Equazione differenziale del 2° ordine a coeff. NON costanti
Ciao ragazzi,
uno dei problemi di cui si occupa la mia tesi di laurea magistrale riguarda le oscillazioni
assialsimmetriche dei gusci sferici. Nel sistema di equazioni differenziali che ho ricavato,
una delle equazioni è "disaccoppiata" dal resto, ed è la seguente equazione omogenea:
\(g''(\theta)+\cot\theta\,g'(\theta)+ \left(K-\cot^2 \theta\right)g(\theta) = 0\)
con \(K\) costante positiva nota.
Ho bisogno di una soluzione in forma chiusa, ma siccome i coefficienti
sono variabili, è difficile trovarla. Qualcuno ha idee?
uno dei problemi di cui si occupa la mia tesi di laurea magistrale riguarda le oscillazioni
assialsimmetriche dei gusci sferici. Nel sistema di equazioni differenziali che ho ricavato,
una delle equazioni è "disaccoppiata" dal resto, ed è la seguente equazione omogenea:
\(g''(\theta)+\cot\theta\,g'(\theta)+ \left(K-\cot^2 \theta\right)g(\theta) = 0\)
con \(K\) costante positiva nota.
Ho bisogno di una soluzione in forma chiusa, ma siccome i coefficienti
sono variabili, è difficile trovarla. Qualcuno ha idee?
Risposte
Nessuno?
Wolfram Alpha la risolve usando le funzioni ipergeometriche... Ma non mi chiedere come faccia! 
Dato che le funzioni ipergeometriche si riducono a funzioni elementari in diversi casi, per particolari valori di \(K\) è pure probabile che tu riesca a trovare un'espressione elementare per la soluzione.
Dato che le funzioni ipergeometriche si riducono a funzioni elementari in diversi casi, per particolari valori di \(K\) è pure probabile che tu riesca a trovare un'espressione elementare per la soluzione.
Un suggerimento generico: hai provato a dare un'occhiata al Polyanin-Zaitsev?
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/basbooks.htm
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/basbooks.htm
Grazie gugo e dissonance. Interessante: c'è tutto un intero libro su queste cose...
Domani vado in biblioteca a consultarlo, ho già visto che c'è.
P.S. Ma la soluzione di Wolfram Alpha non ha senso: visto che a
denominatore c'è \(\sqrt{-\sin^2\theta}\), il dominio è l'insieme vuoto...
Domani vado in biblioteca a consultarlo, ho già visto che c'è.
P.S. Ma la soluzione di Wolfram Alpha non ha senso: visto che a
denominatore c'è \(\sqrt{-\sin^2\theta}\), il dominio è l'insieme vuoto...
Tieni presente che il tuo problema ha senso solo se \(\theta \in ]0,\pi[\), quindi \(\sin \theta >0\); allora puoi interpretare \(\sqrt{-\sin^2 \theta}\) come \(\imath \sin \theta\).
Sì, infatti ci avevo pensato... Quindi non esistono soluzioni reali? Mhh... A meno che, ovviamente,
i valori delle funzioni ipergeometriche siano anch'essi immaginari (cosa che spero, a questo punto).
i valori delle funzioni ipergeometriche siano anch'essi immaginari (cosa che spero, a questo punto).
Ma che condizioni iniziali hai, fb?
Probabilmente quel coefficiente complesso si può eliminare in qualche modo (tipo come si fa quando si introducono seno e coseno in vece degli esponenziali complessi nell'integrale generale di una EDO del secondo ordine), ma non so come.
Probabilmente quel coefficiente complesso si può eliminare in qualche modo (tipo come si fa quando si introducono seno e coseno in vece degli esponenziali complessi nell'integrale generale di una EDO del secondo ordine), ma non so come.
Non ho condizioni iniziali, ma al bordo; direi che per la simmetria del problema
che sto studiando, l'unica cosa che ha senso supporre è che (l'uguaglianza dei valori
delle funzioni non va bene, perché sono definite su \((0,\pi)\), quindi estremi esclusi)
\[\lim_{\theta\to0^+} g(\theta) = \lim_{\theta\to\pi^-} g(\theta).\]
che sto studiando, l'unica cosa che ha senso supporre è che (l'uguaglianza dei valori
delle funzioni non va bene, perché sono definite su \((0,\pi)\), quindi estremi esclusi)
\[\lim_{\theta\to0^+} g(\theta) = \lim_{\theta\to\pi^-} g(\theta).\]
Torno sull'argomento, perché mi sono appena ricordato del teorema di Fuchs.
