Equazione differenziale
ciao!
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
Risposte
"jestripa":
$2a-2ax-b-e^2x-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^2x$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
non farti fregare! $e^2$ è un numero come tutti gli altri
quindi:
$2a-2ax-b-e^2x-1=0$
ti da:
$2a-b=1$
come hai scritto tu, e:
$-2a-e^2=0$
scusa ho sbagliato con le parentesi!
l'esercizio ora è corretto!
"jestripa":
ciao!
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
Il problema è il "quindi" che ho evidenziato.
Hai trovato l'integrale generale dell'omogenea.
Devi trovare un integarle particolare della non omogenea.
Che ci sarà, del tipo $Hx + K e^(2x)$.
$H$ e $K$ le determini imponendo che sia soluzione dell'equazione non omogenea.
Notare che serve $Hx$ invece di $H$, perché le costanti sono già soluzioni dell'equazione omogenea.
quindi,se ho capito bene:
$y(x)=A+Be^x$
metto a sistema:
$A'+B'e^x=0$
$B'e^x=e^(2x)+1$
allora
$B'=e^(2x)+1/e^x$
$A'=-e^(2x)-1$
allora
$A=int(-e^(2x)-1)dx=-e^(2x)/2+x$
$B=e^x-1/e^x$
quindi la soluzione è
$y(x)=A+B^x-e^(2x)/2+x+e^x-1/e^x$
giusto?
$y(x)=A+Be^x$
metto a sistema:
$A'+B'e^x=0$
$B'e^x=e^(2x)+1$
allora
$B'=e^(2x)+1/e^x$
$A'=-e^(2x)-1$
allora
$A=int(-e^(2x)-1)dx=-e^(2x)/2+x$
$B=e^x-1/e^x$
quindi la soluzione è
$y(x)=A+B^x-e^(2x)/2+x+e^x-1/e^x$
giusto?
"jestripa":
quindi,se ho capito bene:
$y(x)=A+Be^x$
metto a sistema:
$A'+B'e^x=0$
$B'e^x=e^(2x)+1$
allora
$B'=e^(2x)+1/e^x$
$A'=-e^(2x)-1$
allora
$A=int(-e^(2x)-1)dx=-e^(2x)/2+x$
$B=e^x-1/e^x$
quindi la soluzione è
$y(x)=A+B^x-e^(2x)/2+x+e^x-1/e^x$
giusto?
Non capisco perche' hai ignorato il mio post.
Comunque la strada che hai seguito qui sopra e' sbagliatissima.
Riguardati la teoria su come si trova un integrale particolare dell'equaizone non omogenea.
scusami,ma credo di avere un pò di confusione!
farò come mi hai suggerito,riguardo la teoria e poi tenterò di nuovo!
grazie!
farò come mi hai suggerito,riguardo la teoria e poi tenterò di nuovo!
grazie!
Comunque la strada che hai seguito qui sopra e' sbagliatissima.
A me sembra che jestripa abbia usato correttamente il metodo "delle costanti arbitrarie"
(che mi pare quello standard che si insegna ai corsi di analisi). Forse c'e' un errore nell'ultimo passaggio.
E' vero che quello che proponi tu e' piu' semplice in questo caso, essendo il dato somma di polinomi ed
esponenziali, ma non direi che la sua strada sia sbagliatissima.
infatti ho appena terminato di riguardare la teoria e confermo che il metodo usato è quello della variazione delle costanti.
poi,sono alle prime armi e non sono molto certa di quello che faccio ancora!
credo solo di aver dimenticato le costanti di integrazione,per svolgere il problema di cauchy ed arrivare all'integrale particolare.
poi,sono alle prime armi e non sono molto certa di quello che faccio ancora!
credo solo di aver dimenticato le costanti di integrazione,per svolgere il problema di cauchy ed arrivare all'integrale particolare.
cmq,se fioravante hai un pò di pazienza nel spiegarmi come sei arrivato a quella soluzione che non ho capito,accetto tutto volentieri!sono qui pe imparare!
e poi il metodo che ho seguito dal libro,non mi da alcun esempio con il problema di cauchy,quindi quando dici che è sbagliato,magari lo è proprio perchè non lo si può usare in questo caso!infatti non so dove devo inserire le condizioni iniziali!
help!
e poi il metodo che ho seguito dal libro,non mi da alcun esempio con il problema di cauchy,quindi quando dici che è sbagliato,magari lo è proprio perchè non lo si può usare in questo caso!infatti non so dove devo inserire le condizioni iniziali!
help!
@ViciousGoblinEnters
Hai ragione!
Chiedo scusa a jestripa. Ero fissato sul metodo che gli avevo proposto, da cui si capisce anche che il risultato suo finale non va bene. Pensavo, in malafede, che stesse seguendo una strada, per l'appunto, sbagliata.
Hai ragione!
Chiedo scusa a jestripa. Ero fissato sul metodo che gli avevo proposto, da cui si capisce anche che il risultato suo finale non va bene. Pensavo, in malafede, che stesse seguendo una strada, per l'appunto, sbagliata.
Il metodo che suggerivo io è descritto, in un esempio, qui da Gugo82:
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... hp?t=26131
e qui da Nidhogg:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#111036
mi sa che comunque il migliore sia il suggerimento di Camillo:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp73533.html#73533
il pdf che suggerisce di vedere e' una paginetta scritta dalla Maluta (presumo)
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... hp?t=26131
e qui da Nidhogg:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#111036
mi sa che comunque il migliore sia il suggerimento di Camillo:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp73533.html#73533
il pdf che suggerisce di vedere e' una paginetta scritta dalla Maluta (presumo)
allora,premetto che qualche dubbio ancora ce l'ho,ma rifacendo l'esercizio mi viene come soluzione finale:
$y=x+1/2e^(2x)-1$
potrebbe andare?
a me sembra ragionevole,l'unico dubbio che ho è che non ho inserito da nessuna parte le condizioni iniziali!
$y(0)=-1$
e
$y'(0)=-2$
che se me le hanno fornite da qualche parte dovranno essere usate!
help!
$y=x+1/2e^(2x)-1$
potrebbe andare?
a me sembra ragionevole,l'unico dubbio che ho è che non ho inserito da nessuna parte le condizioni iniziali!
$y(0)=-1$
e
$y'(0)=-2$
che se me le hanno fornite da qualche parte dovranno essere usate!
help!
negli altri esercizi che ho svolto (equazioni diff del 1 ordine)serviva per trovare la costante di integrazione,e ne avevo solo una di condizione.
questo è la prima equazione del 2 ordine che svolgo e c'è già questa particolarità.
arrivata a questo punto,che cosa dovrei fare?
questo è la prima equazione del 2 ordine che svolgo e c'è già questa particolarità.
arrivata a questo punto,che cosa dovrei fare?
"jestripa":
allora,premetto che qualche dubbio ancora ce l'ho,ma rifacendo l'esercizio mi viene come soluzione finale:
$y=x+1/2e^(2x)-1$
potrebbe andare?
a me sembra ragionevole,l'unico dubbio che ho è che non ho inserito da nessuna parte le condizioni iniziali!
$y(0)=-1$
e
$y'(0)=-2$
che se me le hanno fornite da qualche parte dovranno essere usate!
help!
quando tu dici "soluzione finale", presumo ti riferisci a quello che ottinei dal metodo della variazione delle costanti arbitrarie
se cosi' e', quella e' comunque solo una "soluzione particolare" dell'equazione, non ti da' tutte le zoluzioni dell'equazione differenziale e quindi non e' per nulla garantito che soddisfi le condizioni iniziali
comunque la tua soluzione non va bene, perche' non soddisfa l'equaione differenziale. Devi aver fatto qualche errore di conto
Vediamo come si fa a risolvere il tuo problema.
1. si risolve l'equazione differenziale omogenea. Cosa che avevi gia' fatto.
Tutte e sole le soluzioni dell'equazione differenziale omogenea sono le funzioni $A+Be^x$, al variare delle costanti reali $A$ e $B$
2. si trova una soluzione dell'equazione differenziale data (la "non omogenea") col metodo che vuoi:
- quello della variazione delle costanti arbitrarie
- il metodo che suggerivo io (vedi appunti di Maluta), se applicabile
- annichilatori
- facendosela dire in sogno dalla trisavola Guglielmina
Nel tuo caso, una soluzione e' $-x + 1/2 e^(2x)$, come puoi verificare
3. allora tutte e sole le soluzioni della tua equazione differenziale data sono date da: $A + B e^x -x + 1/2 e^(2x)$, dove $A$ e $B$ sono, come detto, due costanti reali
4. imponi che $A + B e^x -x + 1/2 e^(2x)$ soddisfi le condizioni iniziali. Le equazioni che ottieni ti permettono di determinare $A$ e $B$ e cosi' trovi la soluzione del pb di Cauchy dato (che il pb abbia una ed una sola soluzione e' garantito da un teorema)
quella che tu chiami una soluzione è la mia costante A!
per soluzione finale intendo la soluzione particolare ed ho specificato che non avevo ancora inserito le condizioni iniziali!sorry!
non credo che ci siano errori nei miei conti,ora te li riporto:
punto 1)
$y=A+Be^x$
e siamo daccordo
punto 2)
soluzione particolare
$y'=A'+B'e^x+Be^x$
impongo che sia $A'+B'e^x=0$
allora
$y''=B'e^x+Be^x$
sostituisco nell'equazione iniziale:
$B'e^x+Be^x-Be^x=e^(2x)+1$
$B'=e^(2x)+1/e^x$
$B=e^x-1/e^x$
mi trovo A sostituendo B nella condizione che ho imposto:
$A'=-B'e^x=-(e^x+1/e^x)e^x=-e^(2x)-1$
quindi
$A=-x-1/2e^(2x)$ (scusami ma ieri sera ho fatto un errore di segno!)
punto 3)
$y=A+Be^x$
$y=-x-1/2e^(2x)+(e^x-1/e^x)e^x$
$y=1/2e^(2x)-x-1$
questo è il metodo che mi hanno insegnato,credo di averlo svolto correttamente,non trovi?
è solo che non so come inserire le condizioni iniziali!
per soluzione finale intendo la soluzione particolare ed ho specificato che non avevo ancora inserito le condizioni iniziali!sorry!
non credo che ci siano errori nei miei conti,ora te li riporto:
punto 1)
$y=A+Be^x$
e siamo daccordo
punto 2)
soluzione particolare
$y'=A'+B'e^x+Be^x$
impongo che sia $A'+B'e^x=0$
allora
$y''=B'e^x+Be^x$
sostituisco nell'equazione iniziale:
$B'e^x+Be^x-Be^x=e^(2x)+1$
$B'=e^(2x)+1/e^x$
$B=e^x-1/e^x$
mi trovo A sostituendo B nella condizione che ho imposto:
$A'=-B'e^x=-(e^x+1/e^x)e^x=-e^(2x)-1$
quindi
$A=-x-1/2e^(2x)$ (scusami ma ieri sera ho fatto un errore di segno!)
punto 3)
$y=A+Be^x$
$y=-x-1/2e^(2x)+(e^x-1/e^x)e^x$
$y=1/2e^(2x)-x-1$
questo è il metodo che mi hanno insegnato,credo di averlo svolto correttamente,non trovi?
è solo che non so come inserire le condizioni iniziali!
Allora, andiamo per punti.
Sul punto 1. siamo d'accordo.
Sul punto 2., la soluzione particolare che trovi e' sbagliata. Come puoi verificare facilmente, calcolando le derivate e sostituendo (e questa dovrebbe essere una cosa da fare sempre!), i conti non tornano. La funzione $-x - 1/2 e^{2x}$ NON e' soluzione della equazione differenziale.
Se sei convinta di questo, poi possiamo passare al punto 3.
Sul punto 1. siamo d'accordo.
Sul punto 2., la soluzione particolare che trovi e' sbagliata. Come puoi verificare facilmente, calcolando le derivate e sostituendo (e questa dovrebbe essere una cosa da fare sempre!), i conti non tornano. La funzione $-x - 1/2 e^{2x}$ NON e' soluzione della equazione differenziale.
Se sei convinta di questo, poi possiamo passare al punto 3.
sono andata nella pagina del docente che mi hai suggerito,ma non ci ho capito molto.....
potresti illustrami i passaggi?
in che caso ci troviamo con il mio $b(x)$?
credo che le soluzioni con i diversi metodi,dovrebbero essere logicamente le stesse!
il tuo metodo sarà valido quanto quello che mi ha insegnato il mio prof,dovremmo avere gli stessi risultati,non credi?
potresti illustrami i passaggi?
in che caso ci troviamo con il mio $b(x)$?
credo che le soluzioni con i diversi metodi,dovrebbero essere logicamente le stesse!
il tuo metodo sarà valido quanto quello che mi ha insegnato il mio prof,dovremmo avere gli stessi risultati,non credi?
non sono convinta.
dimmi dove sbaglio.
io penso di aver fatto dei calcoli giusti!
sapresti dirmi l'errore?
dimmi dove sbaglio.
io penso di aver fatto dei calcoli giusti!
sapresti dirmi l'errore?
scusa ma non l'avevi scritto anche tu che nel mio caso una soluzione era $-x+1/2e^(2x)$???
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