Equazione x-ln(x)=0
Ricordo questa questione sorta tanti anni fa, in un corso abilitante.
Si partiva dall’equazione:
$x - ln (x) = 0$
che corrisponde all'esponenziale: $x^(1/x) = e$
Faccio subito questa considerazione:
Se la base del logaritmo fosse $2^(1/2)$ l’equazione di sopra si risolverebbe per x=2 .
Se fosse $3^(1/3)$ si risolverebbe per x=3 e via dicendo, purchè indice e radicando siano uguali.
Per risolvere quindi l’equazione con il logaritmo neperiano, dovrei considerare $e$ come la radice ennesima dello stesso valore n. E’ possibile trovare tale n e di fronte a che tipo di numero reale ci troviamo? Un irrazionale?
Anni fa - spero di ricordare bene - con un programma di matematica si trovò un valore approssimativo di tale n, compreso fra 0 e 1, credo vicino a 0,4… Si sa qualcosa di più?
Si partiva dall’equazione:
$x - ln (x) = 0$
che corrisponde all'esponenziale: $x^(1/x) = e$
Faccio subito questa considerazione:
Se la base del logaritmo fosse $2^(1/2)$ l’equazione di sopra si risolverebbe per x=2 .
Se fosse $3^(1/3)$ si risolverebbe per x=3 e via dicendo, purchè indice e radicando siano uguali.
Per risolvere quindi l’equazione con il logaritmo neperiano, dovrei considerare $e$ come la radice ennesima dello stesso valore n. E’ possibile trovare tale n e di fronte a che tipo di numero reale ci troviamo? Un irrazionale?
Anni fa - spero di ricordare bene - con un programma di matematica si trovò un valore approssimativo di tale n, compreso fra 0 e 1, credo vicino a 0,4… Si sa qualcosa di più?
Risposte
Tipico esempio di equazione con un'unica soluzione che non si può determinare esplicitamente in modo elementare.
Per determinarne il valore numerico in modo approssimato basta affidarsi ad un qualsiasi algoritmo di Analisi Numerica per la ricerca degli zeri (che so, bisezione, tangenti, etc...)
Per determinarne il valore numerico in modo approssimato basta affidarsi ad un qualsiasi algoritmo di Analisi Numerica per la ricerca degli zeri (che so, bisezione, tangenti, etc...)
[mod="Steven"]Ciao Cisufo, ti chiederei di modificare il titolo del topic.
La funzione dei titoli è quella di indicare l'argomento della discussione, quindi sono da evitare titoli generici, come prescrive il regolamento.
Grazie.[/mod]
La funzione dei titoli è quella di indicare l'argomento della discussione, quindi sono da evitare titoli generici, come prescrive il regolamento.
Grazie.[/mod]
Fatto, chiedo scusa
... non sei tu che deve chiedere scusa.
[mod="gugo82"]@GIBI: Questa hai il dovere di spiegarla... Se non sbaglio ti avevo già pregato di lasciare i tuoi "modi da Zarathustra di quart'ordine" fuori da questa sezione; ergo, sentiamo le tue ragioni.[/mod]
Guardando il grafico delle funzioni
$f(x) = x$
e
$g(x)=ln(x)$
si vede chiaramente che non ci sono soluzioni reali per l'equazione $x=ln(x)$.
$f(x) = x$
e
$g(x)=ln(x)$
si vede chiaramente che non ci sono soluzioni reali per l'equazione $x=ln(x)$.
Avevo dato per scontato che cisufo avesse sbagliato a riportare il segno nella prima equazione (dopotutto è un "ricordo di tanti anni fa").
Se GIBI voleva far notare l'errore, poteva farlo in modo serio.
Aspetto ancora chiarimenti.
Se GIBI voleva far notare l'errore, poteva farlo in modo serio.
Aspetto ancora chiarimenti.
"GIBI":
... non sei tu che deve chiedere scusa.
Se sono io, autore del richiamo, sarei felice di leggere il motivo per cui dovrei scusarmi.
sono un po' perplesso. Anzitutto mi sono scusato per aver dato un titolo improprio al topic e l'ho subito cambiato. Poi mi si parla di errore nell'equazione e di mancanza di soluzione reale. Potrei avere una spiegazione un po' più ... concreta?
Aspetto che sia GIBI a dirimere la questione.
Visto che ne ha tutte le possibilità e che ha iniziato la discussione.
Visto che ne ha tutte le possibilità e che ha iniziato la discussione.