La tua EDO, riguardata come equazione nel campo complesso, soddisfa le ipotesi del teorema di Fuchs, in quanto il coefficiente di \(g^\prime\) ha in \(0,\pi\) poli del primo ordine e il coefficiente di \(g\) ha in \(0,\pi\) poli del secondo ordine: ciò mi dice che quei punti sono punti singolari regolari per l'equazione e ciò significa che le soluzioni complesse della tue EDO si possono determinare usando il classico metodo di Frobenius, i.e. si possono cercare nella forma \(\theta^r\ \sum_{n=0}^\infty a_n\ \theta^n\) (con \(a_n\in \mathbb{C}\) ed \(r\in \mathbb{R}\) non necessariamente intero) vicino a \(0\), proprio come si fa per le funzioni di Bessel.
Questo ti dice che le soluzioni della tue EDO in campo complesso sono simili a funzioni olomorfe, tranne per il fatto che possono avere un punto di diramazione in \(0\) o in \(\pi\); ma visto che a te interessano le loro restrizioni all'asse reale, dei punti di diramazione poco te ne importa.
Ad ogni modo, però... Non è una cosa strana che la funzione ipergeometrica \(_2F_1(a,b;c;x)\) rientri nella soluzione del problema, perché esce fuori in vari problemi di Fisica Matematica.
Stavo pensando che si possono fare due conti.
La sostituzione che la soluzioni di WA suggerisce è \(t=\cos^2 \theta\), che però è lecita solamente o in \(]0,\pi/2]\) oppure in \([\pi/2, \pi[\).
Supponiamo per adesso \(\theta \in ]0,\pi/2]\). Si ha (e qui uso urang-utang a manetta, perché altrimenti i conti diventano tediosi):
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} \theta} &= \frac{1}{\frac{\text{d} t}{\text{d} \theta}}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t}\\
&= -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t}\\
\frac{\text{d}^2}{\text{d} \theta^2} &= -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} \left[ -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} \right]\\
&= 4 \sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \left( \frac{\text{d} }{\text{d} t}[\sqrt{t}\sqrt{1-t}]\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} +\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d}^2 }{\text{d} t^2}\right)\\
&= 4 \sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \left( \frac{1-2t}{2\sqrt{t}\sqrt{1-t}}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} +\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d}^2 }{\text{d} t^2}\right)\\
&= 4t(1-t)\ \frac{\text{d}^2 }{\text{d} t^2} +2(1-2t)\ \frac{\text{d} }{\text{d} t}
\end{split}
\]
ed inoltre:
\[
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}\; ,\qquad \cot^2 \theta = \frac{t}{1-t}
\]
quindi la EDO \(g^{\prime \prime} + \cot \theta\ g^\prime + (K-\cot^2 \theta)\ g=0\) diventa (nel seguito \(g=g(t)\) ed i puntini denotano derivata rispetto a \(t\)):
\[
\left(4t(1-t)\ \ddot{g} + 2(1-2t)\ \dot{g}\right) + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}} \left( -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \dot{g}\right) + \left( K - \frac{t}{1-t}\right)\ g =0
\]
ossia:
\[
4t(1-t)\ \ddot{g} + 2(1-3t)\ \dot{g} + \frac{K-(K+1)t}{1-t}\ g=0
\]
(al netto dei possibilissimi errori di calcolo). Questa già è un po' più carina come forma... Almeno non hai tra i piedi le funzioni goniometriche!
Lo stesso si può fare in \([\pi/2 , \pi[\), ma con un po' più di attenzione.
Scritte le due equazioni in \(t\), trascrivi nella nuova variabile le condizioni al bordo, cerca gli integrali delle due EDO soddisfacenti ognuno la sua condizione: in tali integrali figureranno due costanti arbitrarie, le quali possono essere scelte in modo che l'incollamento delle due soluzioni sia continuo in \(\pi/2\).
Certo, se sapessi che la tua soluzione è pari (o dispari) rispetto a \(\pi/2\), i.e. se \(g(\theta) =\pm g(\pi -\theta)\), allora le cose sarebbero più semplici.
