Equazione Differenziale
Salve a tutti!
Vorrei qualche spiegazione pratica su come risolvere equazioni differenziali del tipo $y'=f(\frac{a*x+b*y+c}{a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}})$. Teoricamente mi è chiaro come procedere, ma poi passando alla pratica "mi perdo".
Ad esempio, considerando l'equazione $y'=\frac{2x+y+1}{2x-y-1}$, ho visto che il determinante del sistema ${ ( X=2x+y+1 ),( Y=2x-y-1 ):}$ è -4, quindi con cramer ho ricavato $x$ e $y$: ${ ( x=-\frac{1}{4}X-\frac{1}{4}(X-1)Y+\frac{1}{4} ),( y=-X+(1-X)Y+1 ):}$
Arrivata qui non so proprio come procedere!!
Grazie dell'aiuto!
Vorrei qualche spiegazione pratica su come risolvere equazioni differenziali del tipo $y'=f(\frac{a*x+b*y+c}{a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}})$. Teoricamente mi è chiaro come procedere, ma poi passando alla pratica "mi perdo".
Ad esempio, considerando l'equazione $y'=\frac{2x+y+1}{2x-y-1}$, ho visto che il determinante del sistema ${ ( X=2x+y+1 ),( Y=2x-y-1 ):}$ è -4, quindi con cramer ho ricavato $x$ e $y$: ${ ( x=-\frac{1}{4}X-\frac{1}{4}(X-1)Y+\frac{1}{4} ),( y=-X+(1-X)Y+1 ):}$
Arrivata qui non so proprio come procedere!!
Grazie dell'aiuto!
Risposte
non c'è nessuno che possa darmi una mano? 
[mod="gugo82"]Occhio agli up ravvicinati: non sono consentiti da regolamento (cfr. 3.4)[/mod]
La tua equazione è di quelle riconducibili a variabili separabili.
L'argomento della [tex]$f$[/tex] a secondo membro è una funzione razionale del tipo:
[tex]$\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$[/tex];
se numeratore e denominatore verificano la condizione [tex]$D:=\begin{vmatrix} a & b \\ a_1 & b_1\end{vmatrix} \neq 0$[/tex], le due equazioni lineari [tex]$ax+by+c=0,\ a_1x+b_1y+c_1=0$[/tex] rappresentano due rette secanti il cui punto d'intersezione ha coordinate:
[tex]$x_0=\frac{1}{D}\ \begin{vmatrix} c & b \\ c_1 & b_1\end{vmatrix}$[/tex] e [tex]$y_0=\frac{1}{D}\ \begin{vmatrix} a & c \\ a_1 & c_1\end{vmatrix}$[/tex];
se ricordi un po' di Geometria, questo comporta che puoi scrivere:
[tex]$\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1} =\frac{a(x-x_0)+b(y-y_0)}{a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0)}$[/tex]
quindi mettendo in evidenza $x-x_0$ (supponendo $x\neq x_0$) e semplificando, hai:
[tex]$\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1} =\frac{a+b\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}{a_1+b_1\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}$[/tex],
sicché l'equazione [tex]$y^\prime =f( \tfrac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1})$[/tex] la puoi scrivere nella forma:
[tex]$y^\prime =f \left( \frac{a+b\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}{a_1+b_1\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}\right)$[/tex].
Come facile immaginare ora la sostituzione da fare è [tex]$u=\tfrac{y-y_0}{x-x_0}$[/tex]: infatti in tal modo hai:
[tex]$y=y_0+u\ (x-x_0) \ \Rightarrow\ y^\prime =u^\prime\ (x-x_0)+u$[/tex],
e la tua equazione si trasforma nell'equazione ausiliaria in [tex]$u$[/tex]:
[tex]$u^\prime\ (x-x_0)+u =f \left( \frac{a+b\ u}{a_1+b_1\ u}\right)$[/tex]
che è a variabili separabili, poiché si riscrive:
[tex]$\frac{u^\prime}{f \left( \frac{a+b\ u}{a_1+b_1\ u}\right) -u} =\frac{1}{x-x_0}$[/tex].
