Equazione differenziale [Studio qualitativo]
Ciao ragazzi all'ultimo compito di Analisi l'unica domanda alla quale non ho risposto è stata quella che chiedeva di tracciare il grafico delle soluzioni di un equazione differenziale del primo ordine che prima doveva essere risolta con la formula risolutiva e dove poi bisognava calcolare i limiti.
Siccome all'orale come minimo mi chiederà subito questa cosa mi potete spiegare cosa devo fare/vedere per tracciare i grafici delle soluzioni di un equazione differenziale del primo ordine?
Grazie in anticipo
Siccome all'orale come minimo mi chiederà subito questa cosa mi potete spiegare cosa devo fare/vedere per tracciare i grafici delle soluzioni di un equazione differenziale del primo ordine?
Grazie in anticipo
Risposte
Potresti scrivere, in questo POST, la domanda del compito?
per lo studio qualitativo devi considerare l'equazione differenziale nella forma $x'=f(t,x)$, ora grazie a questa sei in grado di tracciare il campo di direzioni; per un determinato problema al valore iniziale rimane univocamente determinata una curva soluzione dell'equazione differenziale
Ho capito in parte la risposta di barletta e ti ringrazio, però resta ancora un poco oscuro come possa tracciare i grafici, cioè nelle soluzioni del compito il profe ha presentato un grafico precisissimo (fatto al computer vabè) e ha detto che si aspettava esattamente quello però.
La domanda del compito cmq era: $y' = 1/(2x)y+1-1/x$ per $x>0$
Si traccino i grafici delle soluzioni $y(x)$ corrispondenti ai valori di $y0$ che si ritengono più significativi
Grazie in anticipo
La domanda del compito cmq era: $y' = 1/(2x)y+1-1/x$ per $x>0$
Si traccino i grafici delle soluzioni $y(x)$ corrispondenti ai valori di $y0$ che si ritengono più significativi
Grazie in anticipo
io comincerei col trovare la soluzione di equilibrio, che si trova ponendo y'=0
Il problema mi piace moltissimo!...
Le due domande sono...
a) si richiede di determinare preventivamente l'insieme delle soluzioni?...
b) sicuro che l'equazione differenziale sia...
$y'=1/(2x)y+1-1/x$ per $x>0$ (1)
... con la condizione $y(0)=y_0$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Le due domande sono...
a) si richiede di determinare preventivamente l'insieme delle soluzioni?...
b) sicuro che l'equazione differenziale sia...
$y'=1/(2x)y+1-1/x$ per $x>0$ (1)
... con la condizione $y(0)=y_0$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Prima il lupo ululi a vuoto, invocando funzioni a più valori e creado polemiche conseguenti a ciò, dovrebbe essere necessario definire l'insieme di definizione della soluzione che andiamo a cercare. E' $RR$ o $CC$ ?
Allora, lavoriamo in $R$... a me, vedendo la soluzione, mi pare che il profe usi molta osservazione più che calcoli rigorosi.
Ve la posto sotto, se capite come fa vi invito a rendermi partecipe
.