La tua EDO, riguardata come equazione nel campo complesso, soddisfa le ipotesi del teorema di Fuchs, in quanto il coefficiente di \(g^\prime\) ha in \(0,\pi\) poli del primo ordine e il coefficiente di \(g\) ha in \(0,\pi\) poli del secondo ordine: ciò mi dice che quei punti sono punti singolari regolari per l'equazione e ciò significa che le soluzioni complesse della tue EDO si possono determinare usando il classico metodo di Frobenius, i.e. si possono cercare nella forma \(\theta^r\ \sum_{n=0}^\infty a_n\ \theta^n\) (con \(a_n\in \mathbb{C}\) ed \(r\in \mathbb{R}\) non necessariamente intero) vicino a \(0\), proprio come si fa per le funzioni di Bessel.
Questo ti dice che le soluzioni della tue EDO in campo complesso sono simili a funzioni olomorfe, tranne per il fatto che possono avere un punto di diramazione in \(0\) o in \(\pi\); ma visto che a te interessano le loro restrizioni all'asse reale, dei punti di diramazione poco te ne importa.
Ad ogni modo, però... Non è una cosa strana che la funzione ipergeometrica \(_2F_1(a,b;c;x)\) rientri nella soluzione del problema, perché esce fuori in vari problemi di Fisica Matematica.
Stavo pensando che si possono fare due conti.
La sostituzione che la soluzioni di WA suggerisce è \(t=\cos^2 \theta\), che però è lecita solamente o in \(]0,\pi/2]\) oppure in \([\pi/2, \pi[\).
Supponiamo per adesso \(\theta \in ]0,\pi/2]\). Si ha (e qui uso urang-utang a manetta, perché altrimenti i conti diventano tediosi):
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} \theta} &= \frac{1}{\frac{\text{d} t}{\text{d} \theta}}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t}\\
&= -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t}\\
\frac{\text{d}^2}{\text{d} \theta^2} &= -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} \left[ -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} \right]\\
&= 4 \sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \left( \frac{\text{d} }{\text{d} t}[\sqrt{t}\sqrt{1-t}]\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} +\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d}^2 }{\text{d} t^2}\right)\\
&= 4 \sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \left( \frac{1-2t}{2\sqrt{t}\sqrt{1-t}}\ \frac{\text{d} }{\text{d} t} +\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \frac{\text{d}^2 }{\text{d} t^2}\right)\\
&= 4t(1-t)\ \frac{\text{d}^2 }{\text{d} t^2} +2(1-2t)\ \frac{\text{d} }{\text{d} t}
\end{split}
\]
ed inoltre:
\[
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}\; ,\qquad \cot^2 \theta = \frac{t}{1-t}
\]
quindi la EDO \(g^{\prime \prime} + \cot \theta\ g^\prime + (K-\cot^2 \theta)\ g=0\) diventa (nel seguito \(g=g(t)\) ed i puntini denotano derivata rispetto a \(t\)):
\[
\left(4t(1-t)\ \ddot{g} + 2(1-2t)\ \dot{g}\right) + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}} \left( -2\sqrt{t}\sqrt{1-t}\ \dot{g}\right) + \left( K - \frac{t}{1-t}\right)\ g =0
\]
ossia:
\[
4t(1-t)\ \ddot{g} + 2(1-3t)\ \dot{g} + \frac{K-(K+1)t}{1-t}\ g=0
\]
(al netto dei possibilissimi errori di calcolo). Questa già è un po' più carina come forma... Almeno non hai tra i piedi le funzioni goniometriche!
Lo stesso si può fare in \([\pi/2 , \pi[\), ma con un po' più di attenzione.
Scritte le due equazioni in \(t\), trascrivi nella nuova variabile le condizioni al bordo, cerca gli integrali delle due EDO soddisfacenti ognuno la sua condizione: in tali integrali figureranno due costanti arbitrarie, le quali possono essere scelte in modo che l'incollamento delle due soluzioni sia continuo in \(\pi/2\).
Certo, se sapessi che la tua soluzione è pari (o dispari) rispetto a \(\pi/2\), i.e. se \(g(\theta) =\pm g(\pi -\theta)\), allora le cose sarebbero più semplici.
Grazie mille Guglielmo!
