Equazione in campo complesso
oggi non è serata. qualcuno sa metter mani su numeri complessi?
ho il seguente esercizio ( prima dovrei decifrarlo per poi risolverlo...sono di buona volontà oggi):
risolvere in C l'equazione:
$(z-2Imz)^3=((1+i)(i-1)^4)/16$
spero il sonno porti consiglio...
alex
ho il seguente esercizio ( prima dovrei decifrarlo per poi risolverlo...sono di buona volontà oggi):
risolvere in C l'equazione:
$(z-2Imz)^3=((1+i)(i-1)^4)/16$
spero il sonno porti consiglio...
alex
Risposte
"bad.alex":
oggi non è serata. qualcuno sa metter mani su numeri complessi?
ho il seguente esercizio ( prima dovrei decifrarlo per poi risolverlo...sono di buona volontà oggi):
risolvere in C l'equazione:
$(z-2Imz)^3=((1+i)(i-1)^4)/16$
spero il sonno porti consiglio...
alex
Dunque, io ho sviluppatp l'eq. nel seguente modo:
$(x+i y- 2y)^3=((1+i)(i-1)^4)/16=2(i-1)^3/16=(i-1)^3/8$ quindi:
$(2x-4y+i2y)^3=(i-1)^3$.
Da questo la soluzione:
$2x-4y+i2y=-1+i$ cioè $x=1/2$, $y=1/2$. A meno di qualche errore dovrebbe andare.
"clrscr":
[quote="bad.alex"]oggi non è serata. qualcuno sa metter mani su numeri complessi?
ho il seguente esercizio ( prima dovrei decifrarlo per poi risolverlo...sono di buona volontà oggi):
risolvere in C l'equazione:
$(z-2Imz)^3=((1+i)(i-1)^4)/16$
spero il sonno porti consiglio...
alex
Dunque, io ho sviluppatp l'eq. nel seguente modo:
$(x+i y- 2y)^3=((1+i)(i-1)^4)/16=2(i-1)^3/16=(i-1)^3/8$ quindi:
$(2x-4y+i2y)^3=(i-1)^3$.
Da questo la soluzione:
$2x-4y+i2y=-1+i$ cioè $x=1/2$, $y=1/2$. A meno di qualche errore dovrebbe andare.[/quote]
non capisco ciò che trovo al primo membro. le due variabili x e y...
Cioè ho rappresentato un generico numero complesso $z=x+ jy$. Quindi la soluzione trovata è un punto nel piano complesso $z=1/2+i/2$
"clrscr":. provo subito. ti ringrazio.
Cioè ho rappresentato un generico numero complesso $z=x+ jy$. Quindi la soluzione trovata è un punto nel piano complesso $z=1/2+i/2$
"bad.alex":. provo subito. ti ringrazio.[/quote]
[quote="clrscr"]Cioè ho rappresentato un generico numero complesso $z=x+ jy$. Quindi la soluzione trovata è un punto nel piano complesso $z=1/2+i/2$
svolta perfettemente. scusami la gaffe. ho studiato meglio l'argomento. ti ringrazio, alex
Una sola soluzione ? L'equazione è di terzo grado e siamo in $CC$.
Non è corretto(IMHO) il passaggio da
$(2x-4y+i2y)^3 =(i-1)^3 $
a:
$2x-4y+i2y=i-1$.
Non è corretto(IMHO) il passaggio da
$(2x-4y+i2y)^3 =(i-1)^3 $
a:
$2x-4y+i2y=i-1$.
"Camillo":
Una sola soluzione ? L'equazione è di terzo grado e siamo in $CC$.
Non è corretto(IMHO) il passaggio da
$(2x-4y+i2y)^3 =(i-1)^3 $
a:
$2x-4y+i2y=i-1$.
scusami camillo ma allora cosa dovrei svolgere? io ho svolto anche così...non nego dopo aver dato sbirciatina...devo calcolarmi radici terze?
"Camillo":
Una sola soluzione ? L'equazione è di terzo grado e siamo in $CC$.
Non è corretto(IMHO) il passaggio da
$(2x-4y+i2y)^3 =(i-1)^3 $
a:
$2x-4y+i2y=i-1$.
Non c'è solo questa.
