Equazione differenziale [Studio qualitativo]
Ciao ragazzi all'ultimo compito di Analisi l'unica domanda alla quale non ho risposto è stata quella che chiedeva di tracciare il grafico delle soluzioni di un equazione differenziale del primo ordine che prima doveva essere risolta con la formula risolutiva e dove poi bisognava calcolare i limiti.
Siccome all'orale come minimo mi chiederà subito questa cosa mi potete spiegare cosa devo fare/vedere per tracciare i grafici delle soluzioni di un equazione differenziale del primo ordine?
Grazie in anticipo
Siccome all'orale come minimo mi chiederà subito questa cosa mi potete spiegare cosa devo fare/vedere per tracciare i grafici delle soluzioni di un equazione differenziale del primo ordine?
Grazie in anticipo
Risposte
Grazie ragazzi adesso (specie dopo il discorso passo-passo di lupo grigio)è tutto più chiaro, però mi resta ancora una perplessità e cioè come si poteva arrivare dal discorso molto generico e molto qualitativo della soluzione che ho riportato qualche post più su al grafico.
Sapete delucidarmi ulteriormente?
Grazie a tutti cmq e grazie in anticipo per le prossime (si spera) risposte
Sapete delucidarmi ulteriormente?
Grazie a tutti cmq e grazie in anticipo per le prossime (si spera) risposte
caro beppe
innanzitutto grazie per i complimenti che hai voluto tributarmi...
Se hai seguito [e anche compreso...] il procedimento chiamato 'metodo delle isocline' [il quale è molto utile, a mio modo di vedere, per comprendere da subito l'esistenza eventuale e le caratteristiche delle soluzioni di un'equazione differenziale e dovrebbe, sempre a mio modo di vedere, essere per lo meno accennato in ogni corso di Analisi II...] non dovresti avere difficoltà nell'affrontare l'analisi di equazioni differenziali anche complesse e non solo del primo ordine. Dal momento che si impara soprattutto con la pratica, proviamo ad applicare il metodo all'equazione differenziale seguente, in apparenza 'innocua', in realtà assai 'insidiosa'...
$y'=x*root(3) (y)$ (1)
Prova ad iniziare tu!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
innanzitutto grazie per i complimenti che hai voluto tributarmi...
Se hai seguito [e anche compreso...] il procedimento chiamato 'metodo delle isocline' [il quale è molto utile, a mio modo di vedere, per comprendere da subito l'esistenza eventuale e le caratteristiche delle soluzioni di un'equazione differenziale e dovrebbe, sempre a mio modo di vedere, essere per lo meno accennato in ogni corso di Analisi II...] non dovresti avere difficoltà nell'affrontare l'analisi di equazioni differenziali anche complesse e non solo del primo ordine. Dal momento che si impara soprattutto con la pratica, proviamo ad applicare il metodo all'equazione differenziale seguente, in apparenza 'innocua', in realtà assai 'insidiosa'...
