Equazione in campo complesso

[wincio10]

Salve ragazzi,
se qualcuno ieri è capitato sul mio post precedente capirà che sono alle prese con queste equazioni.
Oggi vi chiedo se è corretto, e quindi ho risolto l'esercizio, il metodo di risoluzione della seguente equazione:

$(|z|)/(\bar z)-z=|z|\bar zi$

dove $\bar z$ è il coniugato di zeta (non so se è il simbolo usato, io uso l'asterisco ma nelle formule esce la moltiplicazione)

Ho pensato di moltiplicare a destra e sinistra per $\bar z$, trovando:

$|z|(1-|z|-i(\bar z)^2)=0$ siccome $|z|!=0$:
$1-|z|-i(\bar z)^2=0$

Scomponendo la z in forma algebrica ed eguagliando parte reale e immaginaria a zero, mi ritrovo con due sistemi in cui vi è presente un'equazione di secondo grado.

Non ho fatto i conti e non mi interessa farli. Ho trovato le soluzioni giuste?

Grazie mille.

[Palliit]

Ciao. Personalmente direi che va bene come hai fatto, tra l'altro dal porre nulla la parte immaginaria del primo membro dell'ultima equazione che hai scritto dovrebbe ottenersi l'equazione: $y^2=x^2$ che corrisponde sostanzialmente alle due possibilità $y=\pm x$, così per $z$ hai due diverse opzioni, $z=x(1\pm i)$, che inserite nell'ultima equazione che hai scritto ti dànno due equazioni di secondo grado in una sola variabile ($x$) contenenti un modulo, separi le due possibilità $x>0$ opp. $x<0$ in ciascuna e in tutto hai quattro equazioni di II grado, non tutte dotate dotate di soluzioni reali, mi sembra.

Ovviamente ho sottinteso $z=x+iy$.
Salvo errori (miei), ovviamente.

[wincio10]

Si, mi tornano i tuoi risultati.
Grazie !!

[Palliit]

Prego, ciao!

O.T.: comunque preferisco anch'io l'asterisco [tex]z^{*}[/tex] per il complesso coniugato, in luogo di $\bar{z}$. Bisogna scriverlo in LaTex come esponente.

[Palliit]

In realtà forse passando in notazione esponenziale i calcoli sono più rapidi. Metti [tex]z=\rho e^{i\varphi }[/tex] nell'equazione iniziale e dopo aver posto $\rho!=0$ semplificando ottieni:

[tex]\frac{1}{e^{-i\varphi }}-\rho e^{i\varphi }=i\rho^2 e^{-i\varphi }[/tex]__[tex]\rightarrow[/tex]__ [tex]e^{i\varphi }-\rho e^{i\varphi }=i\rho^2 e^{-i\varphi }[/tex]__[tex]\rightarrow[/tex]__[tex]e^{i\varphi }(1-\rho)=i\rho^2e^{-i\varphi }[/tex]__ (1);

a questo punto uguagli i moduli dei due membri e trovi: __[tex]\left | 1-\rho \right |=\rho^2[/tex]__, che risolta separando i casi $0<\rho<=1$ oppure $\rho>1$ dà una sola soluzione accettabile; sostituita questa nella (1) trovi:

[tex]e^{i\varphi }=ie^{-i\varphi }[/tex]__[tex]\rightarrow[/tex]__ [tex]e^{2i\varphi }=e^{i\frac{\pi} {2} }[/tex]__[tex]\rightarrow[/tex]__ [tex]\varphi =\frac{\pi }{4}+k\pi[/tex]__, con due sole possibilità. Salvo errori.