Equazione differenziale del primo ordine

[thedarkhero]

Considero il seguente problema di Cauchy:
${(y'=1/(y^2-x^2+1)),(y(0)=1):}$

(1): Devo dimostrare che esiste unica la soluzione locale $y\inC^1(-delta,delta)$, $delta>0$.
Definisco $Omega={(x,y)\inRR^2:-1<=x<=1 and y>0}$.
Ho che $f\inC^(oo)(Omega)$ e dunque $f$ è localmente Lipschitziana per y in $Omega$.
Posso allora concludere che esiste unica la soluzione locale $y\inC^1(-delta,delta)$, $delta>0$.

(2): Devo provare che la soluzione è una funzione crescente.
Equivale a mostrare che $f(x,y)>0$ per $(x,y)\inOmega$.
$f(x,y)>0 <=> 1/(y^2-x^2+1)>0 <=> (y^2-x^2+1)>0$ ed essendo $|x|<1$ si ha che $(y^2-x^2+1)>y^2>0$ in quanto $y>0$.
Dunque la soluzione è crescente.

(3): Devo provare che se $(a,b)subRR$ è l'intervallo di esistenza massimale della soluzione allora $b=+oo$.

Mi date conferma sui due primi punti e qualche indicazione per come risolvere il terzo? Grazie!

[Raptorista1]

I primi due, ad una rapida occhiata, sembrano ok.
Per il terzo, devi evidentemente ricorrere al teorema di prolungabilità della soluzione.

[thedarkhero]

Si ma per fare questo dovrei mostrare che non può essere $lim_(x->b)|y(x)|=+oo$ ma non conoscendo $y(x)$ come posso fare?