Equazione y=a+blnx
salve a tutti, sono nuovo del forum e spero di aver azzeccato la sezione giusta per aprire il topic.
Avrei una domanda da porvi.
ho una serie di punti (5) con coordinate x e y.
A(5-7)
B(7-9)
C(10-12)
D(11-15)
E(8-10)
è possibile ricavare le incognite a e b dell'equazione y=a+bln(x) considerando tutti e 5 i punti?
Spero di essere stato chiaro nella spiegazione
grazie in anticipo
Avrei una domanda da porvi.
ho una serie di punti (5) con coordinate x e y.
A(5-7)
B(7-9)
C(10-12)
D(11-15)
E(8-10)
è possibile ricavare le incognite a e b dell'equazione y=a+bln(x) considerando tutti e 5 i punti?
Spero di essere stato chiaro nella spiegazione
grazie in anticipo
Risposte
Ciao ragazzi, nessun suggerimento
.?
.?
Ciao e benvenuto nel forum. Per favore non avere fretta, cioè non sollecitare risposte dopo due ore dall'apertura del thread.
Passando alla domanda: se ho capito bene la tua richiesta, quello che puoi fare è imporre il passaggio per due punti (dato che hai due incognite) e ricavare i valori di $a, b$. Poi può darsi che anche gli altri tre punti stiano su quella precisa curva oppure può darsi di no. Ma per questo non puoi fare niente. In pratica tu imponi il passaggio e poi quello che viene viene.
Passando alla domanda: se ho capito bene la tua richiesta, quello che puoi fare è imporre il passaggio per due punti (dato che hai due incognite) e ricavare i valori di $a, b$. Poi può darsi che anche gli altri tre punti stiano su quella precisa curva oppure può darsi di no. Ma per questo non puoi fare niente. In pratica tu imponi il passaggio e poi quello che viene viene.
Ciao, grazie x il benvenuto e scusa per il secondo post
Purtroppo non ho cpt bene la tua risposta ( non sono molto ferrato , colpa mia) , l obiettivo è quello di ricavare a e b "manualmente" cosi da avere gli stessi valori che, selezionando le due colonne e mettendole in un grafico a dispersione con excel, escono spuntando poi l opzione visualizza linea di tendenza logaritmica e l equazione.
Dovrebbe essere tipo qualcosa come una correlazione logaritmica non lineare ( x quella ho gia trovato le formule anche per ricavare l erre quadro) , per l eq del tipo y=a+b ln (x) ancora niente...
Grazie dell aiuto
Purtroppo non ho cpt bene la tua risposta ( non sono molto ferrato , colpa mia) , l obiettivo è quello di ricavare a e b "manualmente" cosi da avere gli stessi valori che, selezionando le due colonne e mettendole in un grafico a dispersione con excel, escono spuntando poi l opzione visualizza linea di tendenza logaritmica e l equazione.
Dovrebbe essere tipo qualcosa come una correlazione logaritmica non lineare ( x quella ho gia trovato le formule anche per ricavare l erre quadro) , per l eq del tipo y=a+b ln (x) ancora niente...
Grazie dell aiuto
Io continuo ad avere dubbi sul fatto di aver capito bene la tua richiesta, comunque intendevo una cosa simile. Impongo il passaggio per $A, B$: \[\begin{cases}7=a+b\ln5 \\ 9 = a+b\ln 7\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a = -2.566... \\ b=5.944... \end{cases}\] Questi sono i valori di $a,b$ per cui la curva passa per i primi due punti. Si verifica facilmente che però il terzo punto non appartiene a questa curva, e secondo me non possiamo farci nulla.
Beh, se vogliamo essere un po' più formali, detti \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots , (x_5,y_5)\) le coordinate dei punti in questione, sostituendo tali coordinate nell'equazione della curva si ottiene un sistema lineare nelle incognite \(a,b\):
\[
\left\{ \begin{align}
a+\ln x_1\ b &= y_1\\
a+\ln x_2\ b &= y_2\\
\phantom{a} \vdots \phantom{\ln x_1\ b} &= \vdots\\
a+\ln x_5\ b &= y_5\; .
\end{align}\right.
\]
Tale sistema ha soluzione se e solo se il rango della matrice dei coefficienti:
\[
\begin{pmatrix} 1 & \ln x_1\\
1 & \ln x_2\\
\vdots & \vdots\\
1 & \ln x_5\\
\end{pmatrix}
\]
è uguale al rango della matrice completa:
\[
\begin{pmatrix} 1 & \ln x_1 & y_1\\
1 & \ln x_2 & y_2\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
1 & \ln x_5 & y_5\\
\end{pmatrix}
\]
(per il teorema di Rouché-Capelli)... Ma si vede che entrambe le matrici hanno rango massimo, cioé, rispettivamente, \(2\) (quella dei coefficienti) e \(3\) (quella completa); dunque il sistema precedente non ha alcuna soluzione e perciò nessuna curva del tipo di quelle proposte soddisfa il passaggio contemporaneo in tutti i punti assegnati.
\[
\left\{ \begin{align}
a+\ln x_1\ b &= y_1\\
a+\ln x_2\ b &= y_2\\
\phantom{a} \vdots \phantom{\ln x_1\ b} &= \vdots\\
a+\ln x_5\ b &= y_5\; .
\end{align}\right.
