Equazione differenziale secondo ordine

[Redivivo]

ciao,
trovo difficoltà nel risolvere questo problema
$ { ( y''+y=1/cos(x)^3 ),( y'(0)=0 ),( y(0)=0 ):} $
ho provato col metodo di variazione delle costanti perchè sul libro c'è un esempio generale analogo al mio.
utilizzando le due soluzioni indipendenti della omogenea $ y1=cos(t) , y2=sin(t) $ e seguendo i calcoli che stanno sul libro mi è uscito quest'integrale generale
$y(t)=-1/2cos(t)+1/2+sin(t)^2/cos(t)+c1*cos(t)+c2*sin(t) $
poi trovo c1 e c2 che mi escono tutti e due nulli.
ho sbagliato qualcosa? Ho impiegato molto tempo a risolverlo. Forse c'era un modo più veloce?Nel casa in cui siano giusti i calcoli che cosa significa se c1 e c2 sono nulli?

[robbstark1]

A me non è sembrato lunghissimo con la variazione delle costanti; penso dipenda da come vengono svolti i conti.
Mi viene comunque leggermente diverso (e ho verificato):
$y=c_1(x) cos x + c_2(x) sen x$
$y' = -c_1(x) sen x + c_2(x) cos x$ ponendo $c'_1(x) cos x + c'_2(x) sen x = 0$
$y''= -c'_1(x) sen x - c_1(x) cos x + c'_2(x) cos x - c_2(x) sen x$
Dunque:
$y''+y= -c'_1(x) sen x + c'_2(x) cos x = c'_2(x) (sen^2 x)/(cos x) + c'_2(x) cos x$
Essendo $y''+y= 1/(cos^3 x)$:
$c'_2(x) (sen^2 x)/(cos x) + c'_2(x) cos x = 1/(cos^3 x)$
$c'_2(x) sen^2 x + c'_2(x) cos^2 x = 1/(cos^2 x)$
$c'_2(x) = 1/(cos^2 x)$
$c'_1(x) = - (sen x)/(cos^3 x)$

Calcolando gli integrali si può scrivere:
$c_2(x) = tg x + c_2$
$c_1(x) = -1/(2 cos^2 x) + c_1$
Da cui:
$y= c_1 cos x + c_2 sen x + tg x sen x - 1/(2 cos^2 x) cos x = c_1 cos x + c_2 sen x + (sen^2 x)/(cos x) - 1/(2 cos x) = $
$= c_1 cos x + c_2 sen x + 1/(2 cos x) - cos x$
Volendo, si può rinominare $c_1 -1 -> c_1$, data l'arbitrarietà di $c_1$:
$y = c_1 cos x + c_2 sen x + 1/(2 cos x)$
$y' = -c_1 sen x + c_2 cos x + (sen x)/(2 cos^2 x) $

Imponendo le condizioni al contorno:
$c_1 + 1/2 = 0$
$c_2 = 0$

$y = -1/2 cos x + 1/(2 cos x)$

P.s.: Mi sembra giusto il mio risultato perchè l'ho verificato, ma in ogni caso:
1. Potevi rinominare $c_1 - 1/2 -> c_1$ e non ti uscivano tutti e due i coefficienti nulli.
2. Anche se si annullassero del tutto i coefficienti della soluzione omogenea non è un problema; la soluzione particolare da sola è sempre una soluzione, e può succedere che soddisfi le condizioni al contorno senza l'aggiunta di termini omogenei.

[Redivivo]

Grazie. Sei stato molto gentile a scrivere tutti i calcoli. Sono riuscito a trovare l'errore: c'era un $ +1/2 $ di troppo nel calcolo di un integrale. comunque si potevo rinominare la costante. Ma quindi con un esercizio del tipo $y''+omega^2y=f(t)$(l'esempio del libro) utilizzo sempre solo questo metodo?

[robbstark1]

Si può sempre usare in teoria, non ho esperienza per dire se talvolta non porta a trovare la soluzione facilmente.
Un altro metodo che ho usato spesso è quello degli annichilatori, (per esempio si trova a pagg. 21-23 di questa dispensa: http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... inarie.pdf ). Lo trovo più veloce, solo che si riesce ad applicare per particolari casi semplici della $f$.
Poi, come vedi, esistono molti altri modi, ma credo siano un po' meno comuni.