Trovata la [tex]$u$[/tex], per trovare [tex]$y$[/tex] basta tener presente l'uguaglianza [tex]$y=y_0+u\ (x-x_0)$[/tex].
Nel caso in esame non c'è nemmeno bisogno di determinare [tex]$D$[/tex] ed [tex]$x_0,\ y_0$[/tex] con le procedure testè illustrate: infatti si vede ad occhio che:
[tex]$\frac{2x+y+1}{2x-y-1} =\frac{2+\frac{y+1}{x}}{2-\frac{y+1}{x}}$[/tex]
sicché la sostituzione da fare è [tex]$u=\frac{y+1}{x}$[/tex].
La tua equazione è di quelle riconducibili a variabili separabili.
L'argomento della [tex]$f$[/tex] a secondo membro è una funzione razionale del tipo:
[tex]$\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$[/tex];
se numeratore e denominatore verificano la condizione [tex]$D:=\begin{vmatrix} a & b \\ a_1 & b_1\end{vmatrix} \neq 0$[/tex], le due equazioni lineari [tex]$ax+by+c=0,\ a_1x+b_1y+c_1=0$[/tex] rappresentano due rette secanti il cui punto d'intersezione ha coordinate:
[tex]$x_0=\frac{1}{D}\ \begin{vmatrix} c & b \\ c_1 & b_1\end{vmatrix}$[/tex] e [tex]$y_0=\frac{1}{D}\ \begin{vmatrix} a & c \\ a_1 & c_1\end{vmatrix}$[/tex];
se ricordi un po' di Geometria, questo comporta che puoi scrivere:
[tex]$\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1} =\frac{a(x-x_0)+b(y-y_0)}{a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0)}$[/tex]
quindi mettendo in evidenza $x-x_0$ (supponendo $x\neq x_0$) e semplificando, hai:
[tex]$\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1} =\frac{a+b\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}{a_1+b_1\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}$[/tex],
sicché l'equazione [tex]$y^\prime =f( \tfrac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1})$[/tex] la puoi scrivere nella forma:
[tex]$y^\prime =f \left( \frac{a+b\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}{a_1+b_1\ \frac{y-y_0}{x-x_0}}\right)$[/tex].
Come facile immaginare ora la sostituzione da fare è [tex]$u=\tfrac{y-y_0}{x-x_0}$[/tex]: infatti in tal modo hai:
[tex]$y=y_0+u\ (x-x_0) \ \Rightarrow\ y^\prime =u^\prime\ (x-x_0)+u$[/tex],
e la tua equazione si trasforma nell'equazione ausiliaria in [tex]$u$[/tex]:
[tex]$u^\prime\ (x-x_0)+u =f \left( \frac{a+b\ u}{a_1+b_1\ u}\right)$[/tex]
che è a variabili separabili, poiché si riscrive:
[tex]$\frac{u^\prime}{f \left( \frac{a+b\ u}{a_1+b_1\ u}\right) -u} =\frac{1}{x-x_0}$[/tex].
Trovata la [tex]$u$[/tex], per trovare [tex]$y$[/tex] basta tener presente l'uguaglianza [tex]$y=y_0+u\ (x-x_0)$[/tex].
Nel caso in esame non c'è nemmeno bisogno di determinare [tex]$D$[/tex] ed [tex]$x_0,\ y_0$[/tex] con le procedure testè illustrate: infatti si vede ad occhio che:
[tex]$\frac{2x+y+1}{2x-y-1} =\frac{2+\frac{y+1}{x}}{2-\frac{y+1}{x}}$[/tex]
sicché la sostituzione da fare è [tex]$u=\frac{y+1}{x}$[/tex].
ti ringrazio davvero tanto!!
e scusa per l'up!
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