Equazione differenziali

[ale.vh1]

Ciao ragazzi ho trovato delle difficoltà per quanto riguarda esercizi di questo genere:
$ { ( y'=e^xcos^2y ),( y(0)=21/4pi ):} $
effettuando gli integrali delle due variabili ottengo questo risultato:
$ y=arctg(e^x+c) $
calcolo la costante c:
$ arctg(1+c)=21/4pi $
$ c=tg(21/4pi)-1=0 $
infine deve essere calcolata l'equazione in $y(ln(sqrt(3)))$
di conseguenza il risultato è $pi/3$ ma ciò risulta essere errata perché il risultato esatto dovrebbe essere $16pi/3$
Sapreste indicarmi la retta via ?

[spugna2]

L'errore è quando passi da $tan y=e^x+c$ a $y=arctan(e^x+c)$: esistono infiniti numeri che hanno come tangente un numero fissato, e due qualunque di essi differiscono per un multiplo intero di $pi$, quindi vanno bene tutte le soluzioni del tipo $y=arctan(e^x+c)+k pi$, dove $k$ è una costante intera. A questo punto, valutando in $0$, si trova:

$21/4 pi=arctan(1+c)+k pi \Rightarrow arctan(1+c)=(21/4-k)pi$.

Ora dobbiamo tenere presente che l'arcotangente può assumere solo i valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$: da ciò segue $k=5$, e a questo punto si trova facilmente $c=0$.

In conclusione, la soluzione è $y=arctan(e^x)+5pi$.

[ale.vh1]

Ok grazie mille