Equazione numero complesso

[salvatoresambito]

Salve ragazzi, non riesco a trovare l’incognita (n) di questo esercizio
$ ((sqrt3+i)/2)^n=-((sqrt3+i)/2) $

Non so proprio come procedere, ho pensato di passare al logaritmo ma non ho ottenuto nessun risultato.Idee?

[Max9900]

Puoi chiamare il numero complesso $w$, in modo da avere $w^n+w=0$, poi trasformi il numero in forma trigonometrica in modo da avere $w = cos(pi/6)+i*sin(pi/6)$ e per la formula di De Moivre otterrei che $w^n = cos(n*pi/6)+i*sin(n*pi/6)$, allora avrai $cos(pi/6)+i*sin(pi/6)+cos(n*pi/6)+i*sin(n*pi/6)=0$ e uguagliando a zero la parte reale e poi quella immaginaria otterrai $n=7$.

[StellaMartensitica]

Passi alla forma goniometrica. Poi ottieni infiniti $n$ che risolvono l'equazione, infatti occorre tenere a mente la periodicità, che Max si è scordato.

arrivi a:
$sen(n*pi/6)=sen(7pi/6+2kpi)$
che è:

$n=7+12k, k in ZZ$
la soluzione.

[salvatoresambito]

Il risultato è 19

[StellaMartensitica]

Si ottiene per $k=1$.

$n_k=7+12k$

$n_1=7+12*1=19$

[salvatoresambito]

Come arrivi a quell’equazione?puoi fare tutti i passaggio?

[salvatoresambito]

Il 7 da dove viene?

[StellaMartensitica]

Riscrivi i due numeri complessi così:

$-sqrt(3)/2-1/2i=cos(7/6 pi)+isen(7/6pi)$

$sqrt(3)/2 +1/2 i=cos(pi/6)+isen(pi/6)$

$(sqrt(3)/2+1/2i)^n=cos(n*pi/6)+isen(n*pi/6)$

eguaglio:
$cos(n*pi/6)+isen(n*pi/6)=cos(7/6 pi)+isen(7/6pi)$

gli argomenti devono essere uguali a meno del periodo $2kpi$
$n*pi/6=7/6pi+2kpi$
...

[salvatoresambito]

Da dove viene il 7/6pigreco?

[Mephlip]

Ha riscritto il membro di sinistra con un'uguaglianza, infatti $-frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(\frac{7}{6}\pi \right)$ e $-frac{1}{2}=\sin \left(\frac{7}{6}\pi \right)$; perciò sostituendo $-frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}=\cos \left(\frac{7}{6}\pi \right)+i \sin \left(\frac{7}{6}\pi \right)$.

[salvatoresambito]

Grazie mille a tutti