$y'=x*root(3) (y)$ (1)
Prova ad iniziare tu!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi buondì…
… vedo che nessuno di voi si è voluto cimentare allo ‘studio qualitativo’ dell’equazione differenziale proposta, vale dire…
$y’= f(x,y)= x*root(3) (y)$ (1)
Dal momento che [a mio parere…] tale equazione è assai ‘interessante’ e costituisce un esempio assai ‘istruttivo’ di applicazione del ‘metodo delle isocline’, ritengo utile farvela conoscere…
Allo scopo di sgomberare il campo dalle solite ‘polemiche’, sentiamo per prima cosa il parere al riguardo della buon’anima di Cauchy. Dal momento che la $f(x,y)$ che compare nella (1) è continua ovunque insieme con le sue derivate parziali ad eccezione dei punti in cui è $y=0$, è immediato concludere che in ogni punto $(x_0,y_0)$ passerà una e una sola soluzione $y(x)$ della (1) a condizione che tale funzione non si annulli per nessun valore di $x$. In altre parole soluzioni che stanno ‘sempre sopra’ o ‘sempre sotto’ l’asse $x$ non daranno problemi. In caso contrario però qualche problema dobbiamo aspettarcelo e questo vincolo assai ‘pesante’ è sicuro sintomo che la (1) è in realtà una ‘brutta gatta da pelare’. Un rapido esame della (1) consente di dire che…
a) la ‘curva critica’ $y=0$ è [guarda caso…] soluzione
b) nel primo e terzo quadrante del piano $(x,y)$ è sempre $y’>0$, nel secondo e quarto quadrante è sempre $y’<0$
c) nel semipiano superiore [$y>0$…] tutte le soluzioni saranno funzioni convesse, nel semipiano inferiore [$y<0$…] tutte le soluzioni saranno funzioni concave
d) per $x<0$ tutte le soluzioni tendono ad ’avvicinarsi’ alla retta $y=0$, per $x>0$ le suzioni tendono ad ‘allontanarsi’ dalla retta $y=0$
e) se $y(x)$ è soluzione della (1), allora $y(-x)$ è anch’essa soluzione della (1)
f) se $y(x)$ è soluzione della (1), allora $-y(x)$ è anch’essa soluzione della (1)
g) i punti dell’asse $y$ [dove è $x=0$…] sono punti di minimo se $y<0$, punti di massimo se $y<0$
h) le soluzioni tali che per nessun valore di $x$ è $y(x)=0$ sono funzioni ‘pari’ in $x$, ovvero è $y(x)=y(-x)$
Non male per aver solo dato un’occhiata ‘di sfuggita’ all’equazione, non è vero?… Ora dedichiamo un poco di attenzione al diagramma delle isocline, ossia ai luoghi di punti sul piano $(x,y)$ per cui è $y’=k$, con $k$ costante, vale a dire…
$y’= x*root(3)(y)=k$ -> $y=(k/x)^3$ (2)
Per le particolari proprietà di simmetria delle soluzioni della (1) sarà sufficiente descrivere il solo primo quadrante…
Il diagramma delle isocline ci dà ulteriori informazioni, in particolare quello che accade in prossimità della ‘retta critica’ $y=0$, dove le isocline stesse tendono ad addensarsi tanto più quanto più grande è $x$ in valore assoluto… segno di qualcosa di ‘anomalo’. Per capire meglio la cosa non rimane che passare da una semplice analisi ‘qualitativa’ ad un’analisi ‘quantitativa’… prossimamente su questo schermo…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
… vedo che nessuno di voi si è voluto cimentare allo ‘studio qualitativo’ dell’equazione differenziale proposta, vale dire…
$y’= f(x,y)= x*root(3) (y)$ (1)
Dal momento che [a mio parere…] tale equazione è assai ‘interessante’ e costituisce un esempio assai ‘istruttivo’ di applicazione del ‘metodo delle isocline’, ritengo utile farvela conoscere…
Allo scopo di sgomberare il campo dalle solite ‘polemiche’, sentiamo per prima cosa il parere al riguardo della buon’anima di Cauchy. Dal momento che la $f(x,y)$ che compare nella (1) è continua ovunque insieme con le sue derivate parziali ad eccezione dei punti in cui è $y=0$, è immediato concludere che in ogni punto $(x_0,y_0)$ passerà una e una sola soluzione $y(x)$ della (1) a condizione che tale funzione non si annulli per nessun valore di $x$. In altre parole soluzioni che stanno ‘sempre sopra’ o ‘sempre sotto’ l’asse $x$ non daranno problemi. In caso contrario però qualche problema dobbiamo aspettarcelo e questo vincolo assai ‘pesante’ è sicuro sintomo che la (1) è in realtà una ‘brutta gatta da pelare’. Un rapido esame della (1) consente di dire che…
