Equazione differenziale
Ciao a tutti
Ho la seguente equazione differenziale:
${(y'=(logx*cosy)/(x*sen2y)),(y(1/e)= \pi/3):}$
Vorrei capire se è a variabili separabili e se lo è come si risolve. A me sembra a variabili separabili ed ho inziato a farla così:
${(y'=(logx/x)*cosy/(2seny*cosy)),(y(1/e)= \pi/3):}$
Semplificando viene:
${(y'=(logx/x)*1/(2seny)),(y(1/e)= \pi/3):}$
Poi ho visto se $g(y)=1/(2seny)=0$ e questa lo è se e solo se $seny=0 => y=k\pi$
Dopodiché non riesco a capire se devo integrare oppure no.
Ho la seguente equazione differenziale:
${(y'=(logx*cosy)/(x*sen2y)),(y(1/e)= \pi/3):}$
Vorrei capire se è a variabili separabili e se lo è come si risolve. A me sembra a variabili separabili ed ho inziato a farla così:
${(y'=(logx/x)*cosy/(2seny*cosy)),(y(1/e)= \pi/3):}$
Semplificando viene:
${(y'=(logx/x)*1/(2seny)),(y(1/e)= \pi/3):}$
Poi ho visto se $g(y)=1/(2seny)=0$ e questa lo è se e solo se $seny=0 => y=k\pi$
Dopodiché non riesco a capire se devo integrare oppure no.
Risposte
Io devo ancora fare le equazioni differenziali bene, però mi sembra che risolvere questo problema non sia troppo difficile... L'equazione differenziale è (credo) a variabili separabili, quindi io ho separato le variabili ottenendo:
$2y'siny=(logx)/x$, da cui, integrando:
$\int 2y'sinydy=\int (logx)/xdx rarr -2cosy=(log^2x)/2 + c rarr y=arccos(-(log^2x)/4)+c$
$2y'siny=(logx)/x$, da cui, integrando:
$\int 2y'sinydy=\int (logx)/xdx rarr -2cosy=(log^2x)/2 + c rarr y=arccos(-(log^2x)/4)+c$
Aspetta non so se è giusto. Un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili è del tipo $y'=f(x)*g(y)$; perché hai portato a sinistra $2seny$? Io avevo messo proprio $f(x)=logx/x$ e $g(y)=1/(2seny)$
Ho portato a sinistra $2siny$ perché ho visto che in quel modo potevo integrare separatamente e risolvere l'equazione... Poi non so se è corretto... è uno dei primi esercizi sulle equazioni differenziali che faccio...
Sono andato a guardare la teoria sul libro del liceo... Rigorosamente un'equazione differenziale del primo ordine è del tipo $y'=f(x)*g(y)$ con $f(x)$ e $g(y)$ continue e $g(y)!=0$.
Tenendo presente che $y'=(dy)/(dx)$ ottengo:
$(dy)/g(y)=f(x)dx$
integrando ottengo:
$G(y)=F(x)$
da cui $y=G^(-1)[F(x)]$
Credo che il procedimento generale sia questo... non so però se ci sono eccezioni, o se ho commesso qualche errore...
Tenendo presente che $y'=(dy)/(dx)$ ottengo:
$(dy)/g(y)=f(x)dx$
integrando ottengo:
$G(y)=F(x)$
da cui $y=G^(-1)[F(x)]$
Credo che il procedimento generale sia questo... non so però se ci sono eccezioni, o se ho commesso qualche errore...
Non posso astenermi dal suggerire di dare un'occhiata qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
E' certo a variabili separabili.
Suggerisco di fare sempre una verifica: sia del fatto che la funzione trovata risolva l'equazione differenziale, sia che soddisfi la condizione iniziale.
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
E' certo a variabili separabili.
Suggerisco di fare sempre una verifica: sia del fatto che la funzione trovata risolva l'equazione differenziale, sia che soddisfi la condizione iniziale.
"Manugal":
Poi ho visto se $g(y)=1/(2seny)=0$ e questa lo è se e solo se $seny=0 => y=k\pi$
Ma anche no... una frazione è nulla se e solo se il suo NUMERATORE è nullo. Se il suo denominatore è nullo non esiste proprio!
Hai ragione Megan00b. Quindi questa non si annulla mai. Giusto?
Ma a questo punto, facendo riferimento anche gli appunti postati sopra, io devo verificare se la condizione inziale è soddisfatta dall'equazione. Ma come faccio a verificarlo? Devo prima integrare entrambe i membri no?
Allora ho fatto:
$\int 2seny*y'(t)*dt = \int logx/x*dx$
da cui operando la sostituzione $y'(t)dt=dy$ ottengo:
$\int 2seny*dy = \int logx/x*dx$
Vado avanti così?
Ma a questo punto, facendo riferimento anche gli appunti postati sopra, io devo verificare se la condizione inziale è soddisfatta dall'equazione. Ma come faccio a verificarlo? Devo prima integrare entrambe i membri no?
Allora ho fatto:
$\int 2seny*y'(t)*dt = \int logx/x*dx$
da cui operando la sostituzione $y'(t)dt=dy$ ottengo:
$\int 2seny*dy = \int logx/x*dx$
Vado avanti così?
Ritrovando inoltre il compitino dove avevo fatto questa equazione, la prof mi ha detto che in pratica non devo integrare. Non ho capito però perché? 
Io invece non ho capito da dove hai tirato fuori la variabile t...forse sono rincoglionito io...spiegami cosa hai fatto e forse posso aiutarti.
Scusa ma forse ho sbagliato a scrivere la variabile, comunque cambia poco. Il fatto è che una volta che pongo $y'(t)dt=dy$ nel primo integrale, poi non so se devo continuare, perché la professoressa mi ha detto che non dovevo integrare. E' questo che non capisco, perchè non devo integrare.
Credo che faresti bene a guardare la dispensina che ha linkato Fioravante Patrone riguardo al metodo di risoluzione che stai usando.
Gli darò un'ulteriore occhiata anche se è un po' troppo difficile per i miei standard 
Allora mi sono riletto la dispensa. Non ho capito alcune cose:
- Perché usa $\phi(x)$ o $\phi'(x)$ ogni volta che inizia a risolvere un'equazione differenziale? A me hanno insegnato così. Se $g(y)$ non si annulla, dividere ambo i membri per la $g(y)$ ottenendo $(y'(x))/g(y) = f(x)$ e poi integrando in $dx$ su entrambe ottenendo $\int (y'(x))/g(y)*dx = \int f(x)*dx$. Da qui, effettuando la sostituizione (che cercavo di spiegare prima), $y'(x)dx=dy$ ottengo $\int dy/g(y) = \int f(x)*dx$. Ripeto: quello che non ho capito è perchè lì non posso integrare.
- Perché fa l'integrale definito tra $x_0$ e $x$ quando ci sono delle condizioni iniziali? Con il metodo che mi hanno insegnato verifico la condizione una volta che ho trovato la soluzione generale.
- Perché usa $\phi(x)$ o $\phi'(x)$ ogni volta che inizia a risolvere un'equazione differenziale? A me hanno insegnato così. Se $g(y)$ non si annulla, dividere ambo i membri per la $g(y)$ ottenendo $(y'(x))/g(y) = f(x)$ e poi integrando in $dx$ su entrambe ottenendo $\int (y'(x))/g(y)*dx = \int f(x)*dx$. Da qui, effettuando la sostituizione (che cercavo di spiegare prima), $y'(x)dx=dy$ ottengo $\int dy/g(y) = \int f(x)*dx$. Ripeto: quello che non ho capito è perchè lì non posso integrare.
- Perché fa l'integrale definito tra $x_0$ e $x$ quando ci sono delle condizioni iniziali? Con il metodo che mi hanno insegnato verifico la condizione una volta che ho trovato la soluzione generale.
Provo a farla con il metodo della dispensa:
$\phi'(x) * 2sen\phi(x) = logx/x$
Integro in dx:
$\int_(1/e)^x \phi'(x) * 2sen\phi(x) dx = \int_(1/e)^x logx/x$
Sostituendo $t=\phi(x)$ ottengo:
$\int_(\pi/3)^(\phi(x)) 2sent dt = \int_(1/e)^x logx dx$
Risolvendo gli integrali ottengo:
$[-2cosy]_(\pi/3)^(\phi(x)) = - [log|t|]_(1/e)^x$
$-2cos\phi(x)-2cos(\pi/3) = -logx - log(1/e)$
Dopo tutti i passaggi ottengo:
$\phi(x)=arcos((-logx-log(1/e)+2cos(\pi/3))/2)$
Questo sarebbe l'integrale generale?
$\phi'(x) * 2sen\phi(x) = logx/x$
Integro in dx:
$\int_(1/e)^x \phi'(x) * 2sen\phi(x) dx = \int_(1/e)^x logx/x$
Sostituendo $t=\phi(x)$ ottengo:
$\int_(\pi/3)^(\phi(x)) 2sent dt = \int_(1/e)^x logx dx$
Risolvendo gli integrali ottengo:
$[-2cosy]_(\pi/3)^(\phi(x)) = - [log|t|]_(1/e)^x$
$-2cos\phi(x)-2cos(\pi/3) = -logx - log(1/e)$
Dopo tutti i passaggi ottengo:
$\phi(x)=arcos((-logx-log(1/e)+2cos(\pi/3))/2)$
Questo sarebbe l'integrale generale?
"Manugal":
Ma a questo punto, facendo riferimento anche gli appunti postati sopra, io devo verificare se la condizione inziale è soddisfatta dall'equazione. Ma come faccio a verificarlo? Devo prima integrare entrambe i membri no?
Se gli appunti cui fai riferimento qui sono i miei, ci tengo a precisare che sui miei appunti non c'è scritta una cosa simile. La fase da me evidenziata in grassetto è una frase priva di senso.
Penso/spero si sia trattato solo di una svista.
D'accordo sarà stata una svista. Ma quello che ho fatto dopo va bene? Ho provato a farla con il metodo della dispensa.
"Manugal":Io sto parlando di una funzione, soluzione dell'equazione differenziale. Posso chiamarla come mi pare e piace. Anche scimmia$(x)$.
- Perché usa $\phi(x)$ o $\phi'(x)$ ogni volta che inizia a risolvere un'equazione differenziale? A me hanno insegnato così. Se $g(y)$ non si annulla, dividere ambo i membri per la $g(y)$ ottenendo $(y'(x))/g(y) = f(x)$ e poi integrando in $dx$ su entrambe ottenendo $\int (y'(x))/g(y)*dx = \int f(x)*dx$. Da qui, effettuando la sostituizione (che cercavo di spiegare prima), $y'(x)dx=dy$ ottengo $\int dy/g(y) = \int f(x)*dx$. Ripeto: quello che non ho capito è perchè lì non posso integrare.
La chiamo $\phi(x)$ perché a mio parere, così facendo, diminuisce il rischio di confusione. Ritengo, insomma, che sia didatticamente più efficace.
Quanto a questo: "quello che non ho capito è perchè lì non posso integrare", immagino tu ti riferisca a quanto detto dalla tua prof.
"Manugal":Ogni metodo è utilizzabile, se corretto.
- Perché fa l'integrale definito tra $x_0$ e $x$ quando ci sono delle condizioni iniziali? Con il metodo che mi hanno insegnato verifico la condizione una volta che ho trovato la soluzione generale.
Non mi pare molto furbo, se ho le c.i. e quindi devo risolvere un problema di Cauchy, andare a calcolare un integrale indefinito, per trovarmi tra i piedi delle costanti di integrazione che tanto poi "ammazzerò" con le c.i. Mi pare un giro inutilmente tortuoso, per questo uso l'integrazione definita.
Non è un dramma, seguire il percorso tortuoso, perché in effetti, dal punto di vista calcolistico, non cambia moltissimo. Tranne che per un aspetto, quando si deve decidere su quale intervallo $K$ invertire la funzione $B$. Qui sì che si rischia di perdere un po' di tempo, ed anche di sbagliare. In particolare, se uno si tova davanti a "cattiverie" come quelle dell'esempio 5 di pag. 9.
Ok questi punti ora sono chiari. Grazie.
Però, scusate se mi ripeto, posso sapere se sto facendo bene? E perché non dovrei integrare? (Mi riferisco a quanto detto dalla mia prof.)
Però, scusate se mi ripeto, posso sapere se sto facendo bene? E perché non dovrei integrare? (Mi riferisco a quanto detto dalla mia prof.)
"Manugal":
Provo a farla con il metodo della dispensa:
$\int_(\pi/3)^(\phi(x)) 2sent dt = \int_(1/e)^x logx dx$
Risolvendo gli integrali ottengo: [NO, L'INTEGRAZIONE A DESTRA NON VA BENE Vedi maurer]
$[-2cosy]_(\pi/3)^(\phi(x)) = - [log|t|]_(1/e)^x$
[QUI SOTTO C'E' UN EVIDENTE ERRORE DI SEGNO]
$-2cos\phi(x)-2cos(\pi/3) = -logx - log(1/e)$
Dopo tutti i passaggi ottengo:
$\phi(x)=arcos((-logx-log(1/e)+2cos(\pi/3))/2)$
Questo sarebbe l'integrale generale?
Questo non è l'integrale generale. Anche se avessi fatto i conti giusti, hai già incorporato la c.i. e quindi ottieni la soluzione (una, unica!) del problkema di Cauchy assegnato.
Scusa ho sbagliato a scrivere ma l'integrazione a destra era: $\int_(1/e)^x logx/x dx$
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