Equazione differenziale del 2° ordine a coeff. NON costanti
Ciao ragazzi,
uno dei problemi di cui si occupa la mia tesi di laurea magistrale riguarda le oscillazioni
assialsimmetriche dei gusci sferici. Nel sistema di equazioni differenziali che ho ricavato,
una delle equazioni è "disaccoppiata" dal resto, ed è la seguente equazione omogenea:
\(g''(\theta)+\cot\theta\,g'(\theta)+ \left(K-\cot^2 \theta\right)g(\theta) = 0\)
con \(K\) costante positiva nota.
Ho bisogno di una soluzione in forma chiusa, ma siccome i coefficienti
sono variabili, è difficile trovarla. Qualcuno ha idee?
uno dei problemi di cui si occupa la mia tesi di laurea magistrale riguarda le oscillazioni
assialsimmetriche dei gusci sferici. Nel sistema di equazioni differenziali che ho ricavato,
una delle equazioni è "disaccoppiata" dal resto, ed è la seguente equazione omogenea:
\(g''(\theta)+\cot\theta\,g'(\theta)+ \left(K-\cot^2 \theta\right)g(\theta) = 0\)
con \(K\) costante positiva nota.
Ho bisogno di una soluzione in forma chiusa, ma siccome i coefficienti
sono variabili, è difficile trovarla. Qualcuno ha idee?
Risposte
Ti ringrazio molto!! In effetti la strategia consiste nel sistemare bene gli indici nella sommatoria.
Scusa ma è la prima volta che ho a che fare con questo metodo... Grazie ancora!
Scusa ma è la prima volta che ho a che fare con questo metodo... Grazie ancora!
Però, aspetta... c'è qualcosa che non mi torna.
Se \(r=1\) allora la serie è del tipo \(\sum_{h=0}^\infty a_{2h}\ t^{2h+1}\) quindi è composta da tutte potenze dispari, il che significa che la somma \(g(t)\) è dispari e quindi le tue condizioni al bordo saranno verificate solo se \(\lim_{t\to \pm \infty } g(t)=0\).
Ma il dubbio è: quest'ultima relazione, che rispetto alla variabile \(\theta\) in sostanza ti dice che \(g(0^+)=0=g(\pi^-)\), è fisicamente possibile? Oppure ti sorgono problemi?
Se \(r=1\) allora la serie è del tipo \(\sum_{h=0}^\infty a_{2h}\ t^{2h+1}\) quindi è composta da tutte potenze dispari, il che significa che la somma \(g(t)\) è dispari e quindi le tue condizioni al bordo saranno verificate solo se \(\lim_{t\to \pm \infty } g(t)=0\).
Ma il dubbio è: quest'ultima relazione, che rispetto alla variabile \(\theta\) in sostanza ti dice che \(g(0^+)=0=g(\pi^-)\), è fisicamente possibile? Oppure ti sorgono problemi?
No è possibilissima infatti!
Ok! 
Meglio così, altrimenti per \(r=0\) la cosa diventava bruttina.
Ah, un'altro paio di cose.
Innanzitutto, occhio, che per \(n=2\) nella ricorrenza non c'è il termine in \(a_0\).
Poi, pensavo, si potrebbe cercare di semplificare un po' le cose scrivendo \(b_h\) al posto di \(a_{2h}\)... Però in questo caso, oltre a \(b_0=a_0,\ b_1=a_2\) che hai già, potrebbe essere utile ricavare direttamente \(b_2=a_4\) dalla ricorrenza (perché, per lo strano fenomeno della "sparizione" di \(a_0\) nella ricorrenza, per \(n=2\) cambiano un po' le carte in tavola).
Forse con questo cambiamento d'indici riesci addirittura a dare la ricorrenza in pasto al signor Wolf(ram Alpha), il quale, come noto, risolve problemi.
Meglio così, altrimenti per \(r=0\) la cosa diventava bruttina.
Ah, un'altro paio di cose.
Innanzitutto, occhio, che per \(n=2\) nella ricorrenza non c'è il termine in \(a_0\).
Poi, pensavo, si potrebbe cercare di semplificare un po' le cose scrivendo \(b_h\) al posto di \(a_{2h}\)... Però in questo caso, oltre a \(b_0=a_0,\ b_1=a_2\) che hai già, potrebbe essere utile ricavare direttamente \(b_2=a_4\) dalla ricorrenza (perché, per lo strano fenomeno della "sparizione" di \(a_0\) nella ricorrenza, per \(n=2\) cambiano un po' le carte in tavola).
Forse con questo cambiamento d'indici riesci addirittura a dare la ricorrenza in pasto al signor Wolf(ram Alpha), il quale, come noto, risolve problemi.
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