a) la ‘curva critica’ $y=0$ è [guarda caso…] soluzione
b) nel primo e terzo quadrante del piano $(x,y)$ è sempre $y’>0$, nel secondo e quarto quadrante è sempre $y’<0$
c) nel semipiano superiore [$y>0$…] tutte le soluzioni saranno funzioni convesse, nel semipiano inferiore [$y<0$…] tutte le soluzioni saranno funzioni concave
d) per $x<0$ tutte le soluzioni tendono ad ’avvicinarsi’ alla retta $y=0$, per $x>0$ le suzioni tendono ad ‘allontanarsi’ dalla retta $y=0$
e) se $y(x)$ è soluzione della (1), allora $y(-x)$ è anch’essa soluzione della (1)
f) se $y(x)$ è soluzione della (1), allora $-y(x)$ è anch’essa soluzione della (1)
g) i punti dell’asse $y$ [dove è $x=0$…] sono punti di minimo se $y<0$, punti di massimo se $y<0$
h) le soluzioni tali che per nessun valore di $x$ è $y(x)=0$ sono funzioni ‘pari’ in $x$, ovvero è $y(x)=y(-x)$
Non male per aver solo dato un’occhiata ‘di sfuggita’ all’equazione, non è vero?… Ora dedichiamo un poco di attenzione al diagramma delle isocline, ossia ai luoghi di punti sul piano $(x,y)$ per cui è $y’=k$, con $k$ costante, vale a dire…
$y’= x*root(3)(y)=k$ -> $y=(k/x)^3$ (2)
Per le particolari proprietà di simmetria delle soluzioni della (1) sarà sufficiente descrivere il solo primo quadrante…
Il diagramma delle isocline ci dà ulteriori informazioni, in particolare quello che accade in prossimità della ‘retta critica’ $y=0$, dove le isocline stesse tendono ad addensarsi tanto più quanto più grande è $x$ in valore assoluto… segno di qualcosa di ‘anomalo’. Per capire meglio la cosa non rimane che passare da una semplice analisi ‘qualitativa’ ad un’analisi ‘quantitativa’… prossimamente su questo schermo…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi buondì…
… ieri abbiamo iniziato il discorso riguardo lo ‘studio qualitativo’ delle soluzioni dell’equazione differenziale…
$y’=f(x,y)= x*root(3)y$ (1)
Già un esame preliminare aveva messo in luce parecchie proprietà delle soluzioni della (1) e tra esse in particolare quella relativa alla ‘retta critica’ $y=0$. In pratica si è stabilito che quando le soluzioni della (1) non si annullano per alcun valore della variabile indipendente $x$ [ovvero ‘stanno lontane’ dalla ‘retta critica’…] tutto è ‘ok’, mentre in caso contrario vi è da attendersi qualche ‘sorpresa’. Per valutare meglio la cosa cominciamo col dire che una funzione del tipo…
$y(x)=sqrt((1/3*x^2+c)^3)$ (2)
… è soluzione della (1) , naturalmente per i valori della $x$ che rendono non negativo il termine posto sotto radice quadrata. Come già si sa, la (2) è una funzione pari in $x$ e per ogni valore di $c$ e di $x$ per cui la (2), dove esiste, essa avrà due valori possibili, corrispondenti rispettivamente alla radice quadrata positiva e alla radice quadrata negativa. Pertanto sarà sufficiente esaminare come stanno le cose nel solo primo quadrante, quello rappresentato nella figura seguente, che riporta, oltre alle isocline, alcune soluzioni della (1)…
Dunque, dunque… Le soluzioni della (1) per $c>0$ sono quelle che in fondo ci aspettavamo, ossia funzioni convesse con un minimo in $x=0$. Data la condizione iniziale $y(x_0)=y_0$, se nel punto $(x_0,Y_0)$ passa una di queste curve, allora la soluzione della (1) con detta condizione iniziale è unica. Ok!… In apparenza la curva con $c=0$ non si differenzia di molto dalle altre. Essa però tocca in $x=0$ la ‘retta critica’ e quindi rappresenta una sorta di ‘caso limite’. Diciamo che se $(x_0,y_0)$ è un punto interno alla curva con $c=0$ allora le condizioni di esistenza e unicità della soluzione sono rispettate e non ci si deve aspettare nessuna ‘sorpresa’. Che cosa succede però se il punto $(x_0,y_0)$ è fuori dalla curva con $c=0$?… Per esempio che cosa succede per $x_0=2$, $y_0=1$?… Osservando il diagramma delle isocline si vede che in tale punto è $y’=2$ e pertanto siamo portati a dedurre che una soluzione che passa per tale punto deve pur esserci. Andando a sostituire nella (2) $c=-1/3$ si ottiene…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$ (3)