\]
Tale sistema ha soluzione se e solo se il rango della matrice dei coefficienti:
\[
\begin{pmatrix} 1 & \ln x_1\\
1 & \ln x_2\\
\vdots & \vdots\\
1 & \ln x_5\\
\end{pmatrix}
\]
è uguale al rango della matrice completa:
\[
\begin{pmatrix} 1 & \ln x_1 & y_1\\
1 & \ln x_2 & y_2\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
1 & \ln x_5 & y_5\\
\end{pmatrix}
\]
(per il teorema di Rouché-Capelli)... Ma si vede che entrambe le matrici hanno rango massimo, cioé, rispettivamente, \(2\) (quella dei coefficienti) e \(3\) (quella completa); dunque il sistema precedente non ha alcuna soluzione e perciò nessuna curva del tipo di quelle proposte soddisfa il passaggio contemporaneo in tutti i punti assegnati.
"gugo82":
Beh, se vogliamo esere un po' più formali...
Sì ammetto che nel mio post mancava ogni traccia di formalismo matematico...
"gugo82":
Beh, se vogliamo essere un po' più formali, detti \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots , (x_5,y_5)\) le coordinate dei punti in questione, sostituendo tali coordinate nell'equazione della curva si ottiene un sistema lineare nelle incognite \(a,b\):
\[
\left\{ \begin{align}
a+\ln x_1\ b &= y_1\\
a+\ln x_2\ b &= y_2\\
\phantom{a} \vdots \phantom{\ln x_1\ b} &= \vdots\\
a+\ln x_5\ b &= y_5\; .
\end{align}\right.
\]
Tale sistema ha soluzione se e solo se il rango della matrice dei coefficienti:
\[
\begin{pmatrix} 1 & \ln x_1\\
1 & \ln x_2\\
\vdots & \vdots\\
1 & \ln x_5\\
\end{pmatrix}
\]
è uguale al rango della matrice completa:
\[
\begin{pmatrix} 1 & \ln x_1 & y_1\\
1 & \ln x_2 & y_2\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
1 & \ln x_5 & y_5\\
\end{pmatrix}
\]
(per il teorema di Rouché-Capelli)... Ma si vede che entrambe le matrici hanno rango massimo, cioé, rispettivamente, \(2\) (quella dei coefficienti) e \(3\) (quella completa); dunque il sistema precedente non ha alcuna soluzione e perciò nessuna curva del tipo di quelle proposte soddisfa il passaggio contemporaneo in tutti i punti assegnati.
grazie gugo, ma allora mi pongo una domanda: se io seleziono quei dati e creo un grafico a dispersione con excel e poi inserisco una linea di tendenza logaritmica, perchè se spunto la relativa opzione, mi da l'equazione e l'r^2? eq del tipo Y=a+b ln(x)
grazie
Mi sembra che si tratti di un problema di best fit: calcolare per quali valori di $a$ e $b$ è minima la somma degli scarti quadratici del set di punti da una curva della famiglia $y=a+blnx$, con $x>0$.
Se poni $x'_i=lnx_i$, ti riconduci a una regressione lineare del tipo $y=a+bx'$.
Per questa si può dimostrare che la somma è minima se
$b=(Sigma_i (x'_i-bar(x'))(y_i-bar(y)))/(Sigma_i(x_i-bar(x'))^2$
e
$a=bar y -b bar (x')$,
dove $bar(x')$ e $bar y$ sono le medie dei valori $x'_i$ e $y'_i$.
EDIT: corretto errore nell'espressione di $b$.
Se poni $x'_i=lnx_i$, ti riconduci a una regressione lineare del tipo $y=a+bx'$.
Per questa si può dimostrare che la somma è minima se
$b=(Sigma_i (x'_i-bar(x'))(y_i-bar(y)))/(Sigma_i(x_i-bar(x'))^2$
e
$a=bar y -b bar (x')$,
dove $bar(x')$ e $bar y$ sono le medie dei valori $x'_i$ e $y'_i$.
EDIT: corretto errore nell'espressione di $b$.
ciao chiaraotta, grazie per le info
Ho provato ad eseguire i tuoi calcoli su un foglio excel ma, come puoi vedere dall'allegato, i valori di a e b del grafico sono diversi da quelli calcolati da me.
puoi dare un'occhiata per favore?
grazie mille
Ho provato ad eseguire i tuoi calcoli su un foglio excel ma, come puoi vedere dall'allegato, i valori di a e b del grafico sono diversi da quelli calcolati da me.
puoi dare un'occhiata per favore?
grazie mille
Scusa ho sbagliato a scrivere l'espressione di $b$ 
. Invece è
$b=(Sigma_i (x'_i-bar(x'))(y_i-bar(y)))/(Sigma_i(x_i-bar(x'))^2$
e
$a=bar y -b bar (x')$
Con i dati che hai messo nel tuo foglio elettronico risulta
$a=-8.89$
$b=8.91$.
Nel foglio hai invertito $a$ con $b$ nelle celle dei risultati.
. Invece è$b=(Sigma_i (x'_i-bar(x'))(y_i-bar(y)))/(Sigma_i(x_i-bar(x'))^2$
e
$a=bar y -b bar (x')$
Con i dati che hai messo nel tuo foglio elettronico risulta
$a=-8.89$
$b=8.91$.
Nel foglio hai invertito $a$ con $b$ nelle celle dei risultati.
ora è ok, i do lo chiaraotta!!!
grazie di cuore
grazie di cuore
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo