Equazione differenziale lineare primo ordine
Considero l'equazione differenziale lineare del primo ordine $y'=ycosx/(1+sinx)$.
Deve essere $1+sinx!=0$ dunque $x!=3/2pi+2kpi$, $k\inZZ$.
Divido per $y$ e ottengo $(y')/y=cosx/(1+sinx)$ (facendo questa operazione non sto scartando a priori il caso $y-=0$, che in questo caso è tra l'altro una soluzione dell'equazione differenziale?).
Ora integro entrambi i membri sull'intervallo $[x_0,x]$ con $x,x_0\in]3/2pi+2kpi,3/2pi+2(k+1)pi[$, $k\inZZ$ ed ottengo $logy=log(1+sinx)+d$ con $d\inRR$ da cui $y=c(1+sinx)$ con $c\inRR$.
Dunque la soluzione sarà $y(x)={(c_i(1+sinx),if x\in]3/2pi+2kpi,3/2pi+2(k+1)pi[),(0,if x=3/2pi+2kpi):}$ (non so perchè ma non riesco a scriverla in maniera decente) in quanto $lim_(x->3/2pi+2kpi)y(x)=0$ (posso estendere la soluzione per continuità) e dunque la soluzione è di classe $C^1(RR)$.
In conclusione ho infinite soluzioni $C^1(RR)$ dipendenti da infiniti parametri $c_i$, $i\inZZ$.
Mi date conferma?
Deve essere $1+sinx!=0$ dunque $x!=3/2pi+2kpi$, $k\inZZ$.
Divido per $y$ e ottengo $(y')/y=cosx/(1+sinx)$ (facendo questa operazione non sto scartando a priori il caso $y-=0$, che in questo caso è tra l'altro una soluzione dell'equazione differenziale?).
Ora integro entrambi i membri sull'intervallo $[x_0,x]$ con $x,x_0\in]3/2pi+2kpi,3/2pi+2(k+1)pi[$, $k\inZZ$ ed ottengo $logy=log(1+sinx)+d$ con $d\inRR$ da cui $y=c(1+sinx)$ con $c\inRR$.
Dunque la soluzione sarà $y(x)={(c_i(1+sinx),if x\in]3/2pi+2kpi,3/2pi+2(k+1)pi[),(0,if x=3/2pi+2kpi):}$ (non so perchè ma non riesco a scriverla in maniera decente) in quanto $lim_(x->3/2pi+2kpi)y(x)=0$ (posso estendere la soluzione per continuità) e dunque la soluzione è di classe $C^1(RR)$.
In conclusione ho infinite soluzioni $C^1(RR)$ dipendenti da infiniti parametri $c_i$, $i\inZZ$.
Mi date conferma?
Risposte
$(y')/y=cos(x)/(1+sin(x))$
$=>int(dy)/y=int cos(x)/(1+sin(x))dx$
$=>ln(y)=ln(1+sin(x))+d$
$=>y=(1+sin(x)) cdot e^d=(1+sin(x)) cdot c$ con $c=e^d>0$
$=>int(dy)/y=int cos(x)/(1+sin(x))dx$
$=>ln(y)=ln(1+sin(x))+d$
$=>y=(1+sin(x)) cdot e^d=(1+sin(x)) cdot c$ con $c=e^d>0$
Dunque non mi preoccupo in generale delle condizioni su $x$? In questo caso pensavo di doverla escludere dal dominio.
E riguardo alla soluzione identicamente nulla? Nella tua famiglia di soluzioni questa non compare.
E riguardo alla soluzione identicamente nulla? Nella tua famiglia di soluzioni questa non compare.
"thedarkhero":
[...] facendo questa operazione non sto scartando a priori il caso $y-=0$, che in questo caso è tra l'altro una soluzione dell'equazione differenziale? [...]
Faccio solo una piccola osservazione a margine, ma che mi pare pertinente: di solito le soluzioni costanti si trovano/considerano "a parte".
Ok grazie, allora considero risolta la questione delle soluzioni costanti.
Ma riguardo il fatto che $x$ debba essere non nulla?
Ma riguardo il fatto che $x$ debba essere non nulla?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo