Equazione differenziale
Salve a tutti,
volevo chiedervi se potreste aiutarmi con il seguente esercizio.
Determinare le soluzioni dell'equazione
$y'sinx+ycosx=1$
che sono limitate in un intorno destro dell'origine.
Le soluzioni dell'equazioni si trovano nella seguente maniera:
$(d(ysinx))/dx=1 rArr ysinx=x+c rArr y=(x+c)/sinx$
Ma a questo punto non so come fare per individuare quelle limitate in un intorno destro dell'origine.
volevo chiedervi se potreste aiutarmi con il seguente esercizio.
Determinare le soluzioni dell'equazione
$y'sinx+ycosx=1$
che sono limitate in un intorno destro dell'origine.
Le soluzioni dell'equazioni si trovano nella seguente maniera:
$(d(ysinx))/dx=1 rArr ysinx=x+c rArr y=(x+c)/sinx$
Ma a questo punto non so come fare per individuare quelle limitate in un intorno destro dell'origine.
Risposte
Per farti un'idea prendi \(c=1\). La funzione \(y(x)=(x+1)/\sin x\) ti pare limitata intorno all'origine? No, infatti il suo grafico è
[asvg]xmin=+0.01; xmax=2; ymin=-0.1; ymax=25; axes(); plot("(x+1)/(sin(x))");[/asvg]
te ne accorgi analiticamente calcolando \(\lim_{x\to 0, x >0} (x+1)/\sin x\), che è infinito. Cerca di trovare qualche valore di \(c\) per cui questo fenomeno non si verifica.
[asvg]xmin=+0.01; xmax=2; ymin=-0.1; ymax=25; axes(); plot("(x+1)/(sin(x))");[/asvg]
te ne accorgi analiticamente calcolando \(\lim_{x\to 0, x >0} (x+1)/\sin x\), che è infinito. Cerca di trovare qualche valore di \(c\) per cui questo fenomeno non si verifica.
Scusa Dissonance, sbaglio o ce n'è solo una di soluzione limitata? Chiedo poichè la traccia parla di "soluzion[size=150]i[/size]" (il che non esclude che la soluzione possa essere unica, ma mi lascia perplesso).
Potrebbe essere c=0, perchè $lim_(x rarr 0+) x/sinx=1$. Giusto?
@Plepp: E non lo so, fai i conti. Oppure, meglio ancora, falli fare all'OP e vediamo che ne pensa lui. Il testo comunque non specifica il numero di soluzioni.
@Sirio: Quella è una soluzione limitata intorno a \(0\). Ce ne sono altre?
@Sirio: Quella è una soluzione limitata intorno a \(0\). Ce ne sono altre?
"dissonance":
@Plepp: E non lo so, fai i conti. Oppure, meglio ancora, falli fare all'OP e vediamo che ne pensa lui.
Bene
visto che io e Sirio abbiamo fatto gli stessi conti, ripropongo la domanda. Per $c\ne 0$, quel limite è sempre infinito, per cui sarei portato a dire che la soluzione è unica.
"Plepp":
[quote="dissonance"]@Plepp: E non lo so, fai i conti. Oppure, meglio ancora, falli fare all'OP e vediamo che ne pensa lui.
Bene
visto che io e Sirio abbiamo fatto gli stessi conti, ripropongo la domanda. Per $c\ne 0$, quel limite è sempre infinito, per cui sarei portato a dire che la soluzione è unica.[/quote]concordo
Sono d'accordo pure io. Per me l'esercizio è finito.
Perfetto. Ti ringrazio infinitamente 
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