Ti ringrazio per la modifica del titolo, e mi scuso per la discussione non attinente al topic sviluppatasi intorno all'intervento di GIBI.
La questione è semplice: l'equazione
[tex]$x-\ln x=0$[/tex] non possiede soluzioni reali.
Per questo motivo Gugo, mi pare di capire, aveva immaginato che l'equazione fosse in realtà
[tex]$x+\ln x=0$[/tex]
Questa equazione ha infatti una soluzione, e si può vedere facilmente mediante metodo grafico.
[mod="Steven"]GIBI, sono parecchio infastidito dal fatto che un utente debba trovare, nel suo topic, post del tutto inutili ai fini della discussione che ha deciso di aprire.
Visto che non è il primo episodio simile, e che come moderatore devo difendere gli interessi degli utenti che si iscrivono con intenti costruttivi, ti avviso: un altro episodio di questo tipo e chiederò il tuo ban dal forum.[/mod]
La questione è semplice: l'equazione
[tex]$x-\ln x=0$[/tex] non possiede soluzioni reali.
Per questo motivo Gugo, mi pare di capire, aveva immaginato che l'equazione fosse in realtà
[tex]$x+\ln x=0$[/tex]
Questa equazione ha infatti una soluzione, e si può vedere facilmente mediante metodo grafico.
[mod="Steven"]GIBI, sono parecchio infastidito dal fatto che un utente debba trovare, nel suo topic, post del tutto inutili ai fini della discussione che ha deciso di aprire.
Visto che non è il primo episodio simile, e che come moderatore devo difendere gli interessi degli utenti che si iscrivono con intenti costruttivi, ti avviso: un altro episodio di questo tipo e chiederò il tuo ban dal forum.[/mod]
Allora, sono andato a rivedere con calma la questione prendendo gli appunti dell'epoca. In effetti l'equazione è $x + ln(x)=0$: dunque il problema era trovare l'intersezione della funzione (continua e definita solo per x>0) con l'asse x. Scusate quindi tutti... il problema porta comunque a $e=x^(-1/x)$. Come si evince dal grafico della funzione questo x esiste ed è reale ed è compreso fra 0 e 1, ma qual è il suo legame con $e$? Spero che la questione sia più chiara adesso
"cisufo":
Allora, sono andato a rivedere con calma la questione prendendo gli appunti dell'epoca. In effetti l'equazione è $x + ln(x)=0$: dunque il problema era trovare l'intersezione della funzione (continua e definita solo per x>0) con l'asse x. Scusate quindi tutti...
Figurati, l'avevo immaginato ma purtroppo ho postato di fretta e non ho fatto in tempo a scriverlo.
Non è da te che ci aspettiamo chiarimenti, un errore di battitura capita a tutti prima o poi.
"cisufo":
il problema porta comunque a $e=x^(-1/x)$. Come si evince dal grafico della funzione questo x esiste ed è reale ed è compreso fra 0 e 1, ma qual è il suo legame con $e$? Spero che la questione sia più chiara adesso
Definisci "legame", mi verrebbe da dire...
Se ti stai chiedendo "è possibile esprimere il valore numerico della soluzione [tex]$\overline{x}$[/tex] di [tex]$x+\ln x=0$[/tex] come funzione elementare di [tex]$e$[/tex]?", credo che la risposta sia "no".
In altri termini, non credo esista nessuna funzione elementare* [tex]$f$[/tex] tale che [tex]$\overline{x}=f(e)$[/tex].
__________
* Per funzione elementare si intende una qualsiasi funzione che si ottiene con un numero finito di operazioni di somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione a partire dalle funzioni costante, potenza, esponenziale, logaritmo, trigonometriche e loro inverse.
Ad esempio la funzione [tex]$\ln \arcsin^2 (\tfrac{e^x-12x^5}{x^3-\ln x})$[/tex] è elementare, ma [tex]$\int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t$[/tex] non lo è.
Grazie per le spiegazioni, comunque qualcos'altro su questa funzione allora si era detto ... e mi pare addirittura collegato ai frattali ... peccato sia passato tanto tempo (era metà anni 70), ma ricordo che la questione venne dibattuta a lungo.
Allora provo ad inserirmi nell'argomento. L’equazione da risolvere è:
$e=x^(-1/x)$
il modo più classico per scrivere tale equazione direi che è questo:
$e^-x-x=0$
Io sono un'ex studente di economia a cui piace molto la matematica ed anche se non faceva parte
del programma o visto su un libro questa breve equazione usata per descrivere il funzionamento di una procedura numerica, usata per la ricerca di soluzioni di equazioni non lineari, chiamato metodo di Newton (credo abbia anche altri nomi). E’una delle procedure numeriche più efficienti.
