Equazione differenziale del secondo ordine
Avrei bisogno di un aiuto su un esercizio di calcolo di equazione differenziale del secondo ordine, ecco il testo:
Risolvere l'equazione $y''+9y=3x senx$ con le condizioni iniziali $y(0) = y'(0) = 0$
Non so da dove partire! Qualcuno mi può spiegare come fare?
EDIT: avevo sbagliato leggermente il testo dell'esercizio, l'ho corretto.
Risolvere l'equazione $y''+9y=3x senx$ con le condizioni iniziali $y(0) = y'(0) = 0$
Non so da dove partire! Qualcuno mi può spiegare come fare?
EDIT: avevo sbagliato leggermente il testo dell'esercizio, l'ho corretto.
Risposte
Non per essere scortese, ma hai provato a cercare da qualche parte (*) degli esercizi svolti, oppure ancora meglio a riguardare la teoria sul libro ?
(*): sul tuo libro, dalle dispense del prof, su internet, in questo sito, ecc.
(*): sul tuo libro, dalle dispense del prof, su internet, in questo sito, ecc.
"Quinzio":
Non per essere scortese, ma hai provato a cercare da qualche parte (*) degli esercizi svolti, oppure ancora meglio a riguardare la teoria sul libro ?
(*): sul tuo libro, dalle dispense del prof, su internet, in questo sito, ecc.
Ho trovato su YouTube un video dove sono spiegate abbastanza bene:
http://www.youtube.com/watch?v=8HRB73w1nsY
Il punto è che non so se posso utilizzare questo metodo per l'equazione differenziale che sto svolgendo, perchè in questo video non vengono trattati casi in cui l'equazione differenziale è un prodotto di due funzioni.
Comunque ho provato anche a cercare sul web ma non trovo nulla che sia spiegato bene con esempi svolti.
ma non hai un libro di analisi I ? Il capitolo dovrebbe intitolarsi equazioni differenziali del secondo ordine. Comunque si la soluzione particolare si risolve trovando la classe di funzioni a cui appartiene la funzione, mentre l'integrale generale è sempre la solita solfa...eq.om.ass., quindi eq.alg.caratt. la risolvi e sostituisci...
...scusate l'intromissione,ma in questo caso non si potrebbe usare il metodo delle variazioni delle costanti?io l'ho iniziata a svolgere col suddetto metodo,solo che mi viene un integrale un po' strano.... Del tipo $\ int sen(sqrt 3x)3xsenx$ e qui mi sono bloccato...scusate di nuovo l'intromissione,ma dovendo affrontare un esame a breve,ho provato a risolverlo
"IntoTheWild":
ma non hai un libro di analisi I ? Il capitolo dovrebbe intitolarsi equazioni differenziali del secondo ordine. Comunque si la soluzione particolare si risolve trovando la classe di funzioni a cui appartiene la funzione, mentre l'integrale generale è sempre la solita solfa...eq.om.ass., quindi eq.alg.caratt. la risolvi e sostituisci...
Ho provato a controllare nel libro del mio professore, ma il tutto è spiegato veramente molto male e non riesco a capirle.
Ho capito che prima devo trovare le radici dell'equazione omogenea associata, ovvero:
$k^2+9$ che sono $+3i$ e $-3i$ ora io a questo punto non so come proseguire, saresti così gentile da spiegarmi come fare?
"gianvelly":
...scusate l'intromissione,ma in questo caso non si potrebbe usare il metodo delle variazioni delle costanti?io l'ho iniziata a svolgere col suddetto metodo,solo che mi viene un integrale un po' strano.... Del tipo $\ int sen(sqrt 3x)3xsenx$ e qui mi sono bloccato...scusate di nuovo l'intromissione,ma dovendo affrontare un esame a breve,ho provato a risolverlo
Avevo sbagliato un po' il testo dell'esercizio, ora ho corretto il post, forse è per questo!