http://img154.imageshack.us/my.php?image=diffnd1.jpg
Ricordo che prima di questi passaggi abbiamo semplicemente trovato la soluzione dalla formula risolutiva e calcolati i limiti per $0^+$ e +inf
Ve la posto sotto, se capite come fa vi invito a rendermi partecipe
.http://img154.imageshack.us/my.php?image=diffnd1.jpg
Ricordo che prima di questi passaggi abbiamo semplicemente trovato la soluzione dalla formula risolutiva e calcolati i limiti per $0^+$ e +inf
Purtroppo soffro di un periodo di calo di voce e così la luna per un poco non sentirà i miei ‘ululati’ 
…
Riguardo al problema posto da beppe86 [sul quale se ho ben capito verterà il suo esame orale …], dal momento che non ho ricevuto risposta, ipotizzerò che l’equazione in questione sia effettivamente la seguente…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ per $x>0$ (1)
Per cercare di capire le caratteristiche della famiglia di funzioni che costituiscono le soluzioni di una equazione di questo tipo, un metodo eccellente e semplice è costituito dal diagramma delle isocline. Le isocline sono una famiglia di curve per cui è $y’=k$ con $k$ costante. Nel caso della (1) le isocline sono date dalla relazione…
$y’= y/(2*x)+1-1/x=k$ (2)
… la quale può essere scritta come…
$y=2*(k-1)*x+2$ (3)
Dunque, dunque… interessante!… le isocline in questo caso sono un fascio di [semi]rette concentriche nel punto $(0,2)$ del piano $xy$. Nella figura seguente sono riportate tre di queste [semi]rette, rispettivamente per $k=0$, $k=1$, k=2$…
Diciamo subito che le soluzioni hanno una spiccata tendenza ‘in salita’ [sarà forse l’equazione che descrive l’andamento della ‘pressione fiscale’ che dovremo subire ora e nel futuro ad opera dell’attuale governo?...
]. Che il punto $(0,2)$ sia un ‘punto focale’ per le $y(x)$ è un ipotesi certo non ‘ardita’. Lungo la [semi]retta con $k=0$ sono verosimilmente disposti i ‘minimi’ delle $y(x)$. Le soluzioni attraverseranno la [semi]retta [orizzontale] con $k=1$, vale dire con derivata positiva unitaria… tutte a salire dunque!… Lungo la retta con $k=2$ è $y’=2$ per cui non è difficile ipotizzare che la [semi]retta in questione, vale a dire…
$y(x)=2+2*x$ (4)
… sia essa stessa soluzione della (1)…
A questo punto ne sappiamo già abbastanza per orientarci nella stesura del grafico richiestoci da beppe86, non è vero?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
P.S. allorchè ho inziato a postare il mio intervento beppe86 ancora non aveva risposto e non conoscevo il digramma da lui segnalato...
lupo grigio
… Riguardo al problema posto da beppe86 [sul quale se ho ben capito verterà il suo esame orale …], dal momento che non ho ricevuto risposta, ipotizzerò che l’equazione in questione sia effettivamente la seguente…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ per $x>0$ (1)
Per cercare di capire le caratteristiche della famiglia di funzioni che costituiscono le soluzioni di una equazione di questo tipo, un metodo eccellente e semplice è costituito dal diagramma delle isocline. Le isocline sono una famiglia di curve per cui è $y’=k$ con $k$ costante. Nel caso della (1) le isocline sono date dalla relazione…
$y’= y/(2*x)+1-1/x=k$ (2)
… la quale può essere scritta come…
$y=2*(k-1)*x+2$ (3)
Dunque, dunque… interessante!… le isocline in questo caso sono un fascio di [semi]rette concentriche nel punto $(0,2)$ del piano $xy$. Nella figura seguente sono riportate tre di queste [semi]rette, rispettivamente per $k=0$, $k=1$, k=2$…
Diciamo subito che le soluzioni hanno una spiccata tendenza ‘in salita’ [sarà forse l’equazione che descrive l’andamento della ‘pressione fiscale’ che dovremo subire ora e nel futuro ad opera dell’attuale governo?...
]. Che il punto $(0,2)$ sia un ‘punto focale’ per le $y(x)$ è un ipotesi certo non ‘ardita’. Lungo la [semi]retta con $k=0$ sono verosimilmente disposti i ‘minimi’ delle $y(x)$. Le soluzioni attraverseranno la [semi]retta [orizzontale] con $k=1$, vale dire con derivata positiva unitaria… tutte a salire dunque!… Lungo la retta con $k=2$ è $y’=2$ per cui non è difficile ipotizzare che la [semi]retta in questione, vale a dire… $y(x)=2+2*x$ (4)
… sia essa stessa soluzione della (1)…
A questo punto ne sappiamo già abbastanza per orientarci nella stesura del grafico richiestoci da beppe86, non è vero?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
P.S. allorchè ho inziato a postare il mio intervento beppe86 ancora non aveva risposto e non conoscevo il digramma da lui segnalato...
lupo grigio
Di solito lo studio qualitativo delle soluzioni si fa studiando il segno di $y'$; disegna le parti di piano dove la soluzione cresce o decresce, poi la fai partire dal dato iniziale e vedi cosa può fare (se si prolunga, quanto si prolunga.... devi ricordare bene la teoria delle o.d.e.).
Allora ragazzi
riportiamo ancora una volta sia l’equazione differenziale…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ per $x>0$ (1)
… sia il diagramma [semplificato] delle isocline…
Già ad un semplice esame abbiamo constatato alcune proprietà della famiglia di soluzioni, vale a dire…
a) nella regione di piano compresa tra l’asse $y$ negativo e la [semi]retta $y=2-2*x$ tutte le $y(x)$ hanno derivata negativa. Nella rimanente parte di semipiano in cui $x>0$ tutte le $y(x)$ hanno derivata positiva
b) i minimi delle $y(x)$ si trovano tutti sulla [semi]retta $y=2-2*x$
c) il punto $(0,2)$ è un ‘punto focale’, ossia per tutte le $y(x)$ è $y(0)=2$
d) $y= 2+2*x$ è soluzione
Per avere ulteriori informazioni è [probabilmente] necessario risolvere l’equazione. Dal momento che l’equazione è lineare la tecnica risolutiva è nota. Si trova che un integrale della (1) ha la forma…
$y(x)= c*sqrt(x) + 2*x + 2$ (2)
… dove $c$ è la usuale ‘costante arbitraria’. Da notare che in $x=0$ non solo tutte le $y(x)$ valgono $2$, ma in detto punto la derivata non esiste tranne che nel caso $c=0$. Nella figura che segue sono graficate alcune delle $y(x)$ in funzione di $c$…
Occorre dire che lo studio di questa equazione certamente ‘anomala’ dato come prova scritta di esame equivale a… sparare sulla Croce Rossa… Dal momento però che ho promesso di non ‘far polemiche’ di più non dirò…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, buit never his nature
riportiamo ancora una volta sia l’equazione differenziale…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ per $x>0$ (1)
… sia il diagramma [semplificato] delle isocline…
Già ad un semplice esame abbiamo constatato alcune proprietà della famiglia di soluzioni, vale a dire…
a) nella regione di piano compresa tra l’asse $y$ negativo e la [semi]retta $y=2-2*x$ tutte le $y(x)$ hanno derivata negativa. Nella rimanente parte di semipiano in cui $x>0$ tutte le $y(x)$ hanno derivata positiva
b) i minimi delle $y(x)$ si trovano tutti sulla [semi]retta $y=2-2*x$
c) il punto $(0,2)$ è un ‘punto focale’, ossia per tutte le $y(x)$ è $y(0)=2$
d) $y= 2+2*x$ è soluzione
Per avere ulteriori informazioni è [probabilmente] necessario risolvere l’equazione. Dal momento che l’equazione è lineare la tecnica risolutiva è nota. Si trova che un integrale della (1) ha la forma…
$y(x)= c*sqrt(x) + 2*x + 2$ (2)
… dove $c$ è la usuale ‘costante arbitraria’. Da notare che in $x=0$ non solo tutte le $y(x)$ valgono $2$, ma in detto punto la derivata non esiste tranne che nel caso $c=0$. Nella figura che segue sono graficate alcune delle $y(x)$ in funzione di $c$…
Occorre dire che lo studio di questa equazione certamente ‘anomala’ dato come prova scritta di esame equivale a… sparare sulla Croce Rossa…
Dal momento però che ho promesso di non ‘far polemiche’ di più non dirò… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, buit never his nature
Ma non vedo nulla sulle vere richieste che si fanno per esercizi come questo: anzitutto non mi hai detto se la soluzione c'è, per quanto mi riguarda potrebbe anche non esserci. Poi se c'è ce n'è una sola per ogni dato iniziale? Fino a dove è definita? Si prolunga a tutto $\RR$ o esplode in un tempo finito? I disegni non servono a molto, se non c'è un procedimento preciso sotto.
Allora…
a) è dimostrabile mediante semplice verifica che per qualunque numero reale $c$ la funzione…
$f(x)= c*sqrt(x) + 2*x + 2$ (1)
… soddisfa l’equazione differenziale…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ (2)
b) preso un valore $y_0$ ad arbitrio e un valore $x_0$ ad arbitrio purchè $x_0>0$, esiste ed è unico il valore di $c$ che soddisfa l’equazione algebrica di primo grado $c*sqrt(x_0)+2*x_0+2-y_0=0$. Di conseguenza per ogni $(x_0,y_0)$ con $x_0>0$ esiste una e una sola soluzione della (2) passate per tale punto…
c) l’esame della (1) permette di affermare che per qualunque valore di $c$ è…
$lim_(x->0) y(x)=2$
$lim_(x->+oo) y(x)=+oo$ (3)
d) per finire è possibile dimostrare che per $c<0$ la (1) è una funzione convessa, vale a dire non ha punti di massimo ed ha ha un unico minimo e tale minimo di trova sulla [semi]retta $y=2-2*x$
A me sinceramente pare che questo può bastare a beppe per superare l’esame. Se poi in sede di esame vuol tenersi come ‘asso nella manica’ l’eventuale applicazione del ‘metodo delle isocline’ questa è una decisione che lascio a lui… chi ha orecchie per intendere intenda!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) è dimostrabile mediante semplice verifica che per qualunque numero reale $c$ la funzione…
$f(x)= c*sqrt(x) + 2*x + 2$ (1)
… soddisfa l’equazione differenziale…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ (2)
b) preso un valore $y_0$ ad arbitrio e un valore $x_0$ ad arbitrio purchè $x_0>0$, esiste ed è unico il valore di $c$ che soddisfa l’equazione algebrica di primo grado $c*sqrt(x_0)+2*x_0+2-y_0=0$. Di conseguenza per ogni $(x_0,y_0)$ con $x_0>0$ esiste una e una sola soluzione della (2) passate per tale punto…
c) l’esame della (1) permette di affermare che per qualunque valore di $c$ è…
$lim_(x->0) y(x)=2$
$lim_(x->+oo) y(x)=+oo$ (3)
d) per finire è possibile dimostrare che per $c<0$ la (1) è una funzione convessa, vale a dire non ha punti di massimo ed ha ha un unico minimo e tale minimo di trova sulla [semi]retta $y=2-2*x$
A me sinceramente pare che questo può bastare a beppe per superare l’esame. Se poi in sede di esame vuol tenersi come ‘asso nella manica’ l’eventuale applicazione del ‘metodo delle isocline’ questa è una decisione che lascio a lui… chi ha orecchie per intendere intenda!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non hai dimostrato che la soluzione e' unica. Hai solo trovato una possibile soluzione.
Ripeto...
a) per qualunque numero reale $c$ la funzione…
$f(x)= c*sqrt(x) + 2*x + 2$ (1)
… soddisfa l’equazione differenziale…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ (2)
b) ciò significa che con $y_0$ qualunque e $x_0$ qualunque purchè $>0$ imporre $f(x_0)=y_0$ equivale a imporre...
$c*sqrt(x_0)+2*x_0+2-y_0=0$ (3)
c) si dà il caso che la (3) sia un'equazione algebrica di primo grado con incongita $c$ con il coefficiente dell'incognita pari a $sqrt(x_0) ne 0$. Come noto dall'algebra elementare tale equazione ammette una e una sola soluzione e pertanto a queste condizioni [$x_0>0$ e $y_0$ qualunque...] la soluzione della (1) esiste ed è unica...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) per qualunque numero reale $c$ la funzione…
$f(x)= c*sqrt(x) + 2*x + 2$ (1)
… soddisfa l’equazione differenziale…
$y'=y/(2*x)+1-1/x$ (2)
b) ciò significa che con $y_0$ qualunque e $x_0$ qualunque purchè $>0$ imporre $f(x_0)=y_0$ equivale a imporre...
$c*sqrt(x_0)+2*x_0+2-y_0=0$ (3)
c) si dà il caso che la (3) sia un'equazione algebrica di primo grado con incongita $c$ con il coefficiente dell'incognita pari a $sqrt(x_0) ne 0$. Come noto dall'algebra elementare tale equazione ammette una e una sola soluzione e pertanto a queste condizioni [$x_0>0$ e $y_0$ qualunque...] la soluzione della (1) esiste ed è unica...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
E io ripeto: hai solo scritto una famiglia di funzioni che verificano l'equazione. Chi ti assicura che non ci sono altre funzioni che la verificano?
Data l'equazione...
$y'=f(x,y)$, $f(x_0)=y_0$ (1)
... se $f$ è continua insieme con le sue derivate parziali in $(x_0,y_0)$, allora in un intorno di $(x_0,y_0)$ la soluzione della (1) esiste ed è unica...
Mi pare che l'equazione propostaci da beppe soddisfi tale condizione per $y_0$ qualunque e $x_0>0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y'=f(x,y)$, $f(x_0)=y_0$ (1)
... se $f$ è continua insieme con le sue derivate parziali in $(x_0,y_0)$, allora in un intorno di $(x_0,y_0)$ la soluzione della (1) esiste ed è unica...
Mi pare che l'equazione propostaci da beppe soddisfi tale condizione per $y_0$ qualunque e $x_0>0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Oh, finalmente si enuncia il Teorema capitale di tutta la teoria; ora va bene, la soluzione del problema di Cauchy esiste ed è unica in $(0,+\infty)$.
In queste discussioni c'è un che di archetipico....
ingegneri versus matematici....
Da un lato l'uomo che col numero e la scienza domina la materia e la plasma secondo il suo volere, dall'altro chi scrive le regole del gioco, l'uomo che enuncia regole perfette a cui il numero si deve sottomettere....da un lato la natura che è geometrica e matematica senza saperlo, dall'altro la fredda mente analitica che è matematica e geometrica, e a volte dimentica di essere natura essa stessa.
Io non lo so a chi voglio più bene...siete come la mamma ed il papà!
ingegneri versus matematici....
Da un lato l'uomo che col numero e la scienza domina la materia e la plasma secondo il suo volere, dall'altro chi scrive le regole del gioco, l'uomo che enuncia regole perfette a cui il numero si deve sottomettere....da un lato la natura che è geometrica e matematica senza saperlo, dall'altro la fredda mente analitica che è matematica e geometrica, e a volte dimentica di essere natura essa stessa.
Io non lo so a chi voglio più bene...siete come la mamma ed il papà!
Io personalmente non ho nessun pregiudizio contro ingegneri o altre persone. Per me la Matematica è una sola, non c'è una Matematica per l'ingegnere e una per il matematico. Quando quindi si fa un'affermazione matematica, si pretende di usare il rigore che lo stesso contesto richiede. Questo non significa che il formalismo abbatte la creatività, anzi la rafforza. Se non altro i matematici devono essere creativi prima di tutto, se no non cavano un ragno dal buco.
Non posso che dirmi concorde con te, in fisica spesso dalla scelta di un formalismo scaturisce un mondo intero....vedi la formulazione della MQ tramite i bra ed i ket...cmq per queste cose bisogna leggere Feynmann!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo