Equazioni con numeri complessi
Buonasera a tutti!
Vi chiedo un aiuto con le seguenti equazioni con i numeri complessi. Il problema è che non so davvero come districarmi nei calcoli, ho rifatto tutta la teoria sui numeri complessi e mi riescono tutti gli esercizi tranne queste benedette equazioni. Vi sarei grata se mi deste dei suggerimenti e trucchetti (se esistono) di risoluzione perchè io non so proprio da dove iniziare. Inoltre il mio libro di testo del liceo non ha esercizi di questo genere, quindi non so dove esercitarmi.
1) $ ((1+i)/(z+1))^4+1=0 $
2) $ (z^2+i)^3+8=0 $
3) $ x^6 +54iz^3=729 $
4) $ (iz-1)^3+64=0 $
5) $ z= 3sqrt3 +9i rarr (3+i)/z $
Vi chiedo un aiuto con le seguenti equazioni con i numeri complessi. Il problema è che non so davvero come districarmi nei calcoli, ho rifatto tutta la teoria sui numeri complessi e mi riescono tutti gli esercizi tranne queste benedette equazioni. Vi sarei grata se mi deste dei suggerimenti e trucchetti (se esistono) di risoluzione perchè io non so proprio da dove iniziare. Inoltre il mio libro di testo del liceo non ha esercizi di questo genere, quindi non so dove esercitarmi.
1) $ ((1+i)/(z+1))^4+1=0 $
2) $ (z^2+i)^3+8=0 $
3) $ x^6 +54iz^3=729 $
4) $ (iz-1)^3+64=0 $
5) $ z= 3sqrt3 +9i rarr (3+i)/z $
Risposte
Per il primo un modo è quello di risolvere $w^4=\ -1$ dove $w=(1+i)/(z+1)$ e poi quest'ultima (allo stesso modo la seconda e la quarta) mentre la terza la risolvi come una biquadratica; la quinta cos'è?
"axpgn":
la quinta cos'è?
non so mi si chiede di di calcolare sapendo z quella frazione.
Per il resto ti ringrazio. Ci provo e posto i risultati così mi dite se faccio bene. Grazie ancora
Ah, ok ... sostituisci $z$ e "razionalizza" ...
Mmm ci ho provato ma non so comunque come fare! Potete svolgere il primo esercizio e basta? Grazie e scusate ma questo numeri complessi non mi vanno giù
Hai trovato le quattro radici di $w$ nel primo? Al di là dell'esercizio in questione, questo è basilare ...
$w = (±1±i) / √2 $
Credo..ma poi non so che fare
Credo..ma poi non so che fare
Le radici vanno bene ($w=+-sqrt(2)/2+-sqrt(2)/2i$) ... adesso, radice per radice, "risostituisci" ... $(1+i)/(z+1)=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2i$ ... scrivi $z$ in forma algebrica ($z=a+ib$) ed otterrai un'equazione in $a$ e in $b$ ... a questo punto puoi costruire un sistema in due equazioni dove in una eguagli a zero i termini reali e nell'altra eguagli a zero i termini immaginari
Guarda, è meno difficile di quel che ti sembra ...
Per comodità di scrittura pongo $r=sqrt(2)/2$
Quindi ...
$(1+i)/(z+1)=r+ri$
$0=(a+ib+1)(r+ri)-1-i$
$0=ar+ari+bri-br+r+ri-1-i$
A questo punto costruisco il sistema: un'equazione per i reali e un'altra per i coefficienti immaginari ...
${(0=ar-br+r-1),(0=ar+br+r-1):}$
${(0=b),(0=ar+r-1):}$
${(0=b),((1-r)/r=a):}$
Tolgo la $r$ ...
$(2-sqrt(2))/sqrt(2)=(2sqrt(2)-2)/2=sqrt(2)-1=a$
In conclusione la prima soluzione è $z_1=sqrt(2)-1$
Adesso prosegui per trovare le altre tre soluzioni (tieni conto che in questo caso puoi partire direttamente dal sistema, basta cambiare opportunamente i segni)
Per comodità di scrittura pongo $r=sqrt(2)/2$
Quindi ...
$(1+i)/(z+1)=r+ri$
$0=(a+ib+1)(r+ri)-1-i$
$0=ar+ari+bri-br+r+ri-1-i$
A questo punto costruisco il sistema: un'equazione per i reali e un'altra per i coefficienti immaginari ...