Per ora, mi sono riscritto la soluzione di WA in un modo più decente
(quel \(\sqrt{\cos\theta}\) al denominatore non mi piaceva per niente visto che in \(\frac{\pi}{2}\)
ci sono problemi); dunque, la soluzione dovrebbe essere (chiamo \(F_1(\theta)\)
la prima funzione ipergeometrica, \(F_2(\theta)\) la seconda)
\[g(\theta)=\frac{-i c_1\,F_1(\theta)+c_2\cos\theta\,F_2(\theta)}{\sin\theta}\chi_{\left(0,\frac{\pi}{2}\right)} +
\frac{- c_1\,F_1(\theta)+ i c_2\cos\theta\,F_2(\theta)}{\sin\theta}\chi_{\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)}. \]
Ora il problema è che vorrei che le costanti si potessero calcolare esattamente
come hai detto tu, cioè usando la condizione \(g(\theta)=g(\pi-\theta)\), soddisfatta
automaticamente sia da \(F_1\) che da \(F_2\) in quanto in entrambe le rispettive
espressioni analitiche compaiono coseni elevati a potenze pari,
ma il guaio è che così facendo vengono entrambe nulle... Mah...
Per ora, mi sono riscritto la soluzione di WA in un modo più decente
(quel \(\sqrt{\cos\theta}\) al denominatore non mi piaceva per niente visto che in \(\frac{\pi}{2}\)
ci sono problemi); dunque, la soluzione dovrebbe essere (chiamo \(F_1(\theta)\)
la prima funzione ipergeometrica, \(F_2(\theta)\) la seconda)
\[g(\theta)=\frac{-i c_1\,F_1(\theta)+c_2\cos\theta\,F_2(\theta)}{\sin\theta}\chi_{\left(0,\frac{\pi}{2}\right)} +
\frac{- c_1\,F_1(\theta)+ i c_2\cos\theta\,F_2(\theta)}{\sin\theta}\chi_{\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)}. \]
Ora il problema è che vorrei che le costanti si potessero calcolare esattamente
come hai detto tu, cioè usando la condizione \(g(\theta)=g(\pi-\theta)\), soddisfatta
automaticamente sia da \(F_1\) che da \(F_2\) in quanto in entrambe le rispettive
espressioni analitiche compaiono coseni elevati a potenze pari,
ma il guaio è che così facendo vengono entrambe nulle... Mah...
L'idea era quella... Però ti devi levare di torno tutte quelle costanti.
Comunque, ho rivisto le condizioni che hai e sono del tipo periodico, cioè \(g(0^+)=g(\pi^-)\).
A questo punto dovresti cercare di determinare \(c_1\) e \(c_2\) in modo che \(g(\theta)\) sia continua in \(\pi/2\), reale, e soddisfi le condizioni periodiche al bordo... Non so cosa ne può mai uscire, ma sono fiducioso.
Comunque, ho rivisto le condizioni che hai e sono del tipo periodico, cioè \(g(0^+)=g(\pi^-)\).
A questo punto dovresti cercare di determinare \(c_1\) e \(c_2\) in modo che \(g(\theta)\) sia continua in \(\pi/2\), reale, e soddisfi le condizioni periodiche al bordo... Non so cosa ne può mai uscire, ma sono fiducioso.
Il problema è che viene proprio automaticamente continua in \(\frac{\pi}{2}\)... E uguale a zero, per di più.
Comunque, questa è la soluzione da cui ho preso ispirazione.
(Ho modificato il precedente post mentre mi rispondevi.)
Comunque, questa è la soluzione da cui ho preso ispirazione.
(Ho modificato il precedente post mentre mi rispondevi.)
Aspetta, però... La cotangente è invertibile in \(]0,\pi[\), quindi si può fare il cambiamento di variabile \(t=\cot \theta\)!
Se non ho fatto male i conti, la EDO, facendo questo cambiamento di variable, si riscrive:
\[
(1+t^2)^2\ \ddot{g} +(1+t^2)(1-3t)\ \dot{g} + (K-t^2)\ g =0
\]
che è nella forma buona per applicare il metodo di Frobenius!
Anzi, ci va proprio di lusso, perché possiamo cercare \(g(t)\) nella forma \(t^r\ \sum_{n=0}^\infty a_n\ t^n\), ossia sviluppata con centro in \(t_0=0\) che corrisponde a \(\theta_0=\pi/2\).
Certo dovrai ammazzarti di conti (perché Frobenius è bello e caro, ma ti porta via la vita a volte!), però dovresti riuscire tirarne fuori qualcosa di sensato, i.e. almeno delle relazioni ricorrenti sui coefficienti $a_n$...
Visto che la variabile \(t\) vive nel range della cotangente, io mi aspetto che lo sviluppo in serie restituisca una funzione intera (cioè che la serie abbia raggio di convergenza infinito).
La cosa difficile, probabilmente, sarà andare ad imporre le condizioni al bordo.
Ma di questo se ne parla dopo aver provato a fare i conti.
Se non ho fatto male i conti, la EDO, facendo questo cambiamento di variable, si riscrive:
\[
(1+t^2)^2\ \ddot{g} +(1+t^2)(1-3t)\ \dot{g} + (K-t^2)\ g =0
\]
che è nella forma buona per applicare il metodo di Frobenius!
Anzi, ci va proprio di lusso, perché possiamo cercare \(g(t)\) nella forma \(t^r\ \sum_{n=0}^\infty a_n\ t^n\), ossia sviluppata con centro in \(t_0=0\) che corrisponde a \(\theta_0=\pi/2\).
Certo dovrai ammazzarti di conti (perché Frobenius è bello e caro, ma ti porta via la vita a volte!), però dovresti riuscire tirarne fuori qualcosa di sensato, i.e. almeno delle relazioni ricorrenti sui coefficienti $a_n$...
Visto che la variabile \(t\) vive nel range della cotangente, io mi aspetto che lo sviluppo in serie restituisca una funzione intera (cioè che la serie abbia raggio di convergenza infinito).
La cosa difficile, probabilmente, sarà andare ad imporre le condizioni al bordo.
Ma di questo se ne parla dopo aver provato a fare i conti.
Cavolo hai ragione... Come ho fatto a non pensarci prima!
Quanto ai conti, se vedi quelli che ho fatto per ricavare le equazioni del moto
dei gusci sferici, non so se siano meglio o peggio di quelli che dovrò fare con Frobenius...
Di certo ho patito le pene dell'inferno per quelli
Quanto ai conti, se vedi quelli che ho fatto per ricavare le equazioni del moto
dei gusci sferici, non so se siano meglio o peggio di quelli che dovrò fare con Frobenius...
Di certo ho patito le pene dell'inferno per quelli
Guglielmo, a me l'equazione viene come la tua, tranne il coefficiente di \(\dot g\)
che mi risulta semplicemente \(t(1+t^2)\)... Ho sbagliato qualcosa?
che mi risulta semplicemente \(t(1+t^2)\)... Ho sbagliato qualcosa?
Hai ragione, ho sbagliato io.
Infatti, posto \(t=\cot \theta\) si trova:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t} &= -\frac{1}{1+t^2}\\
\frac{\text{d}}{\text{d} \theta} &= \frac{1}{\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \\
&= -(1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\\
\frac{\text{d}^2}{\text{d} \theta^2} &= -(1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ -(1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\right]\\
&= (1+t^2)\left( \frac{\text{d}}{\text{d} t} [1+t^2]\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} + (1+t^2)\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2}\right)\\
&= (1+t^2)^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} + 2t\ (1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}
\end{split}
\]
ed ovviamente \(\cot^2 \theta =t^2\), quindi la EDO \(g^{\prime \prime} + \cot \theta\ g^\prime + (K-\cot^2 \theta)\ g=0\) diventa:
\[
\begin{split}
\left( (1+t^2)^2\ \ddot{g} + 2t\ (1+t^2)\ \dot{g}\right) +t\ \Big(-(1+t^2)\ \dot{g}\Big) + (K-t^2)\ g &= 0 \qquad \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow \qquad (1+t^2)^2\ \ddot{g} +t\ (1+t^2)\ \dot{g} + (K-t^2)\ g &= 0\; ,
\end{split}
\]
proprio come dicevi tu.
Probabilmente ieri notte mi ero impicciato coi conti della sostituzione precedente.
