Equazioni alle derivate parziali accoppiate (sistema)

[mirko851]

Salve, avrei un piccolo problema con una argomento di tesi.
Mi sono imbattuto nel seguente sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali

\begin{align}
\nabla^2 f_1(x,y) + a f_1(x,y) = b f_2(x,y) \\
\nabla^2 f_2(x,y) + c f_2(x,y) = d f_1(x,y) \\
\end{align}

dove l'operatore nabla si intende agire solo sulle coordiate x e y (nabla trasverso) e i coefficienti che sono presenti a,b,c,d sono tutti costanti.
Mi interessava sapere se c'è un qualche modo o teorema o metodo che mi permetta di disaccoppiare le due equazioni e di avere due equazioni indipendenti, da risolvere separatamente.
Vi ringrazio anticipatamente di un'eventuale risposta.

[Sk_Anonymous]

Dopo aver isolato gli operatori:

$\{(\nabla^2f_1=-af_1+bf_2),(\nabla^2f_2=+df_1-cf_2):}$

potresti cercare un'opportuna combinazione lineare del tipo:

$\{(f_1=a_(11)g_1+a_(12)g_2),(f_2=a_(21)g_1+a_(22)g_2):}$

in modo tale che:

$\{(\nabla^2g_1=\lambda_1g_1),(\nabla^2g_2=\lambda_2g_2):}$

Se la matrice $((-a,+b),(+d,-c))$ è simmetrica, non dovresti avere problemi. Viceversa, bisogna vedere se la matrice è diagonalizzabile. In pratica:

$[\nabla^2((f_1),(f_2))=((-a,+b),(+d,-c))((f_1),(f_2))] ^^ [((f_1),(f_2))=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((g_1),(g_2))] rarr \nabla^2((g_1),(g_2))=((\lambda_1,0),(0,\lambda_2))((g_1),(g_2))$

Sostituendo:

$\nabla^2((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((g_1),(g_2))=((-a,+b),(+d,-c))((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((g_1),(g_2))$

$((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))\nabla^2((g_1),(g_2))=((-a,+b),(+d,-c))((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((g_1),(g_2))$

$\nabla^2((g_1),(g_2))=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))^(-1)((-a,+b),(+d,-c))((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((g_1),(g_2)) rarr ((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))^(-1)((-a,+b),(+d,-c))((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))=((\lambda_1,0),(0,\lambda_2))$

Quindi, si tratta di trovare gli autovalori e $2$ vettori linearmente indipendenti qualsiasi della matrice $((-a,+b),(+d,-c))$. Se la matrice è simmetrica, la libertà insita nella scelta dei $2$ autovettori può essere sfruttata prendendo una base ortonormale, scelta che potrebbe rivelarsi utile in vista di ulteriori sviluppi.

[mirko851]

Grazie veramente infinite per aver risposto. Il ragionamento è chiarissimo e direi perfetto. Le posso chiedere se tale metodo è accompagnato da un qualche teorema o corollario di qualche altro per potere giustificare tale ragionamento? O se potesse darmi qualche linea guida su qualche testo di riferimento?
Grazie ancora

[Sk_Anonymous]

La seguente trasformazione:

$\{(\nabla^2f_1=-af_1+bf_2),(\nabla^2f_2=+df_1-cf_2):} rarr \{(\nabla^2g_1=\lambda_1g_1),(\nabla^2g_2=\lambda_2g_2):}$

è giustificata in base alle semplici considerazioni di algebra lineare precedentemente esposte. Non saprei indicarti un testo che riporta questo procedimento. Tuttavia, l'equazione di Helmholtz che ottieni è una delle più studiate. Per esempio, puoi trovare una sua trattazione in "Morse e Feshbach, Methods of Theoretical Physics".