${(0=ar-br+r-1),(0=ar+br+r-1):}$
${(0=b),(0=ar+r-1):}$
${(0=b),((1-r)/r=a):}$
Tolgo la $r$ ...
$(2-sqrt(2))/sqrt(2)=(2sqrt(2)-2)/2=sqrt(2)-1=a$
In conclusione la prima soluzione è $z_1=sqrt(2)-1$
Adesso prosegui per trovare le altre tre soluzioni (tieni conto che in questo caso puoi partire direttamente dal sistema, basta cambiare opportunamente i segni)
"axpgn":
A questo punto costruisco il sistema: un'equazione per i reali e un'altra per i coefficienti immaginari ...
${(0=ar-br+r-1),(0=ar+br+r-1):}$
${(0=b),(0=ar+r-1):}$
${(0=b),((1-r)/r=a):}$
Ti ringrazio perchè mi hai aperto un mondo! però non capisco una cosa..che sarà banale di sicuro, sto annengando in un bicchier d'acqua, ma perchè $b=0$?
Avendo notato che nel sistema le due equazioni differivano solo per il termine contenente $b$, ho sottratto membro a membro (operazione lecita che non modifica le soluzioni del sistema), rimanendo con $0=2rb$ da cui $b=0$
lo avevo intuito ma non ero sicura, sono un po' arrugginita con i sistemi. Grazie ancora
Mi sono riusciti tutti e ne ho fatti altri, tranne il secondo perchè quel $z^2$ dentro la parentesi non so che farci? ci devo riestrarre le radici seconde? così avendo 6 soluzioni?
Beh, quella è un'equazione di sesto grado quindi avrà sei soluzioni (eventualmente multiple ...)
Posta quello che hai fatto ...
Posta quello che hai fatto ...
"axpgn":
Beh, quella è un'equazione di sesto grado quindi avrà sei soluzioni (eventualmente multiple ...)
Posta quello che hai fatto ...
Eccomi:
$ (z^2 +i)^3 + 8=0 $
$ (z^2 +i)= w $ quindi $ w^3=-8 $ ho così trovato le radici terze di $w$
$ w_1= 2(cos(pi/3) + isen(pi/3))= 1/2 +isqrt(3) $
$ w_2= -2 $
$ w_3= 1-isqrt(3) $
A questo punto io ho pensato così:
$ w= z^2 +i rarr z^2=w-i $ sostituisco a w le mie tre soluzioni trovando tre soluzione di $z^2$. Poi io ho pravato a ritrovare le radici seconde ma vengono proprio dei numeracci, non so nemmeno trasformare in termini di $pi$ l'argomento. Comunque scriovo quello che ho fatto:
$ z_1^2=w_1-i=1+(sqrt(3)-1) $
$ z_2^2=w_2-i=-2-i $
$ z_3^2=w_3-i=1+i(-sqrt(3)-1) $
Devo cercare di trovare le radici anche se sono numeri brutti? tipo per $z_2$ avrei che il modulo è $sqrt(5)$ ma l'argomento è il $cos(theta)=-2/sqrt(5)$ non so come farlo.
Poi non so come risolvere questa:
$ (zi)/(bar(z) +1)=3-i $
Grazie ancora della pazienza
In effetti son numeri bruttini, almeno per la seconda... a parte la calcolatrice non mi viene altro modo per trovare l'argomento ... 
Per questa $ (zi)/(bar(z) +1)=3-i $ invece, appurato che $z!=0$, moltiplica per il denominatore $0=(3-i)(\barz+1)-zi$, sostituisci $z=a+ib$ ottenendo $0=(3-i)(a-ib+1)-(a+ib)i$ da cui $0=3a-3ib+3-ai-b-i-ai+b\ =>\ 0=3a+3-3ib-2ai-i$ e quindi il sistema ${(0=3a+3),(0=2a+3b+1):}$ che dà ${(a= -1),(b=1/3):}$, se non ho sbagliato i conti ...
Per questa $ (zi)/(bar(z) +1)=3-i $ invece, appurato che $z!=0$, moltiplica per il denominatore $0=(3-i)(\barz+1)-zi$, sostituisci $z=a+ib$ ottenendo $0=(3-i)(a-ib+1)-(a+ib)i$ da cui $0=3a-3ib+3-ai-b-i-ai+b\ =>\ 0=3a+3-3ib-2ai-i$ e quindi il sistema ${(0=3a+3),(0=2a+3b+1):}$ che dà ${(a= -1),(b=1/3):}$, se non ho sbagliato i conti ...
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