...sicuro che sia 3xsenx? Ora mi esce un integrale del tipo $ int -xsen (3x) senx$ ... Alzo le mani,non vorrei che qualcuno si possa arrabbiare per i miei post inutili
"gianvelly":
...sicuro che sia 3xsenx? Ora mi esce un integrale del tipo $ int -xsen (3x) senx$ ... Alzo le mani,non vorrei che qualcuno si possa arrabbiare per i miei post inutili
Su $3x senx$ sono sicuro! Comunque tranquillo per i post.
Allora,oggi mi sono messo con più calma,e abbastanza arrabbiato, e sono riuscito a risolverla...non la riscrivo tutta qui,poiché mi sto preparando per sostenere l'esame e non ho molto tempo a disposizione,però ti posto il foglio di bella... Spero i mod mi possano capire (ps nel ricopiare dalla brutta alla bella,è probabile abbia commesso qualche errore..però comunque è importante tu capisca il procedimento).. E spero soprattutto che le persone più esperte di me non si offendano se ho provato ad aiutarti,anche se non sono un genio della matematica..
https://www.dropbox.com/s/r1f5w8j1gutes ... 0%2045.jpg
https://www.dropbox.com/s/r1f5w8j1gutes ... 0%2045.jpg
"gianvelly":
Allora,oggi mi sono messo con più calma,e abbastanza arrabbiato, e sono riuscito a risolverla...non la riscrivo tutta qui,poiché mi sto preparando per sostenere l'esame e non ho molto tempo a disposizione,però ti posto il foglio di bella... Spero i mod mi possano capire (ps nel ricopiare dalla brutta alla bella,è probabile abbia commesso qualche errore..però comunque è importante tu capisca il procedimento).. E spero soprattutto che le persone più esperte di me non si offendano se ho provato ad aiutarti,anche se non sono un genio della matematica..
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Grazie, dopo do uno sguardo!
Ho appena guardato e la tua soluzione è corretta, corrisponde a quella del pdf delle soluzioni che ho.
Puoi svolgere anche quest'altra? Te ne sarei grato!
$y''+4y = 2x cos x$
$y''+4y = 2x cos x$
Guarda è uguale a quella che hai presentato nel post iniziale..basta che esegui gli stessi identici passaggi
"gianvelly":
Guarda è uguale a quella che hai presentato nel post iniziale..basta che esegui gli stessi identici passaggi
Ci ho provato, però quando devo trovare il valore di A, B, C e D mi tornano diversi da quelli delle soluzioni, per questo c'è qualcosa che non mi quadra.
Scrivi i passaggi,così nel caso ti posso aiutare
Allora:
$y''+4y = 2x cos x$
Equazione omogena associata: $k^2+4 = 0$
Soluzioni: $+2i$ e $-2i$
Ora ho scritto $y$ come: $R(x) cos x + Q(x) sen x$
$R(x) = Ax + B$
$Q(x) = Cx + D$
Ora se non sbaglio, a quanto ho fatto, la funzione e le derivate sono identiche a quelle del tuo esempio, dunque:
$y = Ax cos x + B cos x + Cx sen x + D sen x$
$y' = A cos x - A x sen x - B sen x + C sen x + C x cos x + D cos x$
$y'' = -Ax cos x - Bcos x + C cos x + C cos x - Cx sen x - D sen x $
Sostituendo nell'equazione di partenza:
$-Ax cos x - Bcos x + 2c cos x - Cx sen x - D sen x + 4 A x cos x + 4 B cos x + 4Cx sen x + 4D sen x = 2x cos x$
Ora semplicemente ho dato dei valori ad $A, B, C$ e $D$ affinchè l'equazione diventi identica:
${(-C+4C = 0), (-D+4D = 0), (-B+2C+4B = 0), (A+4A = 2):}$
Da cui ricavo: $B= 0, C= 0, D=0, A = 2/5$
Nelle soluzioni che ho c'è scritto che alla fine deve tornare:
$y = C_1cos 2x + C_2 sen 2x + 2/3 x cos x + 4/9 sen x$
Dunque qualcosa non torna.
$y''+4y = 2x cos x$
Equazione omogena associata: $k^2+4 = 0$
Soluzioni: $+2i$ e $-2i$
Ora ho scritto $y$ come: $R(x) cos x + Q(x) sen x$
$R(x) = Ax + B$
$Q(x) = Cx + D$
Ora se non sbaglio, a quanto ho fatto, la funzione e le derivate sono identiche a quelle del tuo esempio, dunque:
$y = Ax cos x + B cos x + Cx sen x + D sen x$
$y' = A cos x - A x sen x - B sen x + C sen x + C x cos x + D cos x$
$y'' = -Ax cos x - Bcos x + C cos x + C cos x - Cx sen x - D sen x $
Sostituendo nell'equazione di partenza:
$-Ax cos x - Bcos x + 2c cos x - Cx sen x - D sen x + 4 A x cos x + 4 B cos x + 4Cx sen x + 4D sen x = 2x cos x$
Ora semplicemente ho dato dei valori ad $A, B, C$ e $D$ affinchè l'equazione diventi identica:
${(-C+4C = 0), (-D+4D = 0), (-B+2C+4B = 0), (A+4A = 2):}$
Da cui ricavo: $B= 0, C= 0, D=0, A = 2/5$
Nelle soluzioni che ho c'è scritto che alla fine deve tornare:
$y = C_1cos 2x + C_2 sen 2x + 2/3 x cos x + 4/9 sen x$
Dunque qualcosa non torna.
Stai attento ai segni..nella derivata seconda hai sbagliato i calcoli..rifalli e vedrai che ti esce.. (Ti manca un $-2A senx$)
"gianvelly":
Stai attento ai segni..nella derivata seconda hai sbagliato i calcoli..rifalli e vedrai che ti esce.. (Ti manca un $-2A senx$)
Ma allora se non sbaglio anche tu hai sbagliato la derivata seconda nell'esempio che mi hai passato perchè io l'ho presa da lì!
P.S. Ho corretto il risultato della derivata seconda e sono riuscito a far tornare le cose giuste, ora il risultato torna!
ma infatti ti ho detto che quella era una copia scritta in belle e in fretta per farti capire il procedimento..quindi poi qualche passaggio può darsi che nella ricopia lo abbia sbagliato..mi sia sfuggito qualche segno o altro...però da lì dovevi capire i passaggi per arrivare al risultato,non copiarlo tale e quale..
infatti rivedendo lì ho sbagliato nella trascrizione...però sono stato fortunato che la A veniva 0...per cui il danno è stato limitato...
Se devo studiare un'equazione differenziale del genere:
$y''-5y+6y = e^x sen 2x$
Come faccio con il tuo metodo? Ora c'è anche un $e^x$ non so come trattarlo, puoi riassumermi tutti i casi? Se c'è $senx$ o $cosx$ so come fare, ma con $e^x sen 2x$? M'interessa sapere come trovare $y$, poi ho capito che devo calcolarmi le derivate a seconda dell'occorrenza e poi sostituirle nell'equazione di partenza e mettere a sistema i valori di $A$, $B$, $C$ e $D$ affinchè l'equazione sia soddisfatta. Puoi salvarmi, ho l'esame di Analisi Matematica domani e sulle equazioni differenziali sono quasi apposto. xD
$y''-5y+6y = e^x sen 2x$
Come faccio con il tuo metodo? Ora c'è anche un $e^x$ non so come trattarlo, puoi riassumermi tutti i casi? Se c'è $senx$ o $cosx$ so come fare, ma con $e^x sen 2x$? M'interessa sapere come trovare $y$, poi ho capito che devo calcolarmi le derivate a seconda dell'occorrenza e poi sostituirle nell'equazione di partenza e mettere a sistema i valori di $A$, $B$, $C$ e $D$ affinchè l'equazione sia soddisfatta. Puoi salvarmi, ho l'esame di Analisi Matematica domani e sulle equazioni differenziali sono quasi apposto. xD
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