Equazione differenziale oscillatore armonico
Ciao, avrei alcuni dubbi sulle soluzioni della equazione edo: $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
In due corsi distinti ho trovato questi metodi risolutivi e non riesco a capire perché di fatto portino allo stesso risultato, in sostanza non riesco a entrare in profondità del ragionamento. Mi spiego:
1) si mostra che le soluzioni sono del tipo $e^(iomegat)$ ed $e^-(iomegat)$, quindi dice che la soluzione generale sarà: $x(t)=A_+e^(iomegat)+A_-e^(-iomegat)$ (d), siccome il problema da cui scaturiva era fisico voglio che quella somma $in RR$, allora questo è vero sse $A_(-) =-A_+^+$ (g) (^+ intendo notazionalmente il complesso coniugato)
Da questi pongo: $A_+=A_0e^(iphi)$ e ottengo $A_(-)=A_+^+=A_0e^(-iphi)$ quindi:
$A_+e^(iomegat)+A-e^(-iomegat)=A_0(e^(i(omegat+phi))+e^(-i(omegat+phi)))$ da cui non mi dilungo ma chiaramente si ottiene $A_0cos(omegat+phi)$ (ottenere anche il caso seno è facile per semplice fase distinta)
Benissimo.
Io ho sempre visto soluzioni reali per la x(t) anche in analisi (quindi il primo metodo non mi crea dubbio alcuno), però in un altro corso di fisica trovo questa trattazione:
2)
Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.
Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.
Procedo poi su (secondo dubbio): della $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ dice: "prendiamo parte reale e parte immaginaria e otteniamo le soluzioni reali della edo"
Ora $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ prese le due parti ho:
$x_1(t)=x_0'sin(omegat+alpha)$ e $x_2(t)=x_0'cos(omegat+alpha)$ che effettivamente magicamente coincide proprio con la soluione x(t) realea ottenuta al punto (1), però questo onestamente mi stupisce: mentre si là si otteneva il risultato imponendo la condizione (g) (cioè che la somma fosse reale) qui invece la ottengo come mero artificio di escludere parte reale e/o immaginaria dalla soluzione complessa... non mi sembrano ragionamenti assimilabili e invece funziona, ma perché in effetti torna la stessa cosa? Non mi è chiaro.
Sapreste aiutarmi a capire questi due punti dubbi? Grazie
In due corsi distinti ho trovato questi metodi risolutivi e non riesco a capire perché di fatto portino allo stesso risultato, in sostanza non riesco a entrare in profondità del ragionamento. Mi spiego:
1) si mostra che le soluzioni sono del tipo $e^(iomegat)$ ed $e^-(iomegat)$, quindi dice che la soluzione generale sarà: $x(t)=A_+e^(iomegat)+A_-e^(-iomegat)$ (d), siccome il problema da cui scaturiva era fisico voglio che quella somma $in RR$, allora questo è vero sse $A_(-) =-A_+^+$ (g) (^+ intendo notazionalmente il complesso coniugato)
Da questi pongo: $A_+=A_0e^(iphi)$ e ottengo $A_(-)=A_+^+=A_0e^(-iphi)$ quindi:
$A_+e^(iomegat)+A-e^(-iomegat)=A_0(e^(i(omegat+phi))+e^(-i(omegat+phi)))$ da cui non mi dilungo ma chiaramente si ottiene $A_0cos(omegat+phi)$ (ottenere anche il caso seno è facile per semplice fase distinta)
Benissimo.
Io ho sempre visto soluzioni reali per la x(t) anche in analisi (quindi il primo metodo non mi crea dubbio alcuno), però in un altro corso di fisica trovo questa trattazione:
2)
Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.
Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.