Secondo me tale esempio e molto didattico perché
fa capire che con le solite proprietà algebriche applicabili non si possono risolvere tutte le equazioni tutt'altro.
Se si perde la linearità spesso si "finisce nei guai".
L'esempio è molto bello perché mostra che con un'equazione, al primo impatto quasi banale (per i principianti), perché possiede solo due termini (pochi) di cui il più difficile è una potenza (operazione comune). Eppure, usando le solite proprietà, non si riesce a trovare una soluzione.
Ricordo che una mattina in biblioteca mi sono divertito a proporre di risolvere tale equazione ad un sacco di
amici, anche bravi, che prima pensavano di risolvere in breve poi sono impazziti per un bel po senza venire a capo di nulla ( la maggior parte pensavano di aver risolto il problema ma in realtà hanno sempre commesso errori algebrici).
Sapevo bene che difficilmente qualcuno (di loro) avrebbe potuto ricondursi al metodo di Newton, ma l'esercizio e, in una nuova veste, ancora più didattico (almeno secondo me) perché a ben vedere la soluzione (approssimata ) la può trovare anche un ragazzino delle medie. In fondo avevo solo chiesto di risolvere l'equazione! Senza specificare l'utilizzo di metodi eleganti, quelli da “calzolaio” andavano benissimo.
Proviamo a risolvere l'equazione con le solite proprietà:
$e^-x-x=0$ da cui $e^-x=x$ togliamo la $x$ dall'esponente $e=x^(-1/x)$ che è quella scritta da cisufo
a prima vista è peggio dell'equazione di partenza, meglio cambiare strada.
$e^-x=x$ da cui $-x=ln(x)$ ovvero come specificato negli altri post $ln(x)+x=0$
che è, forse, peggio di quella di partenza ed in ogni caso non abbiamo isolato la $x$.
Potremmo continuare ma non c'è modo di sbarazzarsi sia del logaritmo che dell'esponenziale.
Tuttavia risolvere l'equazione significa solo trovare la/le soluzioni e se si va per tentativi (intelligenti)
si vede subito che la soluzione è compresa tra $0$ e $1$
$e^-0-0=1$
$e^-1-1<0$
Se si procede sostituendo $x$ con $0,5$ ci si avvicina e con $0,5671$ otteniamo un’ottima approssimazione (poi dipende dalla cifra decimale a cui si vuole fermare, la terza è sicuramente giusta) facile no! Basta poi sostituire ancora qualche valore per vedere (magari graficamente) che la funzione è monotona e strettamente decrescente in $x$ quindi la soluzione trovata è unica.
Se si vuole procedere in modo più formale si può definire $f(x)=e^-x-x$ da cui (la derivata) $f*(x)=-e^-x-1$ si può vedere abbastanza agevolmente che $f*(x)<0$ per ogni $x$ appartenete al dominio di $f(x)$ ovvero l’asse reale.
Ne consegue che $f(x)$ è monotona e strettamente decrescente in $x$ come volevasi dimostrare.
Se anche per trovare la soluzione dell’equazione si vuole essere formali si può procedere col già citato metodo di Newton.
$e=x^(-1/x)$
il modo più classico per scrivere tale equazione direi che è questo:
$e^-x-x=0$
Io sono un'ex studente di economia a cui piace molto la matematica ed anche se non faceva parte
del programma o visto su un libro questa breve equazione usata per descrivere il funzionamento di una procedura numerica, usata per la ricerca di soluzioni di equazioni non lineari, chiamato metodo di Newton (credo abbia anche altri nomi). E’una delle procedure numeriche più efficienti.
Secondo me tale esempio e molto didattico perché
fa capire che con le solite proprietà algebriche applicabili non si possono risolvere tutte le equazioni tutt'altro.
Se si perde la linearità spesso si "finisce nei guai".
L'esempio è molto bello perché mostra che con un'equazione, al primo impatto quasi banale (per i principianti), perché possiede solo due termini (pochi) di cui il più difficile è una potenza (operazione comune). Eppure, usando le solite proprietà, non si riesce a trovare una soluzione.
Ricordo che una mattina in biblioteca mi sono divertito a proporre di risolvere tale equazione ad un sacco di
amici, anche bravi, che prima pensavano di risolvere in breve poi sono impazziti per un bel po senza venire a capo di nulla ( la maggior parte pensavano di aver risolto il problema ma in realtà hanno sempre commesso errori algebrici).
Sapevo bene che difficilmente qualcuno (di loro) avrebbe potuto ricondursi al metodo di Newton, ma l'esercizio e, in una nuova veste, ancora più didattico (almeno secondo me) perché a ben vedere la soluzione (approssimata ) la può trovare anche un ragazzino delle medie. In fondo avevo solo chiesto di risolvere l'equazione! Senza specificare l'utilizzo di metodi eleganti, quelli da “calzolaio” andavano benissimo.
Proviamo a risolvere l'equazione con le solite proprietà:
$e^-x-x=0$ da cui $e^-x=x$ togliamo la $x$ dall'esponente $e=x^(-1/x)$ che è quella scritta da cisufo
a prima vista è peggio dell'equazione di partenza, meglio cambiare strada.
$e^-x=x$ da cui $-x=ln(x)$ ovvero come specificato negli altri post $ln(x)+x=0$
che è, forse, peggio di quella di partenza ed in ogni caso non abbiamo isolato la $x$.
Potremmo continuare ma non c'è modo di sbarazzarsi sia del logaritmo che dell'esponenziale.
Tuttavia risolvere l'equazione significa solo trovare la/le soluzioni e se si va per tentativi (intelligenti)
si vede subito che la soluzione è compresa tra $0$ e $1$
$e^-0-0=1$
$e^-1-1<0$
Se si procede sostituendo $x$ con $0,5$ ci si avvicina e con $0,5671$ otteniamo un’ottima approssimazione (poi dipende dalla cifra decimale a cui si vuole fermare, la terza è sicuramente giusta) facile no! Basta poi sostituire ancora qualche valore per vedere (magari graficamente) che la funzione è monotona e strettamente decrescente in $x$ quindi la soluzione trovata è unica.
Se si vuole procedere in modo più formale si può definire $f(x)=e^-x-x$ da cui (la derivata) $f*(x)=-e^-x-1$ si può vedere abbastanza agevolmente che $f*(x)<0$ per ogni $x$ appartenete al dominio di $f(x)$ ovvero l’asse reale.
Ne consegue che $f(x)$ è monotona e strettamente decrescente in $x$ come volevasi dimostrare.
Se anche per trovare la soluzione dell’equazione si vuole essere formali si può procedere col già citato metodo di Newton.
Grazie per l'approfondimento, abbiamo centrato comunque un punto: quel valore approssimativo... di che natura è? E' irrazionale? E se sì, si può dimostrarlo? A quei tempi, pensa un po', avevo pensato ad una soluzione del tipo $(1/e)^(1/e)^(1/e)^*$: insomma una specie di serie formata dalla radice di $1/e$ di indice ancora $1/e$ e così via fino ad infiniti indici (o meglio finche si voleva): tendendo all'infinito indice ed esponente potevano alla fine semplificarsi e veniva fuori la soluzione in funzione di $e$. Ma è un procedimento accettabile? Si può concepire un numero come quello indicato (una specie di superirrazionale!!?). Una similitudine fra questo numero e i frattali si può concepire, nel senso che somiglia a quelle figure a dimensione fratta che si autogenerano all'infinito? Forse bisognerebbe studiarci sopra un attimino di più perchè o è tutta una gran cavolata (pensieri in libertà) o si può aprire una finestra su numeri... a dimensione fratta...!!! Forse vi farete due risate, ma io all'epoca non trovai gente interessata alla cosa, ci lavorai davvero.. poi deluso ho abbandonato. Comunque un'opinione anche negativa vorrei sentirla, almeno così mi dico di aver perso tempo e di aver avuto solo intuizioni sbagliate. Grazie a tutti per l'attenzione e scusate il disturbo.
Le uniche cose che ti posso dire sono le seguenti:
1) se ti interessa risolvere l'equazione è lecito procedere come ti ho indicato.
2) la soluzione è irrazionale? Adesso non mi va di andare a controllare ma se non sbaglio
sono irrazionali quei numeri che non sono rappresentabili come frazione di naturali finiti, o per dirla in un altro modo sono irrazionali se hanno infinite cifre decimali dove non si riesce a determinare un periodo. La soluzione credo sia irrazionale, l'estrazione di radice spesso offre irrazionali
e questa $e=x^(-1/x)$ credo di si possa interpretare come estrazione di radice.
3) dici che $e^-1^(e^-1)^...$ possa essere una soluzione? Perché dovrebbe, da dove esce?
