Equazione x-ln(x)=0
Ricordo questa questione sorta tanti anni fa, in un corso abilitante.
Si partiva dall’equazione:
$x - ln (x) = 0$
che corrisponde all'esponenziale: $x^(1/x) = e$
Faccio subito questa considerazione:
Se la base del logaritmo fosse $2^(1/2)$ l’equazione di sopra si risolverebbe per x=2 .
Se fosse $3^(1/3)$ si risolverebbe per x=3 e via dicendo, purchè indice e radicando siano uguali.
Per risolvere quindi l’equazione con il logaritmo neperiano, dovrei considerare $e$ come la radice ennesima dello stesso valore n. E’ possibile trovare tale n e di fronte a che tipo di numero reale ci troviamo? Un irrazionale?
Anni fa - spero di ricordare bene - con un programma di matematica si trovò un valore approssimativo di tale n, compreso fra 0 e 1, credo vicino a 0,4… Si sa qualcosa di più?
Si partiva dall’equazione:
$x - ln (x) = 0$
che corrisponde all'esponenziale: $x^(1/x) = e$
Faccio subito questa considerazione:
Se la base del logaritmo fosse $2^(1/2)$ l’equazione di sopra si risolverebbe per x=2 .
Se fosse $3^(1/3)$ si risolverebbe per x=3 e via dicendo, purchè indice e radicando siano uguali.
Per risolvere quindi l’equazione con il logaritmo neperiano, dovrei considerare $e$ come la radice ennesima dello stesso valore n. E’ possibile trovare tale n e di fronte a che tipo di numero reale ci troviamo? Un irrazionale?
Anni fa - spero di ricordare bene - con un programma di matematica si trovò un valore approssimativo di tale n, compreso fra 0 e 1, credo vicino a 0,4… Si sa qualcosa di più?
Risposte
Allora definiamo bene il problema così siamo sicuri di parlare della stessa questione.
Equazione da risolvere:
$e=x^(-1/x)$
Abbandoniamo la tecnica, grezza, per tentativi. Se ci rifacciamo al metodo di Newton
otteniamo una relazione di ricorrenza del tipo $xt=f(xt-1)$ noi ipotizziamo, sperabilmente
con un certo raziocigno, una soluzione intuitiva che chiamiamo $x0$ dalla quale parte la relazione.
Il metodo di Newton è particolarmente efficiente nel senso che dopo poche iterazioni si ha
un'ottima approssimazione. Dopodiché se si desidera proprio una soluzione "esatta" non è che
non sia definita ma basta scrivere in simboli una reiterazione prolungata all'infinito, ed il problema
di "matematica" è risolto. Poi se il risultato ci serve direttamente per applicazioni allora il problema è
tecnologico ma d'altra parte raggiungeremo in fretta un'approssimazione sufficiente tale da non
generare errori significativi. D'altra parte lavorando con gli irrazionali si deve sempre fare così es:
$sqrt(2)$, $pi$, $e$, sono numeri definiti "esattamente" ma se facciamo i conti, a meno di semplificazioni,
approssimiamo i risultati, con precisione a piacere.
Se ho ben capito questa $e^-1^(e^-1)...$ sarebbe un'ipotetica soluzione giusto?
Non ricordi il procedimento per ottenerla? pazienza possiamo sempre verificare se è giusta. Se lo fosse
andiamo ad indagare sul metodo per ottenerla.
Bé adesso la soluzione al problema sopra (nel senso l'insieme delle soluzioni) è univoca e su questo dobbiamo essere d'accordo.
La soluzione indicata da me è giusta ed anche su questo dobbiamo essere d'accordo.
La soluzione ho dimostrato essere unica (una sola) ed anche su questo dobbiamo essere d'accordo.
Ne consegue che ho $e^-1^(e^-1)...$ e uguale a $0,567....$ per una qualche iterazione oppure è falsa.
$e^-1=0,3678...=x0$
$x0^(e^-1)=0,6922...=x1$ ed abbiamo già saltato a pie pari la soluzione.
$x1^(e^-1)=0,8734...=x2$
...$xn$ per n grande tende ad $1$.
La soluzione proposta è falsa! quindi non è il caso di indagare il metodo
Equazione da risolvere:
$e=x^(-1/x)$
Abbandoniamo la tecnica, grezza, per tentativi. Se ci rifacciamo al metodo di Newton
otteniamo una relazione di ricorrenza del tipo $xt=f(xt-1)$ noi ipotizziamo, sperabilmente
con un certo raziocigno, una soluzione intuitiva che chiamiamo $x0$ dalla quale parte la relazione.
Il metodo di Newton è particolarmente efficiente nel senso che dopo poche iterazioni si ha
un'ottima approssimazione. Dopodiché se si desidera proprio una soluzione "esatta" non è che
non sia definita ma basta scrivere in simboli una reiterazione prolungata all'infinito, ed il problema
di "matematica" è risolto. Poi se il risultato ci serve direttamente per applicazioni allora il problema è
tecnologico ma d'altra parte raggiungeremo in fretta un'approssimazione sufficiente tale da non
generare errori significativi. D'altra parte lavorando con gli irrazionali si deve sempre fare così es:
$sqrt(2)$, $pi$, $e$, sono numeri definiti "esattamente" ma se facciamo i conti, a meno di semplificazioni,
approssimiamo i risultati, con precisione a piacere.
Se ho ben capito questa $e^-1^(e^-1)...$ sarebbe un'ipotetica soluzione giusto?
Non ricordi il procedimento per ottenerla? pazienza possiamo sempre verificare se è giusta. Se lo fosse
andiamo ad indagare sul metodo per ottenerla.
Bé adesso la soluzione al problema sopra (nel senso l'insieme delle soluzioni) è univoca e su questo dobbiamo essere d'accordo.
La soluzione indicata da me è giusta ed anche su questo dobbiamo essere d'accordo.
La soluzione ho dimostrato essere unica (una sola) ed anche su questo dobbiamo essere d'accordo.
Ne consegue che ho $e^-1^(e^-1)...$ e uguale a $0,567....$ per una qualche iterazione oppure è falsa.
$e^-1=0,3678...=x0$
$x0^(e^-1)=0,6922...=x1$ ed abbiamo già saltato a pie pari la soluzione.
$x1^(e^-1)=0,8734...=x2$
...$xn$ per n grande tende ad $1$.
La soluzione proposta è falsa! quindi non è il caso di indagare il metodo
Bene: ieri sera avevo provato anch'io a calcolare il valore di "quella" soluzione ed effettivamente i risultati sono lontani. Per ora possiamo fermarci qui, eventualmente ci fosse qualche sviluppo (o mi venisse in mente qualche "variazione" sfuggitami) possiamo riaprire il discorso. Grazie
Ho provato a risolvere l'equazione \( \ln(x) - x = 0\) in \( \mathbb{C} \).
Dopo vari tentativi sono riuscito ad ottenere un sistema di due equazioni trascendeti aventi come unica variabile la norma del numero complesso.
Non avendo avuto nessuna buona idea su come risolverlo ho fatto un grafico con le due funzioni (è un grafico molto bello)...da cui sembra che l'equazione ha infinite soluzioni.
Una soluzione è \( \| z \| \cong \) 14,19925
Mi potete aiutare a capire meglio questo problema?
Dopo vari tentativi sono riuscito ad ottenere un sistema di due equazioni trascendeti aventi come unica variabile la norma del numero complesso.
Non avendo avuto nessuna buona idea su come risolverlo ho fatto un grafico con le due funzioni (è un grafico molto bello)...da cui sembra che l'equazione ha infinite soluzioni.
Una soluzione è \( \| z \| \cong \) 14,19925
Mi potete aiutare a capire meglio questo problema?
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