Equazione differenziale: riflessione raggi luminosi
Sono autodidatta di analisi e equazioni differenziali.
L'altra volta studiavo a scuola che la parabola riflette paralleli al suo asse i raggi luminosi che passano per il fuoco. Allora ho voluto provare a impostare il problema al contrario, a cercare, cioè, quale curva avesse questa proprietà e sperando di trovare come soluzione la parabola.
Effettivamente sono riuscito a ricavare un'equazione differenziale.
Ve la scrivo nella forma che personalmente preferisco (perché è anche equazione di secondo grado per f'(x))
\(\displaystyle f'(x)^2 + 2\frac{f(x)}{x}f'(x) + 1 = 0 \)
Sono abbastanza sicuro che sia giusta, infatti posso verificare la soluzione
\(\displaystyle f(x) = ax^2 - \frac{1}{4a} \)
Che è appunto la parabola.
Ma io non voglio verificare la soluzione che già conosco, quanto piuttosto ricavarla. Come faccio partendo da questa equazione? Io non ho proprio idea
Grazie mille,
Marco.
L'altra volta studiavo a scuola che la parabola riflette paralleli al suo asse i raggi luminosi che passano per il fuoco. Allora ho voluto provare a impostare il problema al contrario, a cercare, cioè, quale curva avesse questa proprietà e sperando di trovare come soluzione la parabola.
Effettivamente sono riuscito a ricavare un'equazione differenziale.
Ve la scrivo nella forma che personalmente preferisco (perché è anche equazione di secondo grado per f'(x))
\(\displaystyle f'(x)^2 + 2\frac{f(x)}{x}f'(x) + 1 = 0 \)
Sono abbastanza sicuro che sia giusta, infatti posso verificare la soluzione
\(\displaystyle f(x) = ax^2 - \frac{1}{4a} \)
Che è appunto la parabola.
Ma io non voglio verificare la soluzione che già conosco, quanto piuttosto ricavarla. Come faccio partendo da questa equazione? Io non ho proprio idea
Grazie mille,
Marco.
Risposte
Se non erro quell'equazione differenziale è classificabile come una eq.diff. di d'Alembert-Lagrange, ma non mi sembra che quella parabola sia soluzione della stessa.
Intanto, grazie.
Ho fatto un errore di battitura. L'equazione che avevo trovato era questa
\( \displaystyle f'(x)^2 - 2\frac{f(x)}{x}f'(x) - 1 = 0 \)
Avevo provato anche a scriverla in altri modi. Alcuni
\(\displaystyle y' = \frac{y}{x} + \sqrt{(\frac{y}{x})^2 +1} \)
\(\displaystyle xy' = y + \sqrt{y^2 + x^2} \)
\(\displaystyle y = \frac{1}{2}x\frac{(y')^2 - 1}{y'} \)
L'ultima è quella da cui sono partito per seguire il metodo che mi hai consigliato tu e che ho trovato su wikipedia.
L'ho provato un po' a capire a modo mio (soprattutto perché fatico un po' con i simboli du/dx usati come normali frazioni - mai capito)
Ho derivato
\(\displaystyle y' = \frac{1}{2}\frac{(y')^2 - 1}{y'} + \frac{1}{2}x\frac{(y')^2 + 1}{(y')^2}y''\)
Moltiplico per 2, sposto, sommo
\(\displaystyle \frac{(y')^2 + 1}{y'} = x\frac{(y')^2 + 1}{(y')^2}y''\)
\(\displaystyle y' = xy''\)
Poi da qua come continuo? Così?
\(\displaystyle \frac{y''}{y'} = \frac{1}{x}\)
\(\displaystyle y' = Ax\)
\(\displaystyle y = \frac{1}{2}Ax^2 + B = Ax^2 + B\)
E poi, inserendo questa soluzione nell'equazione iniziale, ottengo
\(\displaystyle AB = -\frac{1}{4} \)
Che è la soluzione, la parabola con fuoco nell'origine.
Se mi confermate il procedimento, etichetto come risolto.
Ho fatto un errore di battitura. L'equazione che avevo trovato era questa
\( \displaystyle f'(x)^2 - 2\frac{f(x)}{x}f'(x) - 1 = 0 \)
Avevo provato anche a scriverla in altri modi. Alcuni
\(\displaystyle y' = \frac{y}{x} + \sqrt{(\frac{y}{x})^2 +1} \)
\(\displaystyle xy' = y + \sqrt{y^2 + x^2} \)
\(\displaystyle y = \frac{1}{2}x\frac{(y')^2 - 1}{y'} \)
L'ultima è quella da cui sono partito per seguire il metodo che mi hai consigliato tu e che ho trovato su wikipedia.
L'ho provato un po' a capire a modo mio (soprattutto perché fatico un po' con i simboli du/dx usati come normali frazioni - mai capito)
Ho derivato
\(\displaystyle y' = \frac{1}{2}\frac{(y')^2 - 1}{y'} + \frac{1}{2}x\frac{(y')^2 + 1}{(y')^2}y''\)
Moltiplico per 2, sposto, sommo
\(\displaystyle \frac{(y')^2 + 1}{y'} = x\frac{(y')^2 + 1}{(y')^2}y''\)
\(\displaystyle y' = xy''\)
Poi da qua come continuo? Così?
\(\displaystyle \frac{y''}{y'} = \frac{1}{x}\)
\(\displaystyle y' = Ax\)
\(\displaystyle y = \frac{1}{2}Ax^2 + B = Ax^2 + B\)
E poi, inserendo questa soluzione nell'equazione iniziale, ottengo
\(\displaystyle AB = -\frac{1}{4} \)
Che è la soluzione, la parabola con fuoco nell'origine.
Se mi confermate il procedimento, etichetto come risolto.
Ho provato a rifare lo stesso problema, ma nello spazio, con cose a me sconosciutissime.
Ho ottenuto un'equazione molto simile alla prima, e cioè
\(\displaystyle 2z = \frac{\delta z}{\delta x}x + \frac{\delta z}{\delta y}y - \frac{x^2 + y^2}{ \frac{\delta z}{\delta x}x + \frac{\delta z}{\delta y}y}\)
La soluzione che cerco è infatti
\(\displaystyle z = ax^2 + ay^2 - \frac{1}{4a} \)
Il problema è che io questi strumenti non so usarli... Non saprei proprio da dove partire
Grazie mille
Ho ottenuto un'equazione molto simile alla prima, e cioè
\(\displaystyle 2z = \frac{\delta z}{\delta x}x + \frac{\delta z}{\delta y}y - \frac{x^2 + y^2}{ \frac{\delta z}{\delta x}x + \frac{\delta z}{\delta y}y}\)
La soluzione che cerco è infatti
\(\displaystyle z = ax^2 + ay^2 - \frac{1}{4a} \)
Il problema è che io questi strumenti non so usarli... Non saprei proprio da dove partire
Grazie mille
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