A che reiterazione troncare? Sicuramente non all'infinito altrimenti otteniamo $1$. Ed allora dove?
4)I frattali se non erro riguardano serie ricorsive per arrivare a rappresentazioni geometriche
ma non so altro e passo la palla ad altri. In ogni caso non vedo i collegamenti col problema di prima.
Per concludere, forse mi sbaglio perché sono troppo limitato, ma ho paura che tu abbia in testa un po di fantamatematica. La matematica, secondo me, serve, almeno per la maggior parte, per dare spiegazioni convincenti a problemi tutto sommato concettualmente semplici e non per dare
spiegazioni non convincenti a problemi amletici. Per quest'ultimo fine ci sono molte altre discipline.
1) se ti interessa risolvere l'equazione è lecito procedere come ti ho indicato.
2) la soluzione è irrazionale? Adesso non mi va di andare a controllare ma se non sbaglio
sono irrazionali quei numeri che non sono rappresentabili come frazione di naturali finiti, o per dirla in un altro modo sono irrazionali se hanno infinite cifre decimali dove non si riesce a determinare un periodo. La soluzione credo sia irrazionale, l'estrazione di radice spesso offre irrazionali
e questa $e=x^(-1/x)$ credo di si possa interpretare come estrazione di radice.
3) dici che $e^-1^(e^-1)^...$ possa essere una soluzione? Perché dovrebbe, da dove esce?
A che reiterazione troncare? Sicuramente non all'infinito altrimenti otteniamo $1$. Ed allora dove?
4)I frattali se non erro riguardano serie ricorsive per arrivare a rappresentazioni geometriche
ma non so altro e passo la palla ad altri. In ogni caso non vedo i collegamenti col problema di prima.
Per concludere, forse mi sbaglio perché sono troppo limitato, ma ho paura che tu abbia in testa un po di fantamatematica. La matematica, secondo me, serve, almeno per la maggior parte, per dare spiegazioni convincenti a problemi tutto sommato concettualmente semplici e non per dare
spiegazioni non convincenti a problemi amletici. Per quest'ultimo fine ci sono molte altre discipline.
Non so cosa significhi "fantamatematica", ma so che se vogliamo discutere dobbiamo farlo su questioni di difficile soluzione e non certo banali. Talora si può cadere in errori o non comprendere magari una procedura. Comunque, certamente i matematici spesso si servono di un po' di presunzione (non è la prima volta che mi capita), credendosi in possesso di non so quali profonde verità, ma in fondo tutti sappiamo che questa disciplina è come una grande sfera da penetrare e noi abbiamo solo... sfiorato la buccia. Nessuna polemica, per carità, ma un po' più di umiltà non guasterebbe. Grazie dell'intervento, spero che qualcun altro si degni di dire la sua, magari con un po' meno di ironia.
Caro cisufo non volevo irritarti, non partecipo al forum per questo, volevo anzi essere costruttivo per questo partecipo. Mi dispiace che tu mi abbia scambiato per una persona non umile perché in generale lo sono. Poi di matematica? non sono neppure un matematico al massimo uso qualche strumento non posso certo fare lo spaccone, ed anche se potessi non lo farei (altri invece godono nel farlo).
E vero o scritto con troppa "libertà" rileggendo posso sembrare ironico ma non era mio intento.
Se fosse stato un colloquio verbale interpretando il tono e lo sguardo non ti saresti offeso.
Permettimi una puntualizzazione:
molte volte sento usare la parola banale, ma se decontestualizzata non significa nulla, specie in matematica. $2-4=-2$, $(3^3)^2=729$,
$int_(0)^(1) x dx=1/2$ sono risultati banali? Bé dipende solo dalla preparazione dell'interlocutore.
Ad ogni modo quello a cui accennavo prima (alla fine del precedente post) era un metodo di lavoro.
Per quello che ho capito, un matematico deve procedere a piccoli passi ma ben saldi non fare supposizioni
basate su non si sa cosa. In generale comunque o sentito dare interpretazioni differenti del metodo scientifico. Per estremizzare
metaforizzando:
1) si fa un gradino per volta con costanza e rigore e chi arriva lontano può far capire qualcosa agli altri.
2) si fanno salti nel buio (a volte i gradini mancano viene detto) chi casca in piedi ha raggiunto un obbiettivo.
io mi sento vicino alla prima impostazione e se ho capito qualcosa la matematica ne rappresenta la
massima espressione.
In definitiva, troppe volte mi è capitato di vedere usare impropriamente degli strumenti anche matematici
ed ho sentito dire vere castronerie anche da persone colte ed intelligenti che non le dovrebbe proprio dirle.
Se usassero il metodo 1 non le direbbero.
Quanto alla tua soluzione $e^-1^(e^-1)...$ da dove salta fuori? Da quale metodo? Da quale ragionamento?
Se fosse frutto di un errore algebrico lo avrei segnalato senza commenti.
Ma secondo me è un errore di metodo perché, sempre secondo me, ai tirato fuori questa cosa va a sapere da quale
ricordo o associazione mentale senza toccare carta e penna. Poi ti riallacci ai frattali senza individuare un
legame che vada oltre la congettura.
Secondo me tu hai usato il metodo 2, che non approvo, ed anche a manica larga.
E' per questo che ho mosso l'appunto che comunque non voleva essere offensivo
ma solo segnalarti quello che, secondo me, è un' l'errore d'impostazione.
Comunque dai non te la prendere magari altri
sanno apprezzare certe cose meglio di me
E vero o scritto con troppa "libertà" rileggendo posso sembrare ironico ma non era mio intento.
Se fosse stato un colloquio verbale interpretando il tono e lo sguardo non ti saresti offeso.
Permettimi una puntualizzazione:
molte volte sento usare la parola banale, ma se decontestualizzata non significa nulla, specie in matematica. $2-4=-2$, $(3^3)^2=729$,
$int_(0)^(1) x dx=1/2$ sono risultati banali? Bé dipende solo dalla preparazione dell'interlocutore.
Ad ogni modo quello a cui accennavo prima (alla fine del precedente post) era un metodo di lavoro.
Per quello che ho capito, un matematico deve procedere a piccoli passi ma ben saldi non fare supposizioni
basate su non si sa cosa. In generale comunque o sentito dare interpretazioni differenti del metodo scientifico. Per estremizzare
metaforizzando:
1) si fa un gradino per volta con costanza e rigore e chi arriva lontano può far capire qualcosa agli altri.
2) si fanno salti nel buio (a volte i gradini mancano viene detto) chi casca in piedi ha raggiunto un obbiettivo.
io mi sento vicino alla prima impostazione e se ho capito qualcosa la matematica ne rappresenta la
massima espressione.
In definitiva, troppe volte mi è capitato di vedere usare impropriamente degli strumenti anche matematici
ed ho sentito dire vere castronerie anche da persone colte ed intelligenti che non le dovrebbe proprio dirle.
Se usassero il metodo 1 non le direbbero.
Quanto alla tua soluzione $e^-1^(e^-1)...$ da dove salta fuori? Da quale metodo? Da quale ragionamento?
Se fosse frutto di un errore algebrico lo avrei segnalato senza commenti.
Ma secondo me è un errore di metodo perché, sempre secondo me, ai tirato fuori questa cosa va a sapere da quale
ricordo o associazione mentale senza toccare carta e penna. Poi ti riallacci ai frattali senza individuare un
legame che vada oltre la congettura.
Secondo me tu hai usato il metodo 2, che non approvo, ed anche a manica larga.
E' per questo che ho mosso l'appunto che comunque non voleva essere offensivo
ma solo segnalarti quello che, secondo me, è un' l'errore d'impostazione.
Comunque dai non te la prendere magari altri
sanno apprezzare certe cose meglio di me
Ma, non è che poi me la sia presa tanto, forse sono stato io a non spiegarmi bene... quel risultato scaturì da un certo procedimento, che non ho però più anche perchè non lo verificai, dopo oltre 30 anni pensavo che qualcuno fosse arrivato ad una soluzione della questione al di là dei metodi "per approssimazione", che non sono il massimo. Concordo in larga parte con le tue affermazioni: non esistono "banalità": se un concetto ti è chiaro, può essere "per te" banale, ma si devono rispettare gli altri e le proprie conoscenze vanno "trasmesse", non tenute strette quasi gelosamente, come fanno alcuni ... (non credo che ci sia gente dotata di una conoscenza completa, in qualunque campo). I dubbi poi possono sorgere in tutti, anche su cose all'apparenza semplici. Comunque, se uno ha una intuizione, non penso che sia negativo, da "salto nel buio"; ... però queste vanno ovviamente verificate e dimostrate sotto ogni aspetto, e qui concordo che si deve procedere per piccoli passi. In conclusione, mi pare che, al di là di tutte le chiacchiere fatte, si sia ancora ad un sostanziale punto morto.
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