Equazione differenziale
Cambio topic perchè ho un problema con quell'equazione differenziale 
$4y^{'''} + y' -5y = e^{\lambdax}* (cos(2\lambdax)+1)/2$ ( che bella! )
Allora. Intanto consideriamo l'omogenea
$4y^{'''} + y' -5y = 0$
Applichiamo la soluzione di prova $ e^{\alphax} $ e vediamo che questa è soluzione se e solo se
$ 4\alpha^3 + \alpha -5 = 0 $
ovvero se
$ (\alpha -1)(\4\alpha^2 + 4\alpha+5) = 0$
ovvero se
$ \alpha = 1 $ oppure $ \alpha = -2/4 +- \sqrt( -16 )/4 = -1/2 +- i$
Credo che finora non c'è nessun problema. Passiamo avanti. Spezziamo il termine noto in:
1) $e^{\lambdax}* cos(2\lambdax)/2$
+
2) $e^{\lambdax}/2$
Andiamo con la prima parte.
Scartiamo l'ipotesi Wronskiano perchè mi secca risolvere matrici 3x3 e comunque voglio provare queste benedette soluzioni di prova
Nel termine noto non figura alcun polinomio ma c'è un esponenziale ed un coseno.
Ora, nei miei appunti c'è scritto che se il termine noto è nella forma $ Q(x) e^(ax) { ( cosbx ),( sinbx ):} $ allora la soluzione di prova sarà $ P(x) e^{(a+ib)x} $
Nel mio caso $P(x) = A$ in quanto $Q(x)$ ha grado zero,$ a = \lambdax$ e $b = 2\lambdax $
Notiamo che $ 1 + 2i $ non è soluzione dell'eq caratteristica.
Allora avremo che:
$\Psi = A e^{\lambda(1+i2)x} $
$\Psi' = A \lambda(1+i2) e^{\lambda(1+i2)x} $
$\Psi^{'''} = A \lambda^3(1+i2)^3 e^{\lambda(1+i2)x} $
Sostituiamo ed abbiamo:
$4A \lambda^3(1+i2)^3 e^{\lambda(1+i2)x} + A \lambda(1+i2) e^{\lambda(1+i2)x} - 5 A e^{\lambda(1+i2)x} = e^{\lamda(1+2i)x}/2$
ovvero:
$4A \lambda^3(1+i2)^3 + A \lambda(1+i2) - 5 A = 1/2$
Fin qua giusto? Beh dopo facendo un paio di conti mi viene fuori questa cosa:
$A = 11/( -8\lambda^3(11+2i) + 2\lambda(1+2i))$
Solo che in teoria dopo non dovrei separare parte intera ed immaginaria? Sempre dai miei appunti ho visto che siccome ho il coseno, dovrei prendere la parte reale... Ma come separarla da un fratto come questo?
$4y^{'''} + y' -5y = e^{\lambdax}* (cos(2\lambdax)+1)/2$ ( che bella! )
Allora. Intanto consideriamo l'omogenea
$4y^{'''} + y' -5y = 0$
Applichiamo la soluzione di prova $ e^{\alphax} $ e vediamo che questa è soluzione se e solo se
$ 4\alpha^3 + \alpha -5 = 0 $
ovvero se
$ (\alpha -1)(\4\alpha^2 + 4\alpha+5) = 0$
ovvero se
$ \alpha = 1 $ oppure $ \alpha = -2/4 +- \sqrt( -16 )/4 = -1/2 +- i$
Credo che finora non c'è nessun problema. Passiamo avanti. Spezziamo il termine noto in:
1) $e^{\lambdax}* cos(2\lambdax)/2$
+
2) $e^{\lambdax}/2$
Andiamo con la prima parte.
Scartiamo l'ipotesi Wronskiano perchè mi secca risolvere matrici 3x3 e comunque voglio provare queste benedette soluzioni di prova
Nel termine noto non figura alcun polinomio ma c'è un esponenziale ed un coseno.
Ora, nei miei appunti c'è scritto che se il termine noto è nella forma $ Q(x) e^(ax) { ( cosbx ),( sinbx ):} $ allora la soluzione di prova sarà $ P(x) e^{(a+ib)x} $
Nel mio caso $P(x) = A$ in quanto $Q(x)$ ha grado zero,$ a = \lambdax$ e $b = 2\lambdax $
Notiamo che $ 1 + 2i $ non è soluzione dell'eq caratteristica.
