Equazioni con radice

[maschinada]

rad(x^2+2x-2a-1)=x-a
trovare le soluzioni.

vorrei sapere in generale come si impostano questo genere d equazioni contenente anche a.

Grazie.

[ciampax]

Sostanzialmente sono equazioni parametriche. Per prima cosa, vanno imposte alcune condizioni affinché l'equazione sia risolubile.

Dal momento che la radice è positiva (è una radice di indice pari), il membro sinistro deve risultare positivo, per cui

[math]x-a\ge 0[/math]

, e quindi

[math]x\ge a[/math]

(osserva che qui non vanno poste condizioni sulla

[math]a[/math]

).


Perché invece abbia senso la radice, dobbiamo porre

[math](1)\qquad x^2+2x-2a-1\ge 0[/math]

.
Ora, il discriminante della equazione di secondo grado associata risulta pari a

[math]\Delta=4-4(-2a-1)=4+8a+4=8(a+1)[/math]

Qui va fatta allora una discussione sulle risoluzioni della disequazione.

1) se

[math]\Delta >0[/math]

e quindi se

[math]a> -1[/math]

, la disequazione (1) ammette le soluzioni

[math]x\le x_1,\quad x\ge x_2[/math]

, avendosi

[math]x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{8(a+1)}}{2}=-1\pm\sqrt{2(a+1)}[/math]

2) se

[math]\Delta =0[/math]

e quindi se

[math]a= -1[/math]

, la disequazione (1) ammette le soluzioni

[math]x\in\mathbb{R}[/math]

3) [math]\Delta

[maschinada]

Grazie mille per la risposta molto curata! ma non ho capito bene questo:

Andiamo ora a risolvere la prima equazione: elevando ambo i membri al quadrato (sotto la prima condizione scritta x≥a
) si ottiene l'equazione
x2+2x−2a−1=x2−2ax+a2 ⇒ 2(a+1)x=a2+2a+1⇒ 2(a+1)x=(a+1)2

[ciampax]

L'equazione di partenza era

[math]\sqrt{A}=B[/math]

, per cui posso elevare al quadrato ambo i membri (una volta che ho imposto che

[math]B\ge 0[/math]

) e scrivere l'equazione equivalente

[math]A=B^2[/math]

[maschinada]

Un'ultima cosa, non ho capito bene questo passaggio:

a tale condizione non è mai soddisfatta, in quanto se −1

[ciampax]

se

[math]-1 < a < 1[/math]

aggiungendo

[math]-3[/math]

a tutti i termini viene fuori la seconda condizione. Ma visto che la disequazione che abbiamo ottenuto è

[math]2\sqrt{2(a+1)} < a-3[/math]

avresti che la radice, a sinistra, che è positiva dovrebbe essere minore di un valore che risulta sempre negativo, perché compreso tra -4 e -2

[maschinada]

Grazie mille, ti ho scritto in privato per la domanda che mi hai scritto nell altro post