Equazione in campo complesso, con modulo e incognita coniuga

[Folkner]

Salve a tutti. Ho provato a risolvere l'eq. in campo complesso

$ 2z|z| + bar (z) + 1 = 0 $

Ponendo z = x + iy e poi risolvendo i vari sistemi che ne risultano. L'unica soluzione che ho ottenuto in questo modo è z = (-1/2 , 0). Ho provato a controllare il mio risultato con WolframAlpha, ma lì risulta che c'è anche un'altra soluzione, complessa, z = (-1/2 , -i/2).

La domanda allora è: sapreste dirmi come si risolve l'equazione nel modo corretto? cos'ho sbagliato nel mio ragionamento?

Grazie a tutti quanti.

[Quinzio]

L'altra soluzione non è corretta.

Come hai impostato l'equazione in WA ?

[Sk_Anonymous]

Quinzio ha ragione. Del resto:

$[2z|z|+barz+1=0] rarr$

$rarr \{(x+1+2xsqrt(x^2+y^2)=0),(-y+2ysqrt(x^2+y^2)=0):} rarr$

$rarr \{(2sqrt(x^2+y^2)=-(x+1)/x),(2sqrt(x^2+y^2)=1):} vv \{(2sqrt(x^2+y^2)=-(x+1)/x),(y=0):} rarr$

$rarr \{(-(x+1)/x=1),(2sqrt(x^2+y^2)=1):} vv \{(2|x|=-(x+1)/x),(y=0):} rarr$

$rarr \{(x=-1/2),(y=0):} vv \{(2x=-(x+1)/x),(-1<=x<0),(y=0):} vv \{(2x=(x+1)/x),(-1<=x<0),(y=0):} rarr$

$rarr \{(x=-1/2),(y=0):} vv \{(2x^2+x+1=0),(-1<=x<0),(y=0):} vv \{(2x^2-x-1=0),(-1<=x<0),(y=0):} rarr$

$rarr \{(x=-1/2),(y=0):} vv \{(Delta<0),(-1<=x<0),(y=0):} vv \{([x=-1/2] vv [x=1]),(-1<=x<0),(y=0):} rarr$

$rarr \{(x=-1/2),(y=0):}$

[smaug1]

@Speculor l'equazione dapprima si scrive così no?

$2(x + iy)\sqrt{x^2 + y^2} + (x - iy) + 1 = 0$

In teoria adesso vanno separate ed eguagliate a zero la parte reale e quella immaginaria? la radice dà un pò fastidio...

[Sk_Anonymous]

Certamente sì. In effetti, ho utilizzato la "forza bruta". Magari si poteva fare di meglio.

@Quinzio
Come si inserisce il simbolo di complesso coniugato in Wolfram? Grazie.