Equazione differenziale secondo ordine

[peppe29941]

Buonasera,
come si risolve un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti uguagliata ad una costante?
Grazie a chiunque saprà aiutarmi

[mazzarri1]

ciao peppe

facciamo un esempio

***$y''-2y'-3y=6$

devi risolvere prima la omogenea associata

$y''-2y'-3y=0$

studi la caratteristica

$k^2-2k-3=0$

che ha soluzioni

$k_1=3$ e $k_2=-1$

soluzione particolare della omogenea è

$y=C_1e^(-3x)+C_2e^-x$

adesso considera la equazione di partenza ***... sei capace di risolverla se il secondo membro è del tipo

$e^(ax) P(x) cos (bx)$

ed è il tuo caso con $P(x)=6$ e $a=b=0$

adesso è semplice... in questo caso devi aggiungere alla soluzione della omogenea di prima la soluzione particolare che sarà semplicemente

$y_p (x)=A$

cioè una costante che adesso andiamo a determinare

considera la soluzione generale

$y=C_1e^(-3x)+C_2e^-x+A$

deriva questo due volte

$y'=-3C_1e^(-3x)-C_2e^-x$

$y''=9C_1e^(-3x)+C_2e^-x$

sostituisci nella *** e ottieni

$12C_1e^(-3x)-3A=6$

da cui ricavi $A=-2$

e la soluzione generale sarà

$y=C_1e^(-3x)+C_2e^-x-2$

spero di esserti stato d'aiuto ciao!

[peppe29941]

Esattamente quello che mi serviva grazie

Operativamente quindi se il coefficiente della derivata seconda è unitario la costante è il termine noto diviso il coefficiente del termine incognito non derivato

Così si risparmia un mare di tempo nello studio di tanti sistemi elettrici dinamici del 2° ordine.

Grazie mille