Infatti, posto \(t=\cot \theta\) si trova:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t} &= -\frac{1}{1+t^2}\\
\frac{\text{d}}{\text{d} \theta} &= \frac{1}{\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \\
&= -(1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\\
\frac{\text{d}^2}{\text{d} \theta^2} &= -(1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ -(1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\right]\\
&= (1+t^2)\left( \frac{\text{d}}{\text{d} t} [1+t^2]\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} + (1+t^2)\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2}\right)\\
&= (1+t^2)^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} + 2t\ (1+t^2)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}
\end{split}
\]
ed ovviamente \(\cot^2 \theta =t^2\), quindi la EDO \(g^{\prime \prime} + \cot \theta\ g^\prime + (K-\cot^2 \theta)\ g=0\) diventa:
\[
\begin{split}
\left( (1+t^2)^2\ \ddot{g} + 2t\ (1+t^2)\ \dot{g}\right) +t\ \Big(-(1+t^2)\ \dot{g}\Big) + (K-t^2)\ g &= 0 \qquad \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow \qquad (1+t^2)^2\ \ddot{g} +t\ (1+t^2)\ \dot{g} + (K-t^2)\ g &= 0\; ,
\end{split}
\]
proprio come dicevi tu.
Probabilmente ieri notte mi ero impicciato coi conti della sostituzione precedente.
Ci sarà sicuramente qualcosa che sbaglio: un'equazione alle differenze per gli \(a_n\) mi viene,
però poi mettendo insieme tutte le condizioni di nullo dei coefficienti delle potenze di \(t\), risulta
che tutti i coefficienti dello sviluppo sono nulli! Mah...
però poi mettendo insieme tutte le condizioni di nullo dei coefficienti delle potenze di \(t\), risulta
che tutti i coefficienti dello sviluppo sono nulli! Mah...
Quali sono le ricorrenze?
Io ho fatto un po' di conti, ma mi escono cose strane.
Io ho fatto un po' di conti, ma mi escono cose strane.
Io mi sono fermato qui:
Però la condizione di nullo di tutti i coefficienti delle varie potenze di \(t\)
implicano alla fine che tutti gli \(a_n\) siano nulli...
Però la condizione di nullo di tutti i coefficienti delle varie potenze di \(t\)
implicano alla fine che tutti gli \(a_n\) siano nulli...
Mi sa che ti sei perso qualcosa per strada.
Come già detto più volte la EDO è:
\[
(t^4+2t^2+1)\ \ddot{g}(t) + (t^3+t)\ \dot{g}(t) +(K-t^2)\ g(t)=0\; .
\]
Supponiamo \(g(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n\ t^{n+r}\) e, dopo un po' di conti...
\[
\begin{split}
\frac{1}{t^r}\ \Big( &(1+t^2)^2\ \ddot{g}(t) +t(1+t^2)\ \dot{g}(t) +(K-t^2)\ g(t) \Big) = \\
&=r(r-1)\ a_0\ t^{-2} + (r+1)r\ a_1\ t^{-1} \\
&\phantom{=}+ \Big\{ [K+r+2r(r-1)]\ a_0 + (r+2)(r+1)\ a_2\Big\} + \Big\{ [K+r+1+2r(r+1)]\ a_1 + (r+3)(r+2)\ a_3\Big\}\ t\\
&\phantom{=}+ \sum_{n=2}^\infty \Big\{ [K\ a_n- a_{n-2}] + [(n+r)\ a_n +(n-2+r)\ a_{n-2}]+\\
&\phantom{=+\sum}\quad + [(n+2+r)(n+1+r)\ a_{n+2} + 2(n+r)(n-1+r)\ a_n + (n-2+r)(n-3+r)\ a_{n-2}]\Big\}\ t^n
\end{split}
\]
Il sistema alle ricorrenze è perciò:
\[
\begin{cases}
r(r-1)\ a_0 = 0 \\
r(r+1)\ a_1 = 0 \\
(r+2)(r+1)\ a_2 + [K+r(2r-1)]\ a_0 = 0 \\
(r+3)(r+2)\ a_3 + [K+(r+1)(2r+1)]\ a_1 = 0 \\
(n+1+r)(n+2+r)\ a_{n+2} + [K+(n+r)(2n-1+r)]\ a_n +[(n-2+r)^2-1]\ a_{n-2} = 0 &\text{, per } n\geq 2
\end{cases}
\]
Ponendo \(=0\) il coefficiente di \(a_0\) nella prima equazione ottieni la cosiddetta equazione indiciale, la quale nel nostro caso è \(r(r-1)=0\) ed ha soluzioni \(r_1=1,\ r_2=0\).