Allora avremo che:
$\Psi = A e^{\lambda(1+i2)x} $
$\Psi' = A \lambda(1+i2) e^{\lambda(1+i2)x} $
$\Psi^{'''} = A \lambda^3(1+i2)^3 e^{\lambda(1+i2)x} $
Sostituiamo ed abbiamo:
$4A \lambda^3(1+i2)^3 e^{\lambda(1+i2)x} + A \lambda(1+i2) e^{\lambda(1+i2)x} - 5 A e^{\lambda(1+i2)x} = e^{\lamda(1+2i)x}/2$
ovvero:
$4A \lambda^3(1+i2)^3 + A \lambda(1+i2) - 5 A = 1/2$
Fin qua giusto? Beh dopo facendo un paio di conti mi viene fuori questa cosa:
$A = 11/( -8\lambda^3(11+2i) + 2\lambda(1+2i))$
Solo che in teoria dopo non dovrei separare parte intera ed immaginaria? Sempre dai miei appunti ho visto che siccome ho il coseno, dovrei prendere la parte reale... Ma come separarla da un fratto come questo?
Risposte
Nessuno che vuole cimentarsi? Ho scritto tutti i passaggi così non avete neanche il bisogno di rifarveli voi, basta che seguite un pò il ragionamento e magari notate dove mi sono inceppato
hai provato a sostituire il cos(2lambda x) con la formula di eulero?
cioè esempio : cos(x) = (e^x + e^-i x)/2
qui ti verrebbe : cos(2lambda x) = [ e^( 2 lambda x) + e^ ( - i 2 lambda x) ] / 2
cioè esempio : cos(x) = (e^x + e^-i x)/2
qui ti verrebbe : cos(2lambda x) = [ e^( 2 lambda x) + e^ ( - i 2 lambda x) ] / 2
Non so perchè, ma il mio professore in questi casi fa sostituzioni del tipo:
$e^(ax)cos(bx) = e^((a+ib)x)$
Anche se non coincide con la formula di eulero o.O
$e^(ax)cos(bx) = e^((a+ib)x)$
Anche se non coincide con la formula di eulero o.O
forse è una piccolezza, ma io il metodo della simiglianza per questi casi la intendo in modo diverso: per $e^(ax)cos(\lambda2x)$ si avrà, nel caso che $a + i\lambda2$ non sia soluzione, una funzione del tipo $e^(ax)[kcos(2\lambdax) + hsen(2\lambdax)]$
Cioè che le costanti da determinare sono su seno e coseno, non sull' esponenziale, in teoria dovrebbe cambiare qulcosa..
Cioè che le costanti da determinare sono su seno e coseno, non sull' esponenziale, in teoria dovrebbe cambiare qulcosa..
Ok allora mi consigliate di non scrivere coseno e seno con la formula di eulero?
Ho fatto un paio di esercizi sul mio eserciziario di analisi, solo che ( guarda un pò che caso ) neanche UNO tra quelli svolti aveva termine noto nella forma $e^(ax)cos(bx)$
Mentre il mio professore lo trasformava sempre nella forma di eulero ( ora che ci penso, neanche io so come, visto che manca l' $isinbx$ ), gli esercizi svolti nell'eserciziario si riportavano sempre nella forma trigonometrica che hai enunciato tu stefano.
Ed effettivamente quando nel temrine noto non c'è l'esponenziale mi è andata bene lavorando con seno e coseno... Il problema è che quando ci sono questi benedetti esponenziali comincio ad impazzire. C'è qualche posto dove posso trovare esercizi svolti online?
Ho fatto un paio di esercizi sul mio eserciziario di analisi, solo che ( guarda un pò che caso ) neanche UNO tra quelli svolti aveva termine noto nella forma $e^(ax)cos(bx)$
Mentre il mio professore lo trasformava sempre nella forma di eulero ( ora che ci penso, neanche io so come, visto che manca l' $isinbx$ ), gli esercizi svolti nell'eserciziario si riportavano sempre nella forma trigonometrica che hai enunciato tu stefano.
Ed effettivamente quando nel temrine noto non c'è l'esponenziale mi è andata bene lavorando con seno e coseno... Il problema è che quando ci sono questi benedetti esponenziali comincio ad impazzire. C'è qualche posto dove posso trovare esercizi svolti online?
piano, forse stai facendo un pò di confusione, riportarsi alla formula di eulero "compatta" è uguale a quella che ho scritto io, solo che forse con il metodo del professore non si nota immediatamente dove vanno le costanti da determinare.
certamente questo ti sarà d' aiuto: http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf
EDIT: per precisare, non è vera l' uguaglianza che hai scritto tre messaggi fa. Quello che il tuo prof voleva dire è che se hai un esponenziale moltiplicato per seno o coseno, allora usi la forma di eulero con i parametri dati dal termine noto..
certamente questo ti sarà d' aiuto: http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf
EDIT: per precisare, non è vera l' uguaglianza che hai scritto tre messaggi fa. Quello che il tuo prof voleva dire è che se hai un esponenziale moltiplicato per seno o coseno, allora usi la forma di eulero con i parametri dati dal termine noto..
Ok... beh è proprio un casino!
Fila tutto abbastanza liscio fino a quando ho solo esponenziali o solo polinomi, oppure polinomi ed esponenziali insieme. Però con queste funzioni trigonometriche...
Sono riuscito ad arrivare alla soluzione nel caso in cui il mio $a + ib$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, ma se lo è tutto si complica un botto...
Avrei come soluzione una del tipo:
$\Psi = xe^x(acosx + bsinx)$
Che si deve derivare due volte e sostituire nell'equazione completa, no? Mamma mia... viene una cosa assurda!
Il mio problema è che, dopo aver fatto 3 ore di calcoli, arrivo ad un'equazione del tipo:
$acosx + bsinx + cxsinx +dxcosx = cosx$
Qui cosa devo fare?? Posso sempre applicare il principio d'identità dei polinomi, imponendo:
$ a = 1 $ $b = 0 $ $c = 0 $ $ d = 0 $ ?
Fila tutto abbastanza liscio fino a quando ho solo esponenziali o solo polinomi, oppure polinomi ed esponenziali insieme. Però con queste funzioni trigonometriche...
Sono riuscito ad arrivare alla soluzione nel caso in cui il mio $a + ib$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, ma se lo è tutto si complica un botto...
Avrei come soluzione una del tipo:
$\Psi = xe^x(acosx + bsinx)$
Che si deve derivare due volte e sostituire nell'equazione completa, no? Mamma mia... viene una cosa assurda!
Il mio problema è che, dopo aver fatto 3 ore di calcoli, arrivo ad un'equazione del tipo:
$acosx + bsinx + cxsinx +dxcosx = cosx$
Qui cosa devo fare?? Posso sempre applicare il principio d'identità dei polinomi, imponendo:
$ a = 1 $ $b = 0 $ $c = 0 $ $ d = 0 $ ?
Comunque esiste un metodo pratico per risolvere l'esercizio.Credo che da qualche parti lo trovi.
l'integrale particolare ha la forma:$v(x)=K_0e^(\lambdax)+e^(\lambdax)(K_1sin(2\lambdax)+K_2cos(2\lambdax)$
(supponendo che $\lambda+2\lambdai$ sia soluzione di $4p^2+p-5=0$)
Deriva $v(x)$ 3 volte e sostituisci le derivate nell'equazione differenziale cioe':
$4v^(''')+v(x)'-5v(x)=e^(\lambdax)*(cos(2\lambdax)+1)/2$ e ti trovi con un sistema $K_0,K_1,K_2$
Non ne sono certo al 100% ma l'ho trovato nei miei appunti
l'integrale particolare ha la forma:$v(x)=K_0e^(\lambdax)+e^(\lambdax)(K_1sin(2\lambdax)+K_2cos(2\lambdax)$
(supponendo che $\lambda+2\lambdai$ sia soluzione di $4p^2+p-5=0$)
Deriva $v(x)$ 3 volte e sostituisci le derivate nell'equazione differenziale cioe':
$4v^(''')+v(x)'-5v(x)=e^(\lambdax)*(cos(2\lambdax)+1)/2$ e ti trovi con un sistema $K_0,K_1,K_2$
Non ne sono certo al 100% ma l'ho trovato nei miei appunti
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