Equazione differenziale
Save ho questa equazione differenziale che è abbastanza semplice ma ricontrollando i calcoli non mi viene:
Il primo punto chiede di risolvere questa:
$y'=5y$
Che si vede ad occhio è un equazione differenziale a variabili separabili..
$y=e^(5x)$
Il secondo punto chiede di risolvere questa equazione differenziale:
$d/(dx)(y'y^2)=5y'y^2$
Io ho detto pongo $h(x)=y'y^2$ viene quindi
$d/(dx)h(x)=5h(x)$
Abbiamo quindi
$h'(x)=5h(x)$
Guardacaso è quella del primo punto...
$h(x)=e^(5x)$
Ora mi rimane da risolvere solo
$y'y^2=5e^(5x)$
La guardo e dico pure questa è a variabili separabili...
$int dy y^2= int 5e^(5x)$
$y^3/3=e^(5x)$
Proseguo spedita...
$y^3=3e^(5x)$
$y=(3e^(5x))^(1/3)$
Ero abbastanza sicura che fosse così invece derivo la soluzione e la moltiplico per la soluzione al quadrato...
Ma non viene...
Please aiutatemi...
Il primo punto chiede di risolvere questa:
$y'=5y$
Che si vede ad occhio è un equazione differenziale a variabili separabili..
$y=e^(5x)$
Il secondo punto chiede di risolvere questa equazione differenziale:
$d/(dx)(y'y^2)=5y'y^2$
Io ho detto pongo $h(x)=y'y^2$ viene quindi
$d/(dx)h(x)=5h(x)$
Abbiamo quindi
$h'(x)=5h(x)$
Guardacaso è quella del primo punto...
$h(x)=e^(5x)$
Ora mi rimane da risolvere solo
$y'y^2=5e^(5x)$
La guardo e dico pure questa è a variabili separabili...
$int dy y^2= int 5e^(5x)$
$y^3/3=e^(5x)$
Proseguo spedita...
$y^3=3e^(5x)$
$y=(3e^(5x))^(1/3)$
Ero abbastanza sicura che fosse così invece derivo la soluzione e la moltiplico per la soluzione al quadrato...
Ma non viene...
Please aiutatemi...
Risposte
"Save" a te!
A me viene giusta, infatti:
$y(x)=(3e^(5x))^(1/3)=>
1)$y^2(x)=(3e^(5x))^(2/3) $
2)$y'(x)=1/3*(3e^(5x))^(-2/3)*3*5e^(5x)=(3e^(5x))^(-2/3)*5e^(5x)$
Moltiplicando $y^2 $ con $y'$ si ottiene proprio $5e^(5x)$
Un errore l'hai fatto, ma è tutt'altra cosa (e, secondo me, ben più grave
): hai dimenticato di mettere la costante
Non è $y^3/3=e^(5x)$, ma $y^3/3=e^(5x)+c$ da cui $y^3=3*(e^(5x)+c)=> y(x)=root3(3*(e^(5x)+c))$ con $c in RR$
A me viene giusta, infatti:
$y(x)=(3e^(5x))^(1/3)=>
1)$y^2(x)=(3e^(5x))^(2/3) $
2)$y'(x)=1/3*(3e^(5x))^(-2/3)*3*5e^(5x)=(3e^(5x))^(-2/3)*5e^(5x)$
Moltiplicando $y^2 $ con $y'$ si ottiene proprio $5e^(5x)$
Un errore l'hai fatto, ma è tutt'altra cosa (e, secondo me, ben più grave
): hai dimenticato di mettere la costanteNon è $y^3/3=e^(5x)$, ma $y^3/3=e^(5x)+c$ da cui $y^3=3*(e^(5x)+c)=> y(x)=root3(3*(e^(5x)+c))$ con $c in RR$
Io direi che vi siete dimenticati di mettere 2 costanti (visto che l'equazione è del secondo ordine):
[tex]$y(x)=\sqrt[3]{c_1 e^{5x}+c_2}$[/tex]
[tex]$y(x)=\sqrt[3]{c_1 e^{5x}+c_2}$[/tex]
Beccato lo sbagliato! Ho sbagliato la derivata...
Guarda infatti
$y=(3e^(5x))^(1/3)$
$y'=5(3e^(5x))^(-2/3)e^(5x)$
$y'y^2=5e^(5x)$
Cmq dici che è grave la costante? Anche se viene lo stesso?
