Equazione funzionale
Ciao a tutti..
Dovrei risolvere un'equazione integro-differenziale, cioè un'equazione in cui l'incognita è una funzione, che appare sia all'interno di un integrale, sia come derivata prima.
Ciò che so è che la mia funzione incognita, diciamo $f(x)$, è di classe $C^1$; inoltre è fornita una condizione iniziale.
Provando a risolvere la suddetta equazione, si nota che, tramite semplici passaggi e differenziando ambo i membri dell'equazione, si ottiene una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, facilmente risolvibile.
Mi sorgono 2 domande, circa la validità del procedimento che ho seguito:
1) una volta differenziati ambo i membri dell'equazione, $f(x)$ appare anche nella sua derivata seconda. E' lecito questo, nonostante non sappia se $f(x)$ è di classe $C^2$? (so solo che è almeno di classe $C^1$);
2)per determinare l'insieme delle soluzioni della equazione diff.le del secondo ordine alla fine ottenuta, occorrono 2 condizioni iniziali, mentre io ne ho solo una. Ciò vuol dire che il procedimento da me seguito non è corretto?
Dovrei risolvere un'equazione integro-differenziale, cioè un'equazione in cui l'incognita è una funzione, che appare sia all'interno di un integrale, sia come derivata prima.
Ciò che so è che la mia funzione incognita, diciamo $f(x)$, è di classe $C^1$; inoltre è fornita una condizione iniziale.
Provando a risolvere la suddetta equazione, si nota che, tramite semplici passaggi e differenziando ambo i membri dell'equazione, si ottiene una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, facilmente risolvibile.
Mi sorgono 2 domande, circa la validità del procedimento che ho seguito:
1) una volta differenziati ambo i membri dell'equazione, $f(x)$ appare anche nella sua derivata seconda. E' lecito questo, nonostante non sappia se $f(x)$ è di classe $C^2$? (so solo che è almeno di classe $C^1$);
2)per determinare l'insieme delle soluzioni della equazione diff.le del secondo ordine alla fine ottenuta, occorrono 2 condizioni iniziali, mentre io ne ho solo una. Ciò vuol dire che il procedimento da me seguito non è corretto?
Risposte
1) Di solito, se una funzione è soluzione di un'equazione integrale è facile acquisire maggiore regolarità (e.g., passare da \(C\) a \(C^1\), o a \(C^2\) od addirittura a \(C^\infty\)) semplicemente ricordando il teorema fondamentale del Calcolo Integrale.
2) Di solito si riesce a ricostruire almeno un'altra condizione usando i passaggi che ti consentono di arrivare alla EDO; questa può essere una condizione iniziale sulla derivata prima, oppure una condizione al bordo sulla funzione... Dipende dai casi.
In ogni caso, per maggiore aiuto, ti conviene postare l'equazione integrale, così si ragiona insieme.
2) Di solito si riesce a ricostruire almeno un'altra condizione usando i passaggi che ti consentono di arrivare alla EDO; questa può essere una condizione iniziale sulla derivata prima, oppure una condizione al bordo sulla funzione... Dipende dai casi.
In ogni caso, per maggiore aiuto, ti conviene postare l'equazione integrale, così si ragiona insieme.
Anzitutto grazie per la risposta..
L'equazione in questione è:
\begin{equation}
-\frac{e^{-\lambda_0z}f'(z)}{\lambda_0\lambda_1}-\frac{e^{-\lambda_0z}f(z)}{\lambda_0}+\int_z^B f(x)e^{-\lambda_0 x}\,dx+\frac{e^{-\lambda_0B}}{\lambda_0}=0
\end{equation}
Dunque, $f(z)$ è la funzione incognita, con $z\in[A,B)$, $A$ e $B$ noti, $\lambda_0$ e $\lambda_1$ sono due costanti positive e la condizione iniziale è che $f(A)=0$.
Differenziando ambo i membri rispetto a $z$ ottengo:
\begin{equation}
f''(z)-(\lambda_0-\lambda_1)f'(z)=0,
\end{equation}
facilmente risolvibile. Come dicevo, il problema principale è che ho una sola condizione iniziale: $f(A)=0$, mentre per risolvere quest'ultima EDO del secondo ordine, necessito di due condizioni.
Altro dubbio che mi sorge è che la differenziazione dell'equazione di partenza implica la perdita del termine costante $\frac{e^{-\lambda_0B}}{\lambda_0}$..
L'equazione in questione è:
\begin{equation}
-\frac{e^{-\lambda_0z}f'(z)}{\lambda_0\lambda_1}-\frac{e^{-\lambda_0z}f(z)}{\lambda_0}+\int_z^B f(x)e^{-\lambda_0 x}\,dx+\frac{e^{-\lambda_0B}}{\lambda_0}=0
\end{equation}
Dunque, $f(z)$ è la funzione incognita, con $z\in[A,B)$, $A$ e $B$ noti, $\lambda_0$ e $\lambda_1$ sono due costanti positive e la condizione iniziale è che $f(A)=0$.
Differenziando ambo i membri rispetto a $z$ ottengo:
\begin{equation}
f''(z)-(\lambda_0-\lambda_1)f'(z)=0,
\end{equation}
facilmente risolvibile. Come dicevo, il problema principale è che ho una sola condizione iniziale: $f(A)=0$, mentre per risolvere quest'ultima EDO del secondo ordine, necessito di due condizioni.
Altro dubbio che mi sorge è che la differenziazione dell'equazione di partenza implica la perdita del termine costante $\frac{e^{-\lambda_0B}}{\lambda_0}$..
"frapippo":
Come dicevo, il problema principale è che ho una sola condizione iniziale: $f(A)=0$, mentre per risolvere quest'ultima EDO del secondo ordine, necessito di due condizioni.
La seconda condizione potrebbe essere questa:
\begin{equation}
-\frac{e^{-\lambda_0B}f'(B)}{\lambda_0\lambda_1}-\frac{e^{-\lambda_0B}f(B)}{\lambda_0}+\frac{e^{-\lambda_0B}}{\lambda_0}=0
\end{equation}
"frapippo":
Altro dubbio che mi sorge è che la differenziazione dell'equazione di partenza implica la perdita del termine costante $\frac{e^{-\lambda_0B}}{\lambda_0}$
Così facendo ne tieni implicitamente conto.
Ciao Speculor. Hai ragione!
Grazie mille a te e a Gugo82..
Grazie mille a te e a Gugo82..
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