Equazione differenziale primo ordine a coeff non costanti
ciao a tutti, non riesco a capire come devo risolvere questa equazione differenziale:
$y'+y/x= e^x$
$y(1)=0$
ho provato a risolvere prima l'omogenea separando le variabili, e mi viene fuori $ln(y)-ln(y0)=-(ln(x)-ln(x0))$
solo che essendo il punto $1,0$ mi viene fuori $ln0$ , come devo fare?
come determino invece la soluzione particolare?
grazie in anticipo
$y'+y/x= e^x$
$y(1)=0$
ho provato a risolvere prima l'omogenea separando le variabili, e mi viene fuori $ln(y)-ln(y0)=-(ln(x)-ln(x0))$
solo che essendo il punto $1,0$ mi viene fuori $ln0$ , come devo fare?
come determino invece la soluzione particolare?
grazie in anticipo
Risposte
Ciao
per le equazioni del tipo: $y' +a(x)y = f(x)$ conviene usare il metodo di variazione delle costanti.
In pratica hai una formula risolutiva che é la seguente:
$y= e^{-A(x)} \cdot ( \int f(x)e^{A(x)}dx + C )$
dove $A(x) = \int a(x) dx$ senza $+C$
spero di esserti stato di aiuto
se hai dubbi chiedi
Ciao
per le equazioni del tipo: $y' +a(x)y = f(x)$ conviene usare il metodo di variazione delle costanti.
In pratica hai una formula risolutiva che é la seguente:
$y= e^{-A(x)} \cdot ( \int f(x)e^{A(x)}dx + C )$
dove $A(x) = \int a(x) dx$ senza $+C$
spero di esserti stato di aiuto
se hai dubbi chiedi
Ciao
O risolvi con il metodo di variazione delle costanti oppure provi con un cambiamento di variabile (ad esempio [tex]$x=e^t$[/tex]) ovvero moltiplichi per il fattore integrante [tex]$x$[/tex] ed introduci una nuova incognita.
il metodo della variazione delle costanti in realtà mi sembra qualcosa di più complicato.......comunque con questa formula l'esercizio è riuscito, alla fine è molto simile alla formula che si applica in caso di coefficienti costanti..
che dire, grazie mille
che dire, grazie mille
@gugo82:
vero, non avevo pensato a modificare la variabile, comunque secondo la mia logica malata , la variazione delle costanti é di piú rapida soluzione
P.S.: la carta "Chuck Norris" a dir poco fichissima!!!!
vero, non avevo pensato a modificare la variabile, comunque secondo la mia logica malata , la variazione delle costanti é di piú rapida soluzione
P.S.: la carta "Chuck Norris" a dir poco fichissima!!!!
Tanto per segnalare altri modi di procedere.
1. Moltiplicando ambo i membri della EDO per [tex]$x$[/tex] e tenendo presente la regola di derivazione del prodotto si ottiene:
[tex]$\left( xy(x)\right)^\prime =xe^x$[/tex],
dalla quale, integrando membro a membro su [tex]$[1,x]$[/tex] e tenendo presente la condizione iniziale, si trae:
[tex]$[t\ y(t)]_1^x=\int_1^x t e^t\ \text{d} t$[/tex]
ossia:
[tex]$y(x)=\int_1^x t e^t\ \text{d} t=[(t-1)e^t]_1^x=(x-1)e^x$[/tex].
2. Facciamo la sostituzione [tex]$x=e^t$[/tex], ossia [tex]$t=\ln x$[/tex]; posto per comodità [tex]$u(t)=y(e^t)$[/tex] e denotato con il [tex]$\dot{}$[/tex] la derivata rispetto a [tex]$t$[/tex], risulta:
[tex]$\dot{u}(t)= y^\prime(e^t)\ e^t =x\ y^\prime (x)$[/tex],
quindi [tex]$y^\prime =\dot{u}\ \tfrac{1}{x}$[/tex] e la EDO diventa:
[tex]$\dot{u}+u=xe^x=e^{t+e^t}$[/tex],
con la condizione iniziale [tex]$u(0)=0$[/tex], che è una EDO lineare a coefficienti costanti e si risolve con metodi standard.
1. Moltiplicando ambo i membri della EDO per [tex]$x$[/tex] e tenendo presente la regola di derivazione del prodotto si ottiene:
[tex]$\left( xy(x)\right)^\prime =xe^x$[/tex],
dalla quale, integrando membro a membro su [tex]$[1,x]$[/tex] e tenendo presente la condizione iniziale, si trae:
[tex]$[t\ y(t)]_1^x=\int_1^x t e^t\ \text{d} t$[/tex]
ossia:
[tex]$y(x)=\int_1^x t e^t\ \text{d} t=[(t-1)e^t]_1^x=(x-1)e^x$[/tex].
2. Facciamo la sostituzione [tex]$x=e^t$[/tex], ossia [tex]$t=\ln x$[/tex]; posto per comodità [tex]$u(t)=y(e^t)$[/tex] e denotato con il [tex]$\dot{}$[/tex] la derivata rispetto a [tex]$t$[/tex], risulta:
[tex]$\dot{u}(t)= y^\prime(e^t)\ e^t =x\ y^\prime (x)$[/tex],
quindi [tex]$y^\prime =\dot{u}\ \tfrac{1}{x}$[/tex] e la EDO diventa:
[tex]$\dot{u}+u=xe^x=e^{t+e^t}$[/tex],
con la condizione iniziale [tex]$u(0)=0$[/tex], che è una EDO lineare a coefficienti costanti e si risolve con metodi standard.
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