Guarda infatti
$y=(3e^(5x))^(1/3)$
$y'=5(3e^(5x))^(-2/3)e^(5x)$
$y'y^2=5e^(5x)$
Cmq dici che è grave la costante? Anche se viene lo stesso?
Ciampax l'equazione è del primo ordine, non vorrei dire cretinate ma non ci sono derivate seconde, sbaglio?
"squalllionheart":
$d/(dx)(y'y^2)=5y'y^2$
A me questa pare del secondo ordine... oppure [tex]$\frac{d}{dx}$[/tex] indica una costante?
io ho considerato il secondo membro poi dervando torna tutto... non so avevo poche certezze 
"ciampax":Sì, è vero, ci volevano due costanti. E' che avevo guardato con attenzione solo l'ultima parte e non mi ero accorto della prima dimenticanza.
Io direi che vi siete dimenticati di mettere 2 costanti (visto che l'equazione è del secondo ordine):
[tex]$y(x)=\sqrt[3]{c_1 e^{5x}+c_2}$[/tex]
Comunque, ad occhio, direi che la soluzione giusta è un'altra: $y(x)=root3(3e^(5x)+cx+d)
E allora rimarrai cecato! Se poni [tex]$h(x)=y' y^2$[/tex] allora deve essere [tex]$h'(x)=5h(x)\ \Rightarrow\ h(x)=c_1 e^{5x}$[/tex] e quindi
[tex]$\int y^2\ dy=\int c_1 e^{5x}\ dx\ \Rightarrow\ \frac{y^3}{3}=c'_1 e^{5x}+c_2$[/tex]
(dove [tex]$c_1'=\frac{c_1}{5}$[/tex] è un'altra costante arbitraria). E da qui la soluzione.
Se poni [tex]$h(x)=y' y^2$[/tex] allora deve essere [tex]$h'(x)=5h(x)\ \Rightarrow\ h(x)=c_1 e^{5x}$[/tex] e quindi[tex]$\int y^2\ dy=\int c_1 e^{5x}\ dx\ \Rightarrow\ \frac{y^3}{3}=c'_1 e^{5x}+c_2$[/tex]
(dove [tex]$c_1'=\frac{c_1}{5}$[/tex] è un'altra costante arbitraria). E da qui la soluzione.
mi spiegate bene per favore come avete trovato la soluzione?
L'ho scritto sopra. Praticamente ho fatto quello che hai fatto tu, solo che ci ho messo le costanti giuste.
Domani vado dall'oculista 
(in realtà l'errore mio è stato risolvere $h'(x)=5h(x)$ così: $h(x)=e^(5x)+c_1$](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
)
(in realtà l'errore mio è stato risolvere $h'(x)=5h(x)$ così: $h(x)=e^(5x)+c_1$
)
"Gi8":
Domani vado dall'oculista
(in realtà l'errore mio è stato risolvere $h'(x)=5h(x)$ così: $h(x)=e^(5x)+c_1$
Loooooooooooooooooolllllllll!
Non ti abbattere, capita a tutti.
Le costanti... ci beffano...
"Chi di costante corregge, di costante viene corretto"
aahhaha fatemi finire di rifarlo per conto mio cosi poi vi libero dall'onere ;p
Grazie ad entrambi
Grazie ad entrambi
Chi si impegna con costanza, la costante sopravanza! E adesso finiamola prima che Gugo ci cacci a claci a tutti e tre!
Fermi a me viene con queste costanti benedette $y=sqrt(3e^(5x+c_1)+c_2)$
Va bene?
Così chiudiamo e andiamo a nanna..
Così chiudiamo e andiamo a nanna..
A parte il fatto che la radice è cubica, potresti scrivere i passaggi?
avevamo che $h(x)=y'y^2=e^(5x+c_1)$
abbiamo che $h'(x)=5h(x)$
segue che
$y'y^2=5e^(5x+c_1)$
Da qui
$int dy y^2= int 5e^(5x+c_1)dx$
$y^3/3=e^(5x+c_1)+c_2$
$y^3=3e^(5x+c_1)+c_2$
$y=(3e^(5x+c_1)+c_2)^(1/3)$
Spero che vada bene...Grazie in anticipo
abbiamo che $h'(x)=5h(x)$
segue che
$y'y^2=5e^(5x+c_1)$
Da qui
$int dy y^2= int 5e^(5x+c_1)dx$
$y^3/3=e^(5x+c_1)+c_2$
$y^3=3e^(5x+c_1)+c_2$
$y=(3e^(5x+c_1)+c_2)^(1/3)$
Spero che vada bene...Grazie in anticipo
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