Per \(r=r_1\) il valore di \(a_0\) rimane arbitrario, mentre le altre equazioni diventano:
\[
\begin{cases}
2\ a_1 = 0 \\
6\ a_2 + (K+1)\ a_0 = 0 \\
12\ a_3 + (K+6)\ a_1 = 0 \\
(n+2)(n+3)\ a_{n+2} + [K+2n(n+1)]\ a_n +[(n-1)^2-1]\ a_{n-2} = 0 &\text{, per } n\geq 2
\end{cases}
\]
da cui trai immediatamente \(a_n=0\) per \(n\) dispari (perché \(a_1=0=a_3\)); per gli indici pari, invece, hai:
\[
\begin{cases}
(n+2)(n+3)\ a_{n+2} + [K+2n(n+1)]\ a_n +[(n-1)^2-1]\ a_{n-2} = 0 &\text{, per } n\geq 2 \\
a_2= -\frac{K+1}{6}\ a_0
\end{cases}
\]
e questa, seppure incasinata, non mi sembra malaccio. Prova un po' a vedere che ne esce fuori.
Come già detto più volte la EDO è:
\[
(t^4+2t^2+1)\ \ddot{g}(t) + (t^3+t)\ \dot{g}(t) +(K-t^2)\ g(t)=0\; .
\]
Supponiamo \(g(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n\ t^{n+r}\) e, dopo un po' di conti...
\[
\begin{split}
\frac{1}{t^r}\ \Big( &(1+t^2)^2\ \ddot{g}(t) +t(1+t^2)\ \dot{g}(t) +(K-t^2)\ g(t) \Big) = \\
&=r(r-1)\ a_0\ t^{-2} + (r+1)r\ a_1\ t^{-1} \\
&\phantom{=}+ \Big\{ [K+r+2r(r-1)]\ a_0 + (r+2)(r+1)\ a_2\Big\} + \Big\{ [K+r+1+2r(r+1)]\ a_1 + (r+3)(r+2)\ a_3\Big\}\ t\\
&\phantom{=}+ \sum_{n=2}^\infty \Big\{ [K\ a_n- a_{n-2}] + [(n+r)\ a_n +(n-2+r)\ a_{n-2}]+\\
&\phantom{=+\sum}\quad + [(n+2+r)(n+1+r)\ a_{n+2} + 2(n+r)(n-1+r)\ a_n + (n-2+r)(n-3+r)\ a_{n-2}]\Big\}\ t^n
\end{split}
\]
Il sistema alle ricorrenze è perciò:
\[
\begin{cases}
r(r-1)\ a_0 = 0 \\
r(r+1)\ a_1 = 0 \\
(r+2)(r+1)\ a_2 + [K+r(2r-1)]\ a_0 = 0 \\
(r+3)(r+2)\ a_3 + [K+(r+1)(2r+1)]\ a_1 = 0 \\
(n+1+r)(n+2+r)\ a_{n+2} + [K+(n+r)(2n-1+r)]\ a_n +[(n-2+r)^2-1]\ a_{n-2} = 0 &\text{, per } n\geq 2
\end{cases}
\]
Ponendo \(=0\) il coefficiente di \(a_0\) nella prima equazione ottieni la cosiddetta equazione indiciale, la quale nel nostro caso è \(r(r-1)=0\) ed ha soluzioni \(r_1=1,\ r_2=0\).
Per \(r=r_1\) il valore di \(a_0\) rimane arbitrario, mentre le altre equazioni diventano:
\[
\begin{cases}
2\ a_1 = 0 \\
6\ a_2 + (K+1)\ a_0 = 0 \\
12\ a_3 + (K+6)\ a_1 = 0 \\
(n+2)(n+3)\ a_{n+2} + [K+2n(n+1)]\ a_n +[(n-1)^2-1]\ a_{n-2} = 0 &\text{, per } n\geq 2
\end{cases}
\]
da cui trai immediatamente \(a_n=0\) per \(n\) dispari (perché \(a_1=0=a_3\)); per gli indici pari, invece, hai:
\[
\begin{cases}
(n+2)(n+3)\ a_{n+2} + [K+2n(n+1)]\ a_n +[(n-1)^2-1]\ a_{n-2} = 0 &\text{, per } n\geq 2 \\
a_2= -\frac{K+1}{6}\ a_0
\end{cases}
\]
e questa, seppure incasinata, non mi sembra malaccio. Prova un po' a vedere che ne esce fuori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo