Equazione differenziale secondo ordine

[thedarkhero]

Devo risolvere l'equazione $y''-8y'=8x$.
Ho trovato le radici dell'equazione caratteristica ($0$ e $8$) e di conseguenza la famiglia di soluzioni dell'omogenea $y=c_1+c_2e^(8x)$.
Ora come trovo una soluzione particolare?

[lordb]

L'equazione differenziale è del tipo:

$f(y'',y',y)=b(x)$ con $b(x)=P(x)*e^(alpha*x)$

${(b(x)=8x),(b(x)=P(x)*e^(alpha*x)):} <=> {(P(x)=8x),(alpha=0):}$

Si ha quindi $deg(P(x))=1$ e $alpha=0=text {autovalore} [ma(alpha)=1]$

Quindi esiste $psi(x)=x^(ma(alpha))*Q(x)*e^(alpha*x) | deg(Q(x))=deg(P(x))=1$ soluzione particolare della non omogenea.

$psi(x)=x*(Ax+B)|A,BinRR$.

[thedarkhero]

Non ho capito cosa significa autovalore$[ma(alpha)=1]$...

[lordb]

$alpha$ è soluzione dell'equazione caratteristica $p(lambda)=0$ (radice del polinomio caratteristico $p(lambda)$) e la sua molteplicità algebrica $ma(alpha)$ è $1$.

[thedarkhero]

Quindi $psi(x)$ è soluzione per ogni A e B oppure solo per A e B opportuni che devo ricavare?

[lordb]

Li devi ricavare, calcolandoti $psi'(x)$,$psi''(x)$ e imponendo: $psi''(x)-8psi'(x)=8x$.

Se ti può servire, un po' di tempo fa postai un certo numero di esempi sulla ricerca di una soluzione particolare per simpatia qui: http://www.matematicamente.it/forum/dubbio-su-risoluzione-eq-differenziale-t99013.html