Equazione esponenziale

[Ster24]

Salve, avrei tale equazione:

$1+e^(-x)-4e^(-0.7x)=0 $

Non riesco a capire come ricavarmi la x. Ho provato a portare la costante al secondo membro ed applicare la funziona logaritmica, ma nulla.
$ln[4e^(-0.7x)-e^(-x)]=ln[1]$ (il primo membro non riesco a gestirlo)

Potete darmi un input? Grazie mille per la disponibilità.

[pilloeffe]

Ciao Ster24,

Metodo grafico o numerico... $2$ soluzioni:
$x_1 = - 4,58722$
$x_2 = 1,75194$

[Ster24]

Quale metodo numerico consigli?

[pilloeffe]

Newton-Raphson, dopo uno studio di massima della funzione $f(x) := 1+e^(-x)-4e^(-frac{7}{10}x)$ in modo da avere un'idea dei due intervalli che contengono una sola radice. In alternativa consiglierei il metodo grafico:

$f(x) = 0 \implies e^(-x)-4e^(-frac{7}{10}x) = - 1$, che equivale al sistema seguente:

$\{(y = e^(-x)-4e^(-frac{7}{10}x)),(y = -1):}$

si tratta cioè di vedere dove la funzione $g(x) := e^(-x)-4e^(-frac{7}{10}x)$ interseca la retta orizzontale di equazione $y = - 1$.

[otta96]

Non so se si semplifica (magari applicarci i metodi numerici), ma potresti porre $e^(-x/10)=y$ così da ottenere la seguente equazione di decimo grado $y^10-4y^7+1=0$.

[pilloeffe]

Bella idea otta96, non ci avevo pensato...

Anche se dubito che si semplifichi, perché l'equazione di decimo grado $y^10−4y^7+1=0$ ha $8$ soluzioni complesse coniugate e $2$ reali:
$y_1 = 1,58205 \implies x_1 = -4,58722$
$y_2 = 0,839294 \implies x_2 = 1,75194$

[otta96]

Ci ho provato