… la quale soddisfa la (1) è definita per $x>=1$. Ok!… e per $x<1$?… Beh, dal momento che $y=0$ è soluzione della (1) possiamo ‘azzardare’ a dire che la soluzione passante per il punto $(2,1)$ è…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$, $x>=1$
$y(x)= 0$, $0
Ok !… e per $x<0$?… Beh, vedendo la figura si vede che in $x=0$ confluisce il ramo negativo della curva con $c=0$ per cui possiamo ‘azzardare’ a dire che la soluzione passante per il punto $(2,1)$ è…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$, $x>=1$
$y(x)= 0$, $0
$y(x)=sqrt((1/3*x^2)^3)$, $x<=0$ (5)
Beh, dal momento che non si vede una possibile obiezione, diciamo pure che la (5) è soluzione della (1) passante per il punto $(2,1)$. Ok!… ma la domanda ‘ovvia’ a questo punto è: tale soluzione è unica?… beh, osservando la figura notiamo una cosa ‘interessante’, è cioè che dal punto $(0,0)$ ‘sgorgano’ almeno due soluzioni della (1), una corrispondente a $c=0$, l’altra la soluzione ora trovata passante per $(2,1)$. È abbastanza evidente che dallo stesso punto ‘sgorgano’ tutte le soluzioni della (1) passanti per i punti esterni alla curva con $c=0$. Dal momento che se $y(x)$ è soluzione della (1), $y(-x)$ è anch’essa soluzione della (1), si conclude che nel punto $(0,0)$ ‘confluiscono’ tutte le soluzioni della (1) passanti per i punti $(x_0,y_0)$ esterni alla curva con $c=0$ con $x_0<0$. Pertanto la suzione della (1) passante per $(2,1)$ sarà…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$, $x>=1$
$y(x)= 0$, $0
$y(x)=$ una qualunque soluzione confluente in $(0,0)$, $x<=0$ (6)
Pertanto in questi casi la (1) ammette infinite soluzioni… col che gli insegnamenti della buon’anima di Cauchy trovano piena conferma… 
Mi auguro che questa lunga ‘diversione’ abbia interessato il gentile lettore e gli abbia fatto apprezzare il metodo delle isocline, senza del quale l’indagine sulla equazione (1) sarebbe stata certamente più difficoltosa…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
… ieri abbiamo iniziato il discorso riguardo lo ‘studio qualitativo’ delle soluzioni dell’equazione differenziale…
$y’=f(x,y)= x*root(3)y$ (1)
Già un esame preliminare aveva messo in luce parecchie proprietà delle soluzioni della (1) e tra esse in particolare quella relativa alla ‘retta critica’ $y=0$. In pratica si è stabilito che quando le soluzioni della (1) non si annullano per alcun valore della variabile indipendente $x$ [ovvero ‘stanno lontane’ dalla ‘retta critica’…] tutto è ‘ok’, mentre in caso contrario vi è da attendersi qualche ‘sorpresa’. Per valutare meglio la cosa cominciamo col dire che una funzione del tipo…
$y(x)=sqrt((1/3*x^2+c)^3)$ (2)
… è soluzione della (1) , naturalmente per i valori della $x$ che rendono non negativo il termine posto sotto radice quadrata. Come già si sa, la (2) è una funzione pari in $x$ e per ogni valore di $c$ e di $x$ per cui la (2), dove esiste, essa avrà due valori possibili, corrispondenti rispettivamente alla radice quadrata positiva e alla radice quadrata negativa. Pertanto sarà sufficiente esaminare come stanno le cose nel solo primo quadrante, quello rappresentato nella figura seguente, che riporta, oltre alle isocline, alcune soluzioni della (1)…
Dunque, dunque… Le soluzioni della (1) per $c>0$ sono quelle che in fondo ci aspettavamo, ossia funzioni convesse con un minimo in $x=0$. Data la condizione iniziale $y(x_0)=y_0$, se nel punto $(x_0,Y_0)$ passa una di queste curve, allora la soluzione della (1) con detta condizione iniziale è unica. Ok!… In apparenza la curva con $c=0$ non si differenzia di molto dalle altre. Essa però tocca in $x=0$ la ‘retta critica’ e quindi rappresenta una sorta di ‘caso limite’. Diciamo che se $(x_0,y_0)$ è un punto interno alla curva con $c=0$ allora le condizioni di esistenza e unicità della soluzione sono rispettate e non ci si deve aspettare nessuna ‘sorpresa’. Che cosa succede però se il punto $(x_0,y_0)$ è fuori dalla curva con $c=0$?… Per esempio che cosa succede per $x_0=2$, $y_0=1$?… Osservando il diagramma delle isocline si vede che in tale punto è $y’=2$ e pertanto siamo portati a dedurre che una soluzione che passa per tale punto deve pur esserci. Andando a sostituire nella (2) $c=-1/3$ si ottiene…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$ (3)
… la quale soddisfa la (1) è definita per $x>=1$. Ok!… e per $x<1$?… Beh, dal momento che $y=0$ è soluzione della (1) possiamo ‘azzardare’ a dire che la soluzione passante per il punto $(2,1)$ è…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$, $x>=1$
$y(x)= 0$, $0
Ok !… e per $x<0$?… Beh, vedendo la figura si vede che in $x=0$ confluisce il ramo negativo della curva con $c=0$ per cui possiamo ‘azzardare’ a dire che la soluzione passante per il punto $(2,1)$ è…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$, $x>=1$
$y(x)= 0$, $0
$y(x)=sqrt((1/3*x^2)^3)$, $x<=0$ (5)
Beh, dal momento che non si vede una possibile obiezione, diciamo pure che la (5) è soluzione della (1) passante per il punto $(2,1)$. Ok!… ma la domanda ‘ovvia’ a questo punto è: tale soluzione è unica?… beh, osservando la figura notiamo una cosa ‘interessante’, è cioè che dal punto $(0,0)$ ‘sgorgano’ almeno due soluzioni della (1), una corrispondente a $c=0$, l’altra la soluzione ora trovata passante per $(2,1)$. È abbastanza evidente che dallo stesso punto ‘sgorgano’ tutte le soluzioni della (1) passanti per i punti esterni alla curva con $c=0$. Dal momento che se $y(x)$ è soluzione della (1), $y(-x)$ è anch’essa soluzione della (1), si conclude che nel punto $(0,0)$ ‘confluiscono’ tutte le soluzioni della (1) passanti per i punti $(x_0,y_0)$ esterni alla curva con $c=0$ con $x_0<0$. Pertanto la suzione della (1) passante per $(2,1)$ sarà…
$y(x)= sqrt((1/3*x^2-1/3)^3)$, $x>=1$
$y(x)= 0$, $0
$y(x)=$ una qualunque soluzione confluente in $(0,0)$, $x<=0$ (6)
Pertanto in questi casi la (1) ammette infinite soluzioni… col che gli insegnamenti della buon’anima di Cauchy trovano piena conferma…
Mi auguro che questa lunga ‘diversione’ abbia interessato il gentile lettore e gli abbia fatto apprezzare il metodo delle isocline, senza del quale l’indagine sulla equazione (1) sarebbe stata certamente più difficoltosa…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie anche per questa seconda spiegazione lupo grigio, sono stato via per un pò e ho letto solo ora la tua proposta di esercizio ma sono sincero nel dire che non l'avrei saputo fare 
.
Purtroppo le equazioni differenziali non le abbiamo fatte in maniera molto approfondita, forse le vedrò meglio in un altro corso ma più in la di quelle lineari del primo ordine da risolvere con la formula e il paraocchi non siamo andati.
.Purtroppo le equazioni differenziali non le abbiamo fatte in maniera molto approfondita, forse le vedrò meglio in un altro corso ma più in la di quelle lineari del primo ordine da risolvere con la formula e il paraocchi non siamo andati.
Mah, non mi pare proprio che rinunciando al metodo sopra esposto le cose si complichino.... basta osservare che partendo da $0$ uno ha la soluzione nulla, e trovare invece una soluzione non nulla per variabili separabili. Dunque il problema dato non ammette unicità: sono due righe di verifica.
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