...poi da lì ci sono.
Non capisco partendo da $x=e^t$ come si trovano derivando $z(t),z'(t)$ e via
ad esempio non ho capito come si trova che $d/(dx)=1/e^t*(d/dt)$ e come si trovano poi $d^2/dx^2$ e $d^3/dx^3$
"Aletzunny":
ad esempio non ho capito come si trova che $d/(dx)=1/e^t*(d/dt) $ e [...]
Aletzunny abbi pazienza, ma gugo82 te l'ha spiegato benissimo qui:
"gugo82":
Fai due conti e trovi:
$ ("d")/("d"x) = 1/(("d"x)/("d"t)) * ("d")/("d"t) = 1/e^t * ("d")/("d"t) $
Se $x(t) = e^t \implies ("d"x)/("d"t) = e^t $ e moltiplicando ambo i membri per $e^t = x $ si trova proprio l'altro passaggio che ti ha scritto:
$ x * ("d")/("d"x) = ("d")/("d" t) $
Le derivate successive te le ha spiegate di seguito...
Cos'è che ancora non ti è chiaro?
quando calcolo $d^2/dx^2=d/dx*[d/dx]=1/e^t d/dt[1/e^t d/dt]$ fino a qui ci sono ma poi non capisco come si trova l'uguaglianza successiva, cioè $1/e^(2t)d^2/dt^2 - 1/e^(2t) d/dt$
e analogamente non capisco come calcolare poi $d^3/dx^3$ una volta arrivati a $1/e^t d/dt[1/e^(2t) d^2/dt^2 - 1/e^(2t)d/dt]$
e analogamente non capisco come calcolare poi $d^3/dx^3$ una volta arrivati a $1/e^t d/dt[1/e^(2t) d^2/dt^2 - 1/e^(2t)d/dt]$
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