Equazione polinomiale x(1+x)^n - k(1+x)^n + k = 0
Ciao a tutti.
Affrontando un problema di matematica finanziaria, mi sono ritrovato davanti un'equazione non banale del tipo:
x(1+x)^n - k(1+x)^n + k = 0
dove:
- x: variabile reale a valori nell'intervallo [0;1], dell'ordine 10^-3
- n: esponente interno con valore >=12
- k: parametro reale dell'ordine 10^-2
Le mie domande:
1. è un tipo di equazione nota in letteratura?
2. se no, come è possibile approcciarla?
3. ho provato a riportare l'equazione nella forma:
x-k = -k/(1+x)^n,
che esprime geometricamente l'intersezione tra la retta f(x) = x-k e la funzione g(x)=-k/(1+x)^n: il che da un senso al problema ma non alla risoluzione.
Grazie per qualunque contributo.
Alberto
Affrontando un problema di matematica finanziaria, mi sono ritrovato davanti un'equazione non banale del tipo:
x(1+x)^n - k(1+x)^n + k = 0
dove:
- x: variabile reale a valori nell'intervallo [0;1], dell'ordine 10^-3
- n: esponente interno con valore >=12
- k: parametro reale dell'ordine 10^-2
Le mie domande:
1. è un tipo di equazione nota in letteratura?
2. se no, come è possibile approcciarla?
3. ho provato a riportare l'equazione nella forma:
x-k = -k/(1+x)^n,
che esprime geometricamente l'intersezione tra la retta f(x) = x-k e la funzione g(x)=-k/(1+x)^n: il che da un senso al problema ma non alla risoluzione.
Grazie per qualunque contributo.
Alberto
Risposte
Potresti gentilmente postare il tuo esercizio di matematica finanziaria?
Dato che dici che $x$ è dell'ordine di $10^(-3)$, potresti usare lo sviluppo di Taylor arrestato al prim'ordine,
$(1+x)^n=1+nx+o(x)$ per $x->0$,
e sostituire nell'equazione, trovando una soluzione approssimata, ma neanche troppo, dato che si suppone che x è "piccolo".
$(1+x)^n=1+nx+o(x)$ per $x->0$,
e sostituire nell'equazione, trovando una soluzione approssimata, ma neanche troppo, dato che si suppone che x è "piccolo".
@v.tondi
Dato un capitale C, un interesse nominale annuale i, l'espressione della rata R necessaria a ripagare un prestito pari a C con un totale di n pagamenti e con p pagamenti per anno è dato dalla seguente:
[1] R = C * i/p * (1 + 1/((1+i/p)^n - 1))
Il cliente di una finanziaria vuole determinare l'interesse cui sarà soggetto il suo prestito fissando a priori la rata.
Si vuole quindi esprimere l'interesse i in funzione della rata R e degli altri parametri (C, n, p).
Risolvendo la [1] rispetto ad i, definito x = i/p e k = R/C si ottiene un'equazione del tipo:
[2] x(1+x)^n - k(1+x)^n + k = 0
Come risolvere?
Dato un capitale C, un interesse nominale annuale i, l'espressione della rata R necessaria a ripagare un prestito pari a C con un totale di n pagamenti e con p pagamenti per anno è dato dalla seguente:
[1] R = C * i/p * (1 + 1/((1+i/p)^n - 1))
Il cliente di una finanziaria vuole determinare l'interesse cui sarà soggetto il suo prestito fissando a priori la rata.
Si vuole quindi esprimere l'interesse i in funzione della rata R e degli altri parametri (C, n, p).
Risolvendo la [1] rispetto ad i, definito x = i/p e k = R/C si ottiene un'equazione del tipo:
[2] x(1+x)^n - k(1+x)^n + k = 0
Come risolvere?
Secondo me si tratta del classico problema di trovare la soluzione $x$ che poi è proprio il $T.I.R.$ dell'operazione finanziaria in modo che ci sia equilibrio.
@ fireball
Se non trovo una soluzione esatta, quella da te suggerita è sicuramente la prima strada che prendo. Dopo tutto se il povero Taylor non lo si usa in matematica applicata!
Grazie.
A.
Se non trovo una soluzione esatta, quella da te suggerita è sicuramente la prima strada che prendo. Dopo tutto se il povero Taylor non lo si usa in matematica applicata!
Grazie.
A.
@alberto.decaro. Ti consiglio di risolvere il tuo problema ovvero di calcolare l'incognita $i$ tasso d'interesse con il metodo di Newton. Ne ho fatti tantissimi esercizi per lezioni private. Penso che te lo abbiano spiegato tale metodo in matematica finanziaria. Non c'è bisogno di risolverla come hai fatto te: lasciala così come è: $R(1-(1+i)^(-n))/i-C=0$. Questa la consideri come $f(i)$ e poi ti calcoli $f'(i)$. Ovviamente parti da un tasso iniziale $i_0$ calcolato per difetto in questo modo: $((\sum_{j=1}^n x_j)/C)^(1/(t_n-t))-1$. Dovresti conoscere anche la successione dei tassi: $i_(n+1)=i_n-f(i_n)/(f'(i_n))$. Se hai dubbi scrivi.
Ciao.
Ciao.
Ciao a tutti.
Non ho trovato una soluzione esatta, la consegna era per oggi, per cui ho lavorato sodo con lo sviluppo di Taylor: tuttavia non sono convinto che si possa sviluppare solo un fattore di una funzione senza considerare gli altri contributi. In altre parole, se considero il termine x(1+x)^n, non posso approssimare (1+x)^n ~ 1 + nx e quindi sostituire con x(1+x)^n. Ho quindi applicato lo sviluppo di Taylor a tutta la funzione f(x) = x(1+x)^n -k(1+x)^n +k in un intorno di x0=0. Ringrazio comunque Fireball per il suggerimento.
@v.tondi: l'algoritmo di Newton non era praticabile, dato che la consegna era di trovare una soluzione NON iterativa.
Con Taylor al III ordine riesco a limitare l'errore all'1%.
Grazie ancora.
Alberto
Non ho trovato una soluzione esatta, la consegna era per oggi, per cui ho lavorato sodo con lo sviluppo di Taylor: tuttavia non sono convinto che si possa sviluppare solo un fattore di una funzione senza considerare gli altri contributi. In altre parole, se considero il termine x(1+x)^n, non posso approssimare (1+x)^n ~ 1 + nx e quindi sostituire con x(1+x)^n. Ho quindi applicato lo sviluppo di Taylor a tutta la funzione f(x) = x(1+x)^n -k(1+x)^n +k in un intorno di x0=0. Ringrazio comunque Fireball per il suggerimento.
@v.tondi: l'algoritmo di Newton non era praticabile, dato che la consegna era di trovare una soluzione NON iterativa.
Con Taylor al III ordine riesco a limitare l'errore all'1%.
Grazie ancora.
Alberto
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