Procedo poi su (secondo dubbio): della $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ dice: "prendiamo parte reale e parte immaginaria e otteniamo le soluzioni reali della edo"
Ora $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ prese le due parti ho:
$x_1(t)=x_0'sin(omegat+alpha)$ e $x_2(t)=x_0'cos(omegat+alpha)$ che effettivamente magicamente coincide proprio con la soluione x(t) realea ottenuta al punto (1), però questo onestamente mi stupisce: mentre si là si otteneva il risultato imponendo la condizione (g) (cioè che la somma fosse reale) qui invece la ottengo come mero artificio di escludere parte reale e/o immaginaria dalla soluzione complessa... non mi sembrano ragionamenti assimilabili e invece funziona, ma perché in effetti torna la stessa cosa? Non mi è chiaro.
Sapreste aiutarmi a capire questi due punti dubbi? Grazie
Risposte
@noodles
Ah ok, ora ho capito cosa intendevi. In realtà non ci avevo pensato ed è comunque un utile intervento perché non l'avevo manco considerato XD.
In realtà credo il professore volesse dire che dato che ho due parametri liberi in qualche modo quella segnalata è una soluzione generale che ci attendiamo avere due parametri liberi appunto.
Pero il problema che non capisco è quello segnalato nell'ultimo messaggio a pilloeffe e nella pagina precedente in vari messaggi, perché non riesco davvero a comprendere le parti che dicevo:
è più che altro questo che non mi torna.
Ah ok, ora ho capito cosa intendevi. In realtà non ci avevo pensato ed è comunque un utile intervento perché non l'avevo manco considerato XD.
In realtà credo il professore volesse dire che dato che ho due parametri liberi in qualche modo quella segnalata è una soluzione generale che ci attendiamo avere due parametri liberi appunto.
Pero il problema che non capisco è quello segnalato nell'ultimo messaggio a pilloeffe e nella pagina precedente in vari messaggi, perché non riesco davvero a comprendere le parti che dicevo:
è più che altro questo che non mi torna.
"l'oscilloscopio":
per soluzione generale complessa intendevo la funzione phi che renda vera l'uguaglianza https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html cioè la soluzione che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.
Quel link che ti ha scritto ingres casomai è ad ulteriore riprova di ciò che ti ho già scritto e cioè che se una funzione complessa $\phi(x)$ è soluzione di un'equazione differenziale lineare sono soluzioni anche la sua parte reale e la sua parte immaginaria: non c'è scritto da nessuna parte che $\phi(x)$ è la somma di due funzioni complesse $\phi_1(x)$ e $\phi_2(x)$ tipo $x_1(t) $ e $x_2(t) $, perché infatti non è così: $\phi(x)$ è $x_1(t) $ oppure $x_2(t) $. Questo è il vantaggio di fare uso di soluzioni complesse. Capisco che possa stupire, ma è così: non c'è alcuna soluzione generale complessa
"l'oscilloscopio":
che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.
Esatto, due parametri: d'altronde se ne avessi tre o quattro, cosa mai potresti fartene dei parametri eccedenti i due?
Poi naturalmente è vero che la somma di soluzioni è ancora soluzione, ma questa è una proprietà generale delle equazioni differenziali lineari omogenee.
Sì, ma credo la mia domanda sia stata invertita nel senso: io non volevo chiedere questo: "non c'è scritto da nessuna parte che ϕ(x) è la somma di due funzioni complesse ϕ1(x) e ϕ2(x)"
Piuttosto la domanda era questa: quando risolvo in modo classico (senza introdurre soluzioni complesse) l'equazione e trovo le funzioni reali soluzioni in genere trovo che possono essere di due tipo:
$x_1(t)=Asinomegat$ and $x_2(t)=Acosomegat$
Prese singolarmente x1 e x2 non sono ancora la soluzione GENERALE, è solo combinandole che lo diventano introducendo appunto quei due parametri "liberi" che di solito fisseremo con un problema di cauchy
(fin qui credo che siamo tutti d'accordo, no?)
Bene, a questo punto dicevo: se introduco una trattazione con ipotetica funzione soluzione anche complessa: $ϕ=x(t) in CC$ quel che succede è che ci troveremo, al pari del caso reale, due soluzioni (per l'equazione in esame $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$):
$x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ and $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ (complesse dato che accettiamo le complesse ora).
