Equazione retta asse di un vettore appartenente ad un piano

[dribusen]

allora ragazzi ho bisogno del vostro aiuto...
il problema è questo:
sono dati i vettori

[math](-1; 2; 1)^t[/math]

e

[math](3; 4; 3)^t[/math]

devo verificare che appartengono al piano di equazione :

[math]2x-5y+z+11=0[/math]

e ci appartengono.
poi determina equazione cartesiana di r asse di AC ( i due punti) nel piano dato.
allora io ho provato a calcolare la retta passante per quei due punti e mi esce
s:{

[math]2y-2z+6=0[/math]

e

[math]2x+2-4z+4=0[/math]

.
quello che ho pensato io è prendere un vettore perpendicolare a s e farlo passare per il punto medio dei due punti...pero dopo trovo una retta perpendicolare ad AC ma non so se appartiene al piano..come devo fare? grazie a tutti:)

[ciampax]

Allora, l'idea è giusta. Tuttavia devi lavorarci in maniera lievemente differente.
Parti dalla retta passante per i due punti e determina il punto medio del segmento AC. A questo punto puoi determinare un piano passante per tale punto medio e perpendicolare alla retta data (dovresti sapere come si fa).

Fatto questo, al fine di trovare una retta con le dovute caratteristiche, ti basterà intersecare i due piani per ottenere la retta cercata.

[dribusen]

hmm ok il procedimento lo capito...i conti lo fatti, se sono giusti non lo so cmq un'ultima cosa. adesso a me viene fuori il sistema con i due piani che interseco. quindi ho un sistema in due equazioni e 3 incognite. come faccio a farmi venire fuori le due equazioni della retta?
ho queste due
-

[math]-4x+4y+4z-12=0[/math]

-

[math]2x-5y+z+11=0[/math]

cioè se risolvo il sistema mi esce che una incognita dipende dalle altre due ma come lo scrivo sotto forma di equazione?

[ciampax]

Quella è già l'equazione della retta: la forma cartesiana di una retta nello spazio è data dall'intersezione di due piani. Mi sa che devi rivederti un po' di teoria.

[dribusen]

ahhh è vero.....che deficente che so:):)
grazie mille:):)

[ciampax]

Comunque, volendo puoi anche cercare la retta in forma parametrica, procedendo così: per prima cosa il vettore direzione della retta AC è

[math]a=(4,2,2)[/math]

(la differenza dei vettori). Ora, la tua retta passa per il punto medio

[math]M=(1,3,2)[/math]

e avrà vettore direzione

[math]v=(\alpha,\beta,\gamma)[/math]

, in modo che in forma parametrica, la retta risulti di equazione

[math]x=1+\alpha t,\ y=3+\beta t,\ z=2+\gamma t[/math]

per determinare il vettore

[math]v[/math]

, osserviamo che sso deve essere ortogonale sia al vettore

[math]a[/math]

si ala vettore normale al piano

[math]n=(2,-5,1)[/math]

, in quanto una retta giace su un piano se e solo se il suo vettore direzione è ortogonale alla normale al piano e passa per un punto del piano stesso (e il punto

[math]M[/math]

appartiene al piano). Pertanto puoi scrivere, usando il prodotto scalare tra vettori, le seguenti equazioni

[math]a\bullet v=0\ \Rightarrow\ 4\alpha+2\beta+2\gamma=0\\ n\bullet v=0\ \Rightarrow\ 2\alpha-5\beta+\gamma=0[/math]

La soluzione di tale sistema risulta data da tutti i vettori del tipo

[math](\alpha, 0, -2\alpha)[/math]

, per cui, scegliendo

[math]\alpha=1[/math]

si ottiene il vettore

[math]v=(1,0,-2)[/math]

e quindi l'equazione parametrica della retta

[math]x=1+t,\ y=3,\ z=2-2t[/math]