Equazione differenziale lineare di secondo ordine con esponenziale

[elettronica.90]

Salve a tutti.. Ho un dubbio con la seguente equazione differenziale lineare:
$y''-3y'=e^(3x)-2$
Ho risolto l'equazione omogenea associata e come risultato ottengo: $y_0(x)=c_1+c_2e^(3x)$.
Mi viene poi richiesto di trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale e usando il metodo di somiglianza ottengo questo risultato: $\bar y(x)=c_1+c_2e^(3x)+(x^2e^(3x))/(2+6x)+(2x)/3$. Secondo voi è corretto?
Vi ringrazio in anticipo dell'aiuto

[spugna2]

Premesso che sono un po' arrugginito con le equazioni differenziali e che non conosco (o forse non ricordo) il metodo da te citato, a me viene un risultato diverso:

Risolvo separatamente $y''-3y'=e^{3x}$ e $y''-3y'=-2$ (basta trovare per entrambe una soluzione particolare): per la prima pongo $y'=z e^{3x}$ e trovo $y=(x/3-1/9)e^{3x}$, mentre per la seconda $y=2/3 x$ (imponendo che sia un polinomio). Ora basta sommare queste due soluzioni e quella dell'equazione omogenea:

$y=c_1+c_2 e^{3x}+(x/3-1/9)e^{3x}+2/3 x=c_1+c_3 e^{3x}+x/3 e^{3x}+2/3 x$.

[elettronica.90]

Grazie per l'aiuto E' lo stesso metodo che hai usato tu.
Per la seconda parte dell'equazione, impongo che la soluzione particolare sia un polinomio e come risultato mi esce $(2x)/3$.
Riguardo invece la prima parte, quella dell'esponenziale, non riesco a calcolarla...

[ciampax]

Giusto per suggerire un metodo ulteriore: ponendo $z=y'$ si ottiene l'equazione del primo ordine
$$z'-3z=e^{3x}-2$$
che si può riscrivere come
$$(z e^{-3x})'=1-2e^{-3x}$$
da cui integrando
$$z e^{-3x}=x+\frac{2}{3}e^{-3x}+c_1$$
e in definitiva
$$z(x)=x e^{3x}+\frac{2}{3}+c_1 e^{3x}=(x+c_1)e^{3x}+\frac{2}{3}$$
Infine, integrando quest'ultima si ha (operando una integrazione per parti)
$$y(x)=\frac{1}{3}(x+c_1) e^{3x}-\frac{1}{9} e^{3x}+\frac{2}{3} x+c_2=\frac{1}{3}(x+c_3)e^{3x}+\frac{2}{3} x$$
dove $c_3=c_1-1/3$