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Perché c'è questa differenza con il caso reale? Ossia che basta una delle due soluzioni per avere la "soluzione generale complessa", quando nel caso reale invece ne devo combinare due? Questa era la domanda
Piuttosto la domanda era questa: quando risolvo in modo classico (senza introdurre soluzioni complesse) l'equazione e trovo le funzioni reali soluzioni in genere trovo che possono essere di due tipo:
$x_1(t)=Asinomegat$ and $x_2(t)=Acosomegat$
Prese singolarmente x1 e x2 non sono ancora la soluzione GENERALE, è solo combinandole che lo diventano introducendo appunto quei due parametri "liberi" che di solito fisseremo con un problema di cauchy
(fin qui credo che siamo tutti d'accordo, no?)
Bene, a questo punto dicevo: se introduco una trattazione con ipotetica funzione soluzione anche complessa: $ϕ=x(t) in CC$ quel che succede è che ci troveremo, al pari del caso reale, due soluzioni (per l'equazione in esame $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$):
$x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ and $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ (complesse dato che accettiamo le complesse ora).
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Perché c'è questa differenza con il caso reale? Ossia che basta una delle due soluzioni per avere la "soluzione generale complessa", quando nel caso reale invece ne devo combinare due? Questa era la domanda
"l'oscilloscopio":
Bene, a questo punto dicevo: se introduco una trattazione con ipotetica funzione soluzione anche complessa: $ϕ=x(t) in CC$ quel che succede è che ci troveremo, al pari del caso reale, due soluzioni (per l'equazione in esame $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$):
$x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ and $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ (complesse dato che accettiamo le complesse ora).
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Perché c'è questa differenza con il caso reale? Ossia che basta una delle due soluzioni per avere la "soluzione generale complessa", quando nel caso reale invece ne devo combinare due? Questa era la domanda
Non vorrei sia poco chiara una cosa, in questa seconda parte con $x_1(t)$ e $x_2(t)$ intendo le funzioni soluzione complesse non vorrei si pensi x(t) intenda reale, forse è qui la confusione $ϕ=x(t) in CC$
Sia chiaro
"l'oscilloscopio":
Sì, ma credo la mia domanda sia stata invertita nel senso: io non volevo chiedere questo: "non c'è scritto da nessuna parte che ϕ(x) è la somma di due funzioni complesse ϕ1(x) e ϕ2(x)"
Eh, ma allora non puoi usare il link che ti ha scritto ingres per spiegare quanto
"pilloeffe":
cosa intendi per soluzione generale complessa di un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale
Quindi non l'hai ancora spiegato.
"l'oscilloscopio":
$x_1(t)=Asin(\omega t)$ and $x_2(t)=Acos(\omega t) $
No, $x_1(t)=Asin(\omega t)$ e $x_2(t)=Bcos(\omega t) $ oppure $x_1(t)=Bsin(\omega t)$ e $x_2(t)=Acos(\omega t) $: i parametri devono sempre essere due, perché solo così in un problema di Cauchy ottieni il sistema
${(x(0) = B),(x'(0) = \omega A):} $
oppure il sistema
${(x(0) = A),(x'(0) = \omega B):} $
"l'oscilloscopio":
mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro.
Ancora devi spiegarmi che cosa intendi per soluzione generale complessa di un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale.
"l'oscilloscopio":
E invece no, magia, non c'è bisogno
La magia, se così la vogliamo chiamare, è dovuta al fatto che stai usando funzioni complesse $f : \RR \rightarrow \CC $ (e in $\CC $ ogni numero complesso $z = x + i y = A(cos \alpha + i sin\alpha) = A e^{i \alpha}$ è già di per sè individuato dai due numeri reali $x$ e $y$ o $A$ e $\alpha$) per risolvere un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale, sicché l'idea è che alla fine si prendano la parte reale ($\in \RR $) o la parte immaginaria ($\in \RR $) della soluzione in $\CC $, che sono anch'esse soluzioni (e qui sì che possiamo usare quanto riportato nel link che ti ha già mostrato ingres). Quanto alla somma delle soluzioni complesse ti ho già dimostrato che se si vuole pervenire al caso reale, che poi alla fine è quello che interessa, occorrono condizioni sulle costanti (che ti ha mostrato anche Noodles) per arrivare ad avere due e solo due parametri $A$ e $B$ per la soluzione $Asin(\omega t) + B cos(\omega t)$ o $A$ e $\alpha $ se la scriviamo nelle forme equivalenti $Asin(\omega t + \alpha) $ o $Acos(\omega t + \alpha) $ che sono le stesse che si ottengono prendendo la parte reale o la parte immaginaria di ognuna delle due soluzioni complesse $x_1(t) $ o $x_2(t) $
"l'oscilloscopio":
$x_1(t)=Asin(\omega t)$ and $x_2(t)=Acos(\omega t) $
No,
Ho semplicemente fatto un typo, voleva essere ovviamente un B!
Per il resto...
In realtà il problema nel "passaggio al reale" come ripeto da più volte non mi crea problemi: l'ho capito e ho capito che avendo due parametri e due funzioni linearmente indipendenti: sin, cos (di parte reale e complessa, che sono reali) è evidente che ho la soluzione generale reale. E questi parametri come fai notare ci vengono "a gratis" dalla trattazione complessa... tutto chiaro, ripeto.
Il problema è un altro.
Io parlo puramente della soluzione generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.
Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]
Cosa intendo quindi per soluzione generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.
Da qui la domanda:
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.
Ti ringrazio
@ l'oscilloscopio
Nel mio primo messaggio avevo già riportato l'integrale generale complesso:
mediante il quale risolvere il problema di Cauchy nel caso in cui la funzione di variabile reale sia a valori complessi:
Ad ogni modo, non ho ancora capito che cosa non ti torni dei contenuti che avevo esposto. Insomma, mi sembrava di aver colto il punto che ponevi e di essere stato sufficientemente esaustivo. Se può servire ribadirlo, l'integrale generale complesso non è:
non è:
è:
Nel mio primo messaggio avevo già riportato l'integrale generale complesso:
$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC]$
$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$
mediante il quale risolvere il problema di Cauchy nel caso in cui la funzione di variabile reale sia a valori complessi:
$[\alpha in CC] ^^ [\beta in CC]$
$[x(t_0)=\alpha] ^^ [dotx(t_0)=\beta]$
Ad ogni modo, non ho ancora capito che cosa non ti torni dei contenuti che avevo esposto. Insomma, mi sembrava di aver colto il punto che ponevi e di essere stato sufficientemente esaustivo. Se può servire ribadirlo, l'integrale generale complesso non è:
$c_1 in CC$
$x_1(t)=c_1*e^(-i\omegat)$
non è:
$c_2 in CC$
$x_2(t)=c_2*e^(i\omegat)$
è:
$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC]$
$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$
"Noodles":
è:
$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC]$
$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$
Sì, esattamente, coglie nel segno. Però continuo a non capire cosa volesse dirmi pilloeffe e quindi avevo chiesto ulteriori spiegazioni, poiché:
1) mi pare non fosse d'accordo che la sol. generale complessa fosse somma delle due x1 e x2 (proprio come nel caso reale)
2) non condividesse il concetto di soluzione/integrale generale complesso.
Ma non capisco perché.
Il tutto era coadiuvato dalla frase del prof che diceva che c'erano due parametri liberi in $x_1(t)=c_1*e^(-i\omegat)$ riscritta come $x_1(t)=b*e^(-i(omegat+alpha)), b in RR$ e che quindi era soluzione generale (ma mi sembra che anche tu smentisci), quando invece secondo me: $x_2(t)=c_2*e^(i\omegat)$ non contiene già x1, ma come dici tu deve essere la combinazione lineare di x1+x2.
Cioè insomma, la tua risposta, se ho ben compreso, sembra dar ragione ai miei dubbi!
Che qualcosa non tornava era stato scritto all'inizio del mio primo messaggio:
Vero è che "verba volant, scripta manent". Sul resto, mi trovi d'accordo su tutto.
"l'oscilloscopio":
$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
... il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
"Noodles":
Se hai riportato fedelmente quello che ha detto il docente, l'affermazione non ha senso. Del resto, la famiglia di soluzioni complesse:
$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
non può essere, nel senso letterale, la famiglia di soluzioni reali solo perchè entrambe dipendono da due costanti arbitrarie reali. Anche se il docente intendeva riferirsi alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente, avrebbe dovuto argomentare diversamente.
Vero è che "verba volant, scripta manent". Sul resto, mi trovi d'accordo su tutto.
Sì, è esatto, anche li mi sembrava mi dessi ragione ma non ero certo di aver capito. Mentre ora mi pare chiaro che sia così. Rimane comunque in me il dubbio di non aver capito (come scritto nel precedente) pilloeffe, dato che anche tu condividi (sempre se non ti ho mal interpretato).
"l'oscilloscopio":
Il problema è un altro.
Io parlo puramente della soluzione generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.
Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]
Cosa intendo quindi per soluzione generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.
Da qui la domanda:
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.
Vedo un po' di confusione:
a)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in RR$
ha una soluzione con due parametri liberi reali .
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +A^\star e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $a$ e $b$ di $A = a+ib \in CC$
b)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in CC$
ha sempre una soluzione con due parametri liberi complessi.
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +B e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $A, B \in CC$.
Siccome un numero complesso puo' essere pensato come avente due parametri reali, possiamo dire che la soluzione ha due parametri liberi complessi oppure 4 parametri liberi reali. E' questione di gusti.
La soluzione $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ non e' generica ne' nel campo complesso, ne' nel campo reale (non vi appartiene addirittura).
Per vedere che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ NON E' una soluzione generica, si provi a impostare $x_0$ e $\alpha$ in modo da fare $x_0'e^(-i(omegat+alpha)) = e^(i omega t)$. Non ci si riesce.
Viceversa con la soluzione che ho scritto prima, basta mettere $A = 1$ e $B = 0$. Semplicissimo.
Il Prof. dice che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ e' gia una soluzione generica perche' lui ha gia' in mente di passare al campo reale, siccome l'oscillatore fisico prende valori solo nel campo reale, e lo fara' con l'operazione
$"Re" {x_0'e^(-i(omegat+alpha))}$.
Non lo dice esplicitamente, ma ce l'ha in testa e lo da per scontato. Ecco da dove nasce la confusione.
Quindi, siccome nel campo reale gli sono sufficienti due parametri liberi, puo' usare quella soluzione come soluzione generale.Si tratta solo di fare qualche passaggio algebrico per andare da una forma all'altra, ma nella sostanza sono la stessa cosa.
"l'oscilloscopio":
coadiuvato dalla frase del prof che diceva che c'erano due parametri liberi in $x_1(t)=c_1⋅e^{- i\omega t} $ riscritta come $x_1(t) = b⋅e^{- i(\omega t + \alpha)}$, $b \in \RR $ e che quindi era soluzione generale
Dai, non ci credo (oddio, tutto può essere, la mano sul fuoco non ce la metto...
), avrà detto (mi auguro) che da quella si può ottenere la soluzione generale reale dell'EDO proposta, il che è vero!"l'oscilloscopio":
1) mi pare non fosse d'accordo che la sol. generale complessa fosse somma delle due x1 e x2 (proprio come nel caso reale)
2) non condividesse il concetto di soluzione/integrale generale complesso.
Non è che non sono d'accordo sulla soluzione generale complessa, ma guarda cosa
"Noodles":
integrale generale complesso:
$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC] $
$x(t)=c_1*e^(-i\omega t)+c_2*e^(i\omega t) $
mediante il quale risolvere il problema di Cauchy nel caso in cui la funzione di variabile reale sia a valori complessi:
$[\alpha in CC] ^^ [\beta in CC] $
$[x(t_0)=\alpha] ^^ [\dot x(t_0)=\beta] $
Stai cercando questo? Tu hai qualcosa tipo $\alpha \in \CC $ o $\beta \in \CC$? Non mi pare. Stai cercando la soluzione generale reale $x(t) $ dell'EDO reale iniziale. Oppure ho capito male? La puoi ottenere dalla soluzione generale complessa? Ovviamente sì, ma è necessario imporre delle condizioni sulle costanti complesse, come ti abbiamo già fatto vedere. Questo c'era scritto chiaramente anche qui, uno dei thread dei link che ti ho postato inizialmente. In pratica per ottenere la soluzione generale reale a partire dalla soluzione generale complessa (ricorda che ogni numero complesso $z=x+iy=A(cos\alpha+isin\alpha)=Ae^{i\alpha}$ è già di per sè caratterizzato dai due numeri reali $x$ e $y$ o $A$ e $\alpha$, quindi da $ x_1 + x_2 $ se ne otterrebbero 4...) è necessario ridurre fino a due i parametri reali, altrimenti non ce la facciamo ad ottenere la soluzione generale reale. Siccome due parametri reali sono già presenti in ognuna delle due soluzioni complesse $x_1(t) $ e $x_2(t) $ anche da ognuna di queste possiamo ricavare la soluzione generale reale dell'EDO reale proposta. Capisco anche che la cosa possa sorprendere, ma è così...
Ripeto in forma ancora piu' schematica perche' mi sembra che la confusione aumenti invece che dissiparsi.
L'equazione differenziale a) (vedi sotto) a valori reali, puo' essere risolta considerando la stessa equazione nel campo dei complessi b), prendendo la soluzione complessa e facendo questa operazione:
$"Re" {x(t)}$.
Questa operazione e' FONDAMENTALE, e purtroppo viene data per scontata, e se non se ne tiene conto, non ci si capisce nulla.
Siccome nel campo reale bastano 2 parametri reali liberi, la soluzione complessa $x(t)$ puo' essere anche ricavata da $x(t) = A e^(i\omega t)$.
Non c'e' bisogno della soluzione completa $x(t) = A e^(i\omega t) + B e^(-i\omega t)$, perche' servono solo 2 parametri reali liberi, quindi un numero complesso che ha 2 parametri reali liberi e' gia' sufficiente.
Ripeto: questa operazione ($"Re" {x(t)}$) e' fondamentale e bisogna sempre averla chiara, altrimenti non ci si capisce nulla e la confusione regna sovrana.
a)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in RR$
ha una soluzione con due parametri liberi reali .
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +A^\star e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $a$ e $b$ di $A = a+ib \in CC$
b)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in CC$
ha sempre una soluzione con due parametri liberi complessi.
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +B e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $A, B \in CC$.
Siccome un numero complesso puo' essere pensato come avente due parametri reali, possiamo dire che la soluzione ha due parametri liberi complessi oppure 4 parametri liberi reali. E' questione di gusti.
L'equazione differenziale a) (vedi sotto) a valori reali, puo' essere risolta considerando la stessa equazione nel campo dei complessi b), prendendo la soluzione complessa e facendo questa operazione:
$"Re" {x(t)}$.
Questa operazione e' FONDAMENTALE, e purtroppo viene data per scontata, e se non se ne tiene conto, non ci si capisce nulla.
Siccome nel campo reale bastano 2 parametri reali liberi, la soluzione complessa $x(t)$ puo' essere anche ricavata da $x(t) = A e^(i\omega t)$.
Non c'e' bisogno della soluzione completa $x(t) = A e^(i\omega t) + B e^(-i\omega t)$, perche' servono solo 2 parametri reali liberi, quindi un numero complesso che ha 2 parametri reali liberi e' gia' sufficiente.
Ripeto: questa operazione ($"Re" {x(t)}$) e' fondamentale e bisogna sempre averla chiara, altrimenti non ci si capisce nulla e la confusione regna sovrana.
a)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in RR$
ha una soluzione con due parametri liberi reali .
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +A^\star e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $a$ e $b$ di $A = a+ib \in CC$
b)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in CC$
ha sempre una soluzione con due parametri liberi complessi.
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +B e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $A, B \in CC$.
Siccome un numero complesso puo' essere pensato come avente due parametri reali, possiamo dire che la soluzione ha due parametri liberi complessi oppure 4 parametri liberi reali. E' questione di gusti.
Mi correggo, $\omega^2 \in RR >0 $ sempre, prima ho scritto che puo' appartenere ai complessi.
Ringrazio tutti e direi che ora ci siamo, leggendo la risposta di quinzio (la prima di questa pagina in ordine cronologico) ha afferrato il mio dubbio che era nel punto b)
Invece secondo me pilloeffe, data la sua esperienza sui dubbi altrui, sicuramente ha pensato mi arenassi al passaggio di prendere la parte reale o immaginaria di quella espressione soluzione x1 o x2. Ma in realtà paradossalmente quella mi era chiara.
Tutto il dubbio nasceva su una mal interpretazione, come dite voi, dell'idea del prof. secondo me lui parlava già della soluzione reale (con due parametri liberi) mentre io avevo mal interpretato e non capivo e dicevo ma nel caso complesso non ne bastano due, servono 4 inoltre come nel mio quote da x1 in C non trovo l'altra soluzione x2 sempre in C.
Insomma il malinteso era quello, una sciocchezza ma che non portava proprio a comprensione.
Che poi, invece, per tornare alle soluzioni reali basti solo la $x_1 in CC$ è per il motivo che diceva ingres, credo:
se prendo parte reale e immaginaria della $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ mi dà seno e coseno e sono già le due soluzioni cercate perché sono linearmente indipendenti e sarebbero sempre gli stesi seni e coseni che troverei prendendo parte reale e immaginaria dell'altra soluzione x2 $e^(i*omega*t)$. Quindi perché fare doppia fatica, basta $x_1$!
Insomma direi che ora tutto torna.
Per vedere che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ NON E' una soluzione generica, si provi a impostare $x_0$ e $\alpha$ in modo da fare $x_0'e^(-i(omegat+alpha)) = e^(i omega t)$. Non ci si riesce.
Invece secondo me pilloeffe, data la sua esperienza sui dubbi altrui, sicuramente ha pensato mi arenassi al passaggio di prendere la parte reale o immaginaria di quella espressione soluzione x1 o x2. Ma in realtà paradossalmente quella mi era chiara.
Tutto il dubbio nasceva su una mal interpretazione, come dite voi, dell'idea del prof. secondo me lui parlava già della soluzione reale (con due parametri liberi) mentre io avevo mal interpretato e non capivo e dicevo ma nel caso complesso non ne bastano due, servono 4 inoltre come nel mio quote da x1 in C non trovo l'altra soluzione x2 sempre in C.
Insomma il malinteso era quello, una sciocchezza ma che non portava proprio a comprensione.
Che poi, invece, per tornare alle soluzioni reali basti solo la $x_1 in CC$ è per il motivo che diceva ingres, credo:
se prendo parte reale e immaginaria della $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ mi dà seno e coseno e sono già le due soluzioni cercate perché sono linearmente indipendenti e sarebbero sempre gli stesi seni e coseni che troverei prendendo parte reale e immaginaria dell'altra soluzione x2 $e^(i*omega*t)$. Quindi perché fare doppia fatica, basta $x_1$!
Insomma direi che ora tutto torna.
Ciao, mi registro perché con google cercavo una soluzione al mio dubbio e sono incappato su questa discussione di questo vs forum. Ho provato in realtà a scrivere in fisica ma non ho ricevuto risposte e permanendo il mio dubbio ho pensato che forse sarebbe meglio continuare qui essendo una domanda per @ingres (o chiunque partecipi)
Volevo aggiungere una domanda a quella già ben spiegata qui, nella separazione di variabili per risolvere l'equazione delle onde (in senso generale e non con fronte d'onda piano) si utilizza proprio la soluzione temporale del tipo complesso da voi scritto.
Faccio un po' di ordine e notazioni: la soluzione generale f(x,y,z,t) dell'equazione delle onde ◻f=0, si ottiene separando le variabili spaziali e temporali: $f=X(x)Y(y)Z(z)xi(t)=psi(vecr)xi(t)$
ora, $xi(t)=A_0e^(+-i(omegat+a))$ (*) da voi già espressa con omega la costante di separazione è la parte temporale.
La parte spaziale imponendo altre 3 costanti di separazione di variabili $alpha, beta, gamma$ ho: $psi=psi_0e^(i(veck*vecr))$
mettendole assieme dovrei secondo il prof ottenere: $f_(alfa,beta,gamma,omega)=f_0e^(i(veck*vecr)-omegat)$
E qui due dubbi:
1) la parte $-omegat$ manca del termine $a$ di fase presente in (*) -cioè il caso più genrrale- perché? non dovrei avere anche quello a exp.
2) la seconda domanda è perché abbia usato il termine "-"(omega*t), in teoria anche la parte con il + era utile.
Come diceva @ingres a livello di soluzione temporale
non importa se prendo $e^-$ o $e^+$, tuttavia qui la scelta conta perché ho una onda regressiva o progressiva a seconda del segno, quindi mi stupisce: la soluzione per la parte temporale non ci importa se abbiamo un segno + o - tanto è lo stesso risultato abbiamo detto. Però poi conta nella scelta per l'equazione delle onde quindi esprime concetti diversi dopotutto dato che mi porta a regressiva e progressiva.
Come si aggiusta questo fatto? Che quella che è di fatto una stessa soluzione poi porta a due?
grazie
Volevo aggiungere una domanda a quella già ben spiegata qui, nella separazione di variabili per risolvere l'equazione delle onde (in senso generale e non con fronte d'onda piano) si utilizza proprio la soluzione temporale del tipo complesso da voi scritto.
Faccio un po' di ordine e notazioni: la soluzione generale f(x,y,z,t) dell'equazione delle onde ◻f=0, si ottiene separando le variabili spaziali e temporali: $f=X(x)Y(y)Z(z)xi(t)=psi(vecr)xi(t)$
ora, $xi(t)=A_0e^(+-i(omegat+a))$ (*) da voi già espressa con omega la costante di separazione è la parte temporale.
La parte spaziale imponendo altre 3 costanti di separazione di variabili $alpha, beta, gamma$ ho: $psi=psi_0e^(i(veck*vecr))$
mettendole assieme dovrei secondo il prof ottenere: $f_(alfa,beta,gamma,omega)=f_0e^(i(veck*vecr)-omegat)$
E qui due dubbi:
1) la parte $-omegat$ manca del termine $a$ di fase presente in (*) -cioè il caso più genrrale- perché? non dovrei avere anche quello a exp.
2) la seconda domanda è perché abbia usato il termine "-"(omega*t), in teoria anche la parte con il + era utile.
Come diceva @ingres a livello di soluzione temporale
In quest'ottica considerare anche $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ non avrebbe aggiunto nulla perchè avrei ottenuto le stesse 2 funzioni (per l'arbitrarietà delle costanti che abbia $sin(omega t)$ oppure $- sin(omega t)$ è indifferente)
non importa se prendo $e^-$ o $e^+$, tuttavia qui la scelta conta perché ho una onda regressiva o progressiva a seconda del segno, quindi mi stupisce: la soluzione per la parte temporale non ci importa se abbiamo un segno + o - tanto è lo stesso risultato abbiamo detto. Però poi conta nella scelta per l'equazione delle onde quindi esprime concetti diversi dopotutto dato che mi porta a regressiva e progressiva.
Come si aggiusta questo fatto? Che quella che è di fatto una stessa soluzione poi porta a due?
grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo