EQUAZIONE DIFFERENZIALE a variabili separabili

[abaco90]

Ciao a tutti, ho questa equazione differenziale:

$ y' = (x+3)/y $

Questo è il mio procedimento:

$ dx * y * dy/dx = y * (x+3)/y * dx $

integrale di $ y * dy $ = integrale di $ (x + 3) * dx $

e ottengo $ y^2/2 = (x^2)/2 + 3x + c $ cioè $ y^2 = x^2 + 6x + c $ ma il libro da come soluzione $ y^2 = (x + 3)^2 + c $

Dove sbaglio? Grazie

[feddy]

Ciao,

data l'equazione differenziale, $ y'(x)=(x+3)/(y(x)) $ , supposto $y'(x)!=0$, si ha $ y'(x)*y(x)=(x+3) $

Da cui

$ int y'(s)*y(s)ds =x^2/2+3x +c_1$

Ora posto $u=y(s)$ si ha $du=y'(s)ds$ e l'integrale al primo membro diventa:

$ int u du =u^2/2 + c_2= (y(x)^2)/2 +c_2$

Pertanto l'integrale generale è dato da $(y(x)^2)/2=x^2/2+3x$ e quindi $y(x)^2=x^2+6x +C$, dove $C$ è una costante reale.

La formula del tuo libro potrebbe essere soluzione per un opportuno valore di $c$, ma scritta così non mi sembra soddisfi l'equazione.

[gugo82]

"feddy":[...] Pertanto l'integrale generale è dato da $(y(x)^2)/2=x^2/2+3x$ e quindi $y(x)^2=x^2+6x +C$, dove $C$ è una costante reale.

La formula del tuo libro potrebbe essere soluzione per un opportuno valore di $c$, ma scritta così non mi sembra soddisfi l'equazione.

E perché no?

Dato che:
\[
(x+3)^2 + c = x^2 + 6x + 9+c
\]
ponendo $C=c+9$ si ottiene la soluzione che hai ricavato tu... Dato che la variabile di integrazione è arbitraria, non c'è nessun problema.

[feddy]

Grazie gugo per la correzione!

[abaco90]

Ok, grazie ad entrambi!