Altrimenti
$z^3 = 1$
avrebbe la sola soluzione
$z = 1$
[quote=franced][quote=Camillo]ragazzi...non vi riesco a seguire...
avessi avuto soltanto il second membro avrei dovuto calcolare il modulo e poi le radici terze ma non riesco a capire quel che c'è al primo membro , cosa ne "dovrei fare"...
avessi avuto soltanto il second membro avrei dovuto calcolare il modulo e poi le radici terze ma non riesco a capire quel che c'è al primo membro , cosa ne "dovrei fare"...
Un modo senz'altro è sviluppare il cubo al primo e al secondo membro: certo è un po' calcoloso .
Può essere che ci sia qualche modo più brillante , che al momento non vedo...
Tu hai due incognite $ x, y $ che sono numeri reali.
Dopo aver fatto gli sviluppi di cui sopra, ottieni un sistema di due equazioni in due incognite
uguagliando le parti reali
e
uguagliando le parti immaginarie
Faccio un esempio a caso, non collegato al tuo esercizio specifico : se tu avessi questa equazione
$(x+iy)^2 =3+2i $
otterresti :
$x^2 -y^2+2ixy =3+2i $
da cui uguagliando le parti reali hai
$x^2-y^2 = 3 $
uguagliando le parti immaginarie hai
$xy=1 $
etc etc .
Può essere che ci sia qualche modo più brillante , che al momento non vedo...
Tu hai due incognite $ x, y $ che sono numeri reali.
Dopo aver fatto gli sviluppi di cui sopra, ottieni un sistema di due equazioni in due incognite
uguagliando le parti reali
e
uguagliando le parti immaginarie
Faccio un esempio a caso, non collegato al tuo esercizio specifico : se tu avessi questa equazione
$(x+iy)^2 =3+2i $
otterresti :
$x^2 -y^2+2ixy =3+2i $
da cui uguagliando le parti reali hai
$x^2-y^2 = 3 $
uguagliando le parti immaginarie hai
$xy=1 $
etc etc .
se hai svolto i calcoli e hai capito il metodo di clrscr, quando sei arrivato all'uguaglianza tra due cubi, invece di limitarti a uguagliare le basi, devi portare tutto al primo membro e scomporre... solo che in questa maniera forse si perde l'utilità di aver seguito questa strada...
$(2x-4y+i2y)^3-(i-1)^3=0$ -> $(2x-4y+i2y-i+1)*[(2x-4y+i2y)^2+(2x-4y+i2y)(i-1)+(i-1)^2]=0$....
forse si può ricorrere alla formula di de Moivre... però io adesso non mi sentirei sicura ad applicarla... io ricomincerei piuttosto l'esercizio....
chiedo appello a nicola de rosa che pare sia uno specialista in materia...
$(2x-4y+i2y)^3-(i-1)^3=0$ -> $(2x-4y+i2y-i+1)*[(2x-4y+i2y)^2+(2x-4y+i2y)(i-1)+(i-1)^2]=0$....
forse si può ricorrere alla formula di de Moivre... però io adesso non mi sentirei sicura ad applicarla... io ricomincerei piuttosto l'esercizio....
chiedo appello a nicola de rosa che pare sia uno specialista in materia...
Più semplicemente,
$(2x-4y+i2y)^3=(i-1)^3$
equivale a
$(2x-4y+i2y)^3/(i-1)^3 = 1$ ovvero $((2x-4y+i2y)/(i-1))^3 = 1$ (cioè qualcosa alla terza uguale a 1)
che è più trattabile. Risulta che le tre soluzioni sono le soluzioni delle tre equazioni
$(2x-4y+i2y)/(i-1) = 1$, $(2x-4y+i2y)/(i-1) = -1/2+sqrt{3}/2 i$, $(2x-4y+i2y)/(i-1) = -1/2-sqrt{3}/2 i$.
$(2x-4y+i2y)^3=(i-1)^3$
equivale a
$(2x-4y+i2y)^3/(i-1)^3 = 1$ ovvero $((2x-4y+i2y)/(i-1))^3 = 1$ (cioè qualcosa alla terza uguale a 1)
che è più trattabile. Risulta che le tre soluzioni sono le soluzioni delle tre equazioni
$(2x-4y+i2y)/(i-1) = 1$, $(2x-4y+i2y)/(i-1) = -1/2+sqrt{3}/2 i$, $(2x-4y+i2y)/(i-1) = -1/2-sqrt{3}/2 i$.
"Martino":
Più semplicemente,
$(2x-4y+i2y)^3=(i-1)^3$
equivale a
$(2x-4y+i2y)^3/(i-1)^3 = 1$ ovvero $((2x-4y+i2y)/(i-1))^3 = 1$ (cioè qualcosa alla terza uguale a 1)
che è più trattabile. Risulta che le tre soluzioni sono le soluzioni delle tre equazioni
$(2x-4y+i2y)/(i-1) = 1$, $(2x-4y+i2y)/(i-1) = -1/2+sqrt{3}/2 i$, $(2x-4y+i2y)/(i-1) = -1/2-sqrt{3}/2 i$.
direi...come sei arrivato alle soluzioni? arrivato a questo punto si può dire concluso l'esercizio?e dire che stamattina ho studiato interamente i numeri complessi....sst
"bad.alex":
come sei arrivato alle soluzioni?
In che senso?
L'equazione $w^3=1$ ammette le tre soluzioni $1$, $-1/2+i sqrt{3}/2$, $-1/2-i sqrt{3}/2$ (questo dovresti saperlo).
Naturalmente l'esercizio non è ancora concluso: devi risolvere le tre equazioni che ho scritto sopra.
Buona l'idea di Martino !
Concluso no, tu devi arrivare ad identificare i numeri complessi $z=x+iy $ che risolvono l'equazione.
Devi quindi trovare $x,y$.
Prendiamo il primo caso( la prima radice ) $ (2x-4y+i2y )/(i-1)=1 $ che riscrivo
$2x-4y+i2y = -1 +i $ da cui
$2x-4y = -1 $
$ 2y = 1 $
sistema che si risolve facilmente.
Concluso no, tu devi arrivare ad identificare i numeri complessi $z=x+iy $ che risolvono l'equazione.
Devi quindi trovare $x,y$.
Prendiamo il primo caso( la prima radice ) $ (2x-4y+i2y )/(i-1)=1 $ che riscrivo
$2x-4y+i2y = -1 +i $ da cui
$2x-4y = -1 $
$ 2y = 1 $
sistema che si risolve facilmente.
"Camillo":
Buona l'idea di Martino !
Concluso no, tu devi arrivare ad identificare i numeri complessi $z=x+iy $ che risolvono l'equazione.
Devi quindi trovare $x,y$.
Prendiamo il primo caso( la prima radice ) $ (2x-4y+i2y )/(i-1)=1 $ che riscrivo
$2x-4y+i2y = -1 +i $ da cui
$2x-4y = -1 $
$ 2y = 1 $
sistema che si risolve facilmente.
Questa è la soluzione che ha riportato per primo clrscr.
Lui si era fermato lì, non aveva trovato le altre soluzioni.
@ bad.alex
questo è quello che dicevo... de Moivre
ho però qualche perplessità:
@ martino
sei certo che anche con i complessi si possa passare da $w^3=z^3$ a $(w/z)^3=1$. non si può porre la stessa obiezione fatta da te a cntrone?
questo è quello che dicevo... de Moivre
ho però qualche perplessità:
@ martino
sei certo che anche con i complessi si possa passare da $w^3=z^3$ a $(w/z)^3=1$. non si può porre la stessa obiezione fatta da te a cntrone?
E questo era male.... le altre due soluzioni richiedono qualche calcoletto in più , ottimo per prendere confidenza con i calcoli in $CC$ .
"adaBTTLS":
@ bad.alex
questo è quello che dicevo... de Moivre
ho però qualche perplessità:
@ martino
sei certo che anche con i complessi si possa passare da $w^3=z^3$ a $(w/z)^3=1$. non si può porre la stessa obiezione fatta da te a cntrone?
Per passare da
$w^3 = z^3$
a
$(w/z)^3$
basta dividere per $z^3$, con $z \ne 0$.
"adaBTTLS":
ho però qualche perplessità:
@ martino
sei certo che anche con i complessi si possa passare da $w^3=z^3$ a $(w/z)^3=1$.
Quando $z ne 0$ sì. Il passaggio logico preciso è la moltiplicazione da ambo le parti per l'inverso di $z^3$.
non si può porre la stessa obiezione fatta da te a cntrone?
Quale obiezione?
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