Equazione differenziale di Bernoulli

[alessanfra]

Salve ragazzi e buon natale,

Qualcuno può spiegarmi come si risolve un'equ. differenziale di Bernoulli?
e magari ank cm si riconosce

Ad esempio questa, sempre se è un'equ. di Bernuolli (non ne sono proprio sicuro), come si risolve:

[math]y'+xy=xsen(x^2)[/math]

perchè la prof le mette sul compito d'esame ma non le ha spiegate

vi ringrazio!!

[ciampax]

L'equazione che hai postato è lineare, per ché della forma

[math]y'+a(x)\cdot y=b(x)[/math]

dove

[math]a(x),\ b(x)[/math]

sono due funzioni. Per risolvere tale equazione, si procede applicando la seguente formula risolutiva

[math]y=e^{-A(x)}\left[\int b(x)\cdot e^{A(x)}\ dx+c\right][/math]

dove

[math]A(x)=\int a(x)\ dx[/math]

e

[math]c\in\mathbb{R}[/math]

è una costante arbitraria.

In questo caso

[math]a(x)=x,\ b(x)=x\sin(x^2)[/math]

e pertanto

[math]A(x)=\int x\ dx=\frac{x^2}{2}[/math]

da cui

[math]\int x\sin(x^2)\ cdot e^{x^2/2}\ dx=[/math]

posto

[math]x^2/2=t\ \Rightarrow\ x^2=2t\ \Rightarrow\ 2x\ dx=2\ dt[/math]

[math]=\int sin(2t ) \cdot e^t\ dt=[/math]

integrando per parti

[math]=\sin(2t)\cdot e^t-2\int e^t\cos(2t)\ dt=\\
=e^t\sin(2t)-2e^t\cos(2t)-4\int e^t\sin(2t)\ dt[/math]

e pertanto

[math]5\int e^t\sin(2t)\ dt=e^t(\sin(2t)-2\cos(2t))[/math]

da cui

[math]\int x\sin(x^2) e^{x^2/2}\ dx=\frac{e^{x^2/2}}{5}\left[\sin(x^2)-2\cos(x^2)\right][/math]

La soluzione pertanto diventa

[math]y=e^{-x^2/2}\left[\frac{e^{x^2/2}}{5}\left[\sin(x^2)-2\cos(x^2)\right]+c\right]=\\ \frac{1}{5}\left[\sin(x^2)-2\cos(x^2)\right]+c\ e^{-x^2/2}[/math]

Le equazioni di Bernoulli sono quelle della forma

[math]y'+a(x)\cdot y=b(x)\cdot y^\alpha[/math]

con

[math]\alpha\not= 0,\ \alpha\not= 1[/math]

Per risolverla, si pone

[math]z(x)=y(x)^{1-\alpha}[/math]

, cosicché

[math]z'=(1-\alpha) y^{-\alpha} y'=(1-\alpha)y^{-\alpha}(by^\alpha-ay)=\\ (1-\alpha)(b-ay^{1-\alpha})=(1-\alpha)(b-az)[/math]

e quindi

[math]z'+(1-\alpha)a z=(1-\alpha)b[/math]

che è lineare.