Equazione differenziale
ciao!
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
Risposte
Siamo nel caso 6.
Il primo addendo e' $e^{2x}$. Pertanto caso 2. Sottocaso a). Dove $h=1$ e $k=2$ e quindi devi cercare una soluzione del tipo $He^{kx}$, ovvero $H e^{2x}$.
Il secondo addendo e' 1. Pertanto caso 1. Hai un polinomio di grado $n=0$. Inoltre e' $r=1$. Quindi devi cercare una soluzione del tipo polinomio di grado $m$ con $m=n+r$ e quindi di grado $m=0+1$. Insomma, una soluzione che sia un polinomio del tipo $Mx + N$ (in realta' $N$ non serve a niente).
Visto che siamo nel caso 6, devi poi sommare le due soluzioni ottenute.
Il primo addendo e' $e^{2x}$. Pertanto caso 2. Sottocaso a). Dove $h=1$ e $k=2$ e quindi devi cercare una soluzione del tipo $He^{kx}$, ovvero $H e^{2x}$.
Il secondo addendo e' 1. Pertanto caso 1. Hai un polinomio di grado $n=0$. Inoltre e' $r=1$. Quindi devi cercare una soluzione del tipo polinomio di grado $m$ con $m=n+r$ e quindi di grado $m=0+1$. Insomma, una soluzione che sia un polinomio del tipo $Mx + N$ (in realta' $N$ non serve a niente).
Visto che siamo nel caso 6, devi poi sommare le due soluzioni ottenute.
"jestripa":
scusa ma non l'avevi scritto anche tu che nel mio caso una soluzione era $-x+1/2e^(2x)$???
certo, e lo ribadisco
ma tu hai scritto:
"jestripa":
quella che tu chiami una soluzione è la mia costante A!
...
quindi
$A=-x-1/2e^(2x)$ (scusami ma ieri sera ho fatto un errore di segno!)
Comunque la cosa importante e' che siamo d'accordo che $-x+1/2e^(2x)$ sia una soluzione dellequazione non omogenea.
aspetta,
io ti ho illustrato come arrivare alla soluzione della inomogenea,
te con il tuo metodo vorresti dirmi come fai ad arrivarci partendo da
$y=He^(2x)+Mx$?
intendi y come soluzione particolare,la segnerei ma non so come si fa a scriverlo!
cmq il mio metodo non lo sai correggere?
io ti ho illustrato come arrivare alla soluzione della inomogenea,
te con il tuo metodo vorresti dirmi come fai ad arrivarci partendo da
$y=He^(2x)+Mx$?
intendi y come soluzione particolare,la segnerei ma non so come si fa a scriverlo!
cmq il mio metodo non lo sai correggere?
ti calcoli la derivata di y e poi inserisci le condizioni inziali così ti trovi H e M,giusto?
la soluzione FINALE dovrebbe essere:
$y=A+Be^x +bar y$
dove
$bar y=He^(2x)+Mx$
$y=A+Be^x +bar y$
dove
$bar y=He^(2x)+Mx$
"jestripa":
la soluzione FINALE dovrebbe essere:
$y=A+Be^x +bar y$
dove
$bar y=He^(2x)+Mx$
Esatto.
Solo che $H$ e $M$ non li puoi mettere arbitrari.
$H$ e $M$ li determini imponendo che $\bar y$ sia soluzione dell'equazione differenziale (non omogenea). Detto in parole povere, vai a sostituire e ti ritrovi $H$ e $M$.
ohi,ci sei?
come fai a calcolarti la soluzione dell'inomogenea con il tuo metodo????devo det le costanti H e M!
mi sto confondendo e mi sono bloccata!
come fai a calcolarti la soluzione dell'inomogenea con il tuo metodo????devo det le costanti H e M!
mi sto confondendo e mi sono bloccata!
"jestripa":
ohi,ci sei?
come fai a calcolarti la soluzione dell'inomogenea con il tuo metodo????devo det le costanti H e M!
mi sto confondendo e mi sono bloccata!
Ci sono, come vedi. Ti ho risposto gia' prima che me lo chiedessi.
ok ma rimangono A e B che tu non hai determinato.
ora ci ritroviamo con A,B,H,M
le condizioni iniziali mi danno 2 sole di queste 4 costanti,o no?
ora ci ritroviamo con A,B,H,M
le condizioni iniziali mi danno 2 sole di queste 4 costanti,o no?
"jestripa":
ok ma rimangono A e B che tu non hai determinato.
ora ci ritroviamo con A,B,H,M
le condizioni iniziali mi danno 2 sole di queste 4 costanti,o no?
Calma e gesso.
Parliamo prima della equazione differenziale.
1. $A$ e $B$ restano come costanti arbitrarie
2. $H$ e $M$ le determini come ti ho tetto sopra.
Quindi l'integrale generale della equazione differenziale conterra' due costanti arbitrarie, $A$ e $B$
Infine, imponendo le condizioni iniziali, vengono determinate anche $A$ e $B$. Cioè trovi l'unica soluzione dle problema di Cauchy assegnato.
Come avevo già scritto ai punti 3. e 4. $n$ post fa.
quindi H=-1 e M=0
$y=A+Be^x-e^(2x)$
mi spieghi te come hai fatto a dire che $-x+1/2e^(2x)$ era la soluzione della inomogenea?da dove te la sei ricavata?
$y=A+Be^x-e^(2x)$
mi spieghi te come hai fatto a dire che $-x+1/2e^(2x)$ era la soluzione della inomogenea?da dove te la sei ricavata?
nn ho capito
abbi pazienza ma sto impazzendo!
H e M li ho det con le condizioni iniziali ma mi sa che nn è giusto!nn capiscoooooooooooooooooooooo!odio questo esercizio!
H e M li ho det con le condizioni iniziali ma mi sa che nn è giusto!nn capiscoooooooooooooooooooooo!odio questo esercizio!
"jestripa":
abbi pazienza ma sto impazzendo!
H e M li ho det con le condizioni iniziali ma mi sa che nn è giusto!nn capiscoooooooooooooooooooooo!odio questo esercizio!
infatti, è sbagliato
rileggi con calma quanto ti avevo detto:
"Fioravante Patrone":
[quote="jestripa"]la soluzione FINALE dovrebbe essere:
$y=A+Be^x +bar y$
dove
$bar y=He^(2x)+Mx$
Esatto.
Solo che $H$ e $M$ non li puoi mettere arbitrari.
$H$ e $M$ li determini imponendo che $\bar y$ sia soluzione dell'equazione differenziale (non omogenea). Detto in parole povere, vai a sostituire e ti ritrovi $H$ e $M$.[/quote]
devo derivare 2 volte $bar y$ e andare a sostituire nell'equazione iniziale $y''-y=e^(2x)+1$?
trovandomi:
$2He^(2x)+M=e^(2x)+1$?
e poi?
mi fa male la testa!
trovandomi:
$2He^(2x)+M=e^(2x)+1$?
e poi?
mi fa male la testa!
"jestripa":
devo derivare 2 volte $bar y$ e andare a sostituire nell'equazione iniziale $y''-y=e^(2x)+1$?
trovandomi:
$2He^(2x)+M=e^(2x)+1$?
e poi?
mi fa male la testa!
Attenzione, derivando due volte e andando a sostituire non trovi $2He^(2x)+M=e^(2x)+1$, ma:
$2He^(2x)-M=e^(2x)+1$
Da qui ricavi che deve essere $H = 1/2$ e $M = -1$
"jestripa":
devo derivare 2 volte $bar y$ e andare a sostituire nell'equazione iniziale $y''-y=e^(2x)+1$?
trovandomi:
$2He^(2x)+M=e^(2x)+1$?
e poi?
mi fa male la testa!
jestripa, calma
Non è $2He^(2x)+M=e^(2x)+1$ ma $2He^(2x)-M=e^(2x)+1$. In altri termini, $(2H-1)e^(2x)+1+M=0$. Perché questo sia vero ti basta porre H=1/2 e M=-1.
ok!capito!
ora mi riposo un attimo,che questo esercizio è durato 2 giorni!
grazie per la pazienza fioravante!
ora mi riposo un attimo,che questo esercizio è durato 2 giorni!
grazie per la pazienza fioravante!
cmq ora ho imparato un altro metedo ma mi interesserebbe capire anche come si poteva arrivare al medesimo risultato con il metodo standart che c'è sul libro e che il mio prof usa.
se c'è qualche anima pia che ha voglia di spiegarmi dove fioravante dice che ho sbagliato.....
se c'è qualche anima pia che ha voglia di spiegarmi dove fioravante dice che ho sbagliato.....
L'anima pia potrei essere io stesso...
Tieni conto che:
- odio fare i calcoli (qundi se ci incontriamo mi devi una tazza di cioccolata calda)
- li sbaglio spesso
Allora, l'integrale generale della omogenea è: $A + B e^x$. Ovvero $A \cdot 1 + B \cdot e^x$, mettendo in evidenza due soluzioni fondamentali dell'equazione omogenea.
Per trovare un integrale particolare dell'equazione non omogenea col metodo della variazione delle costanti arbitrarie devi risolvere il sistema costituito dalle seguenti due eqauzioni (mi pare fosse quello che tu avevi scritto 1000 post fa e che io ti avevo dettoc he era "sbagliatissimo". Ero stato tratto in inganno dal fatto che tu trovai una soluzione sbagliata e dal fatto che usavi delle notazioni che io, per abitudine, evito).
Si tratta di trovare una solzuione dell'equazione non omogenea che sia del tipo:
$\alpha(x) \cdot 1 + \beta(x) e^x$.
Le funzioni $\alpha(x)$ e $\beta(x)$ le dtermini risolvendo il seguente sistema
$\alpha'(x) \cdot 1 + \beta'(x) e^x = 0$
$\alpha'(x) \cdot 0 + \beta'(x) e^x = e^(2x) + 1$
Cioè:
$\alpha'(x) + \beta'(x) e^x = 0$
$\beta'(x) e^x = e^(2x) + 1$
Da cui:
$\beta'(x) = e^(x) + e^(-x)$
Sostituendo nella prima:
$\alpha'(x) + e^x (e^(x) + e^(-x))= 0$
da cui:
$\alpha'(x) + e^(2x) + 1 = 0$
Viene (trascuro la costante di integrazione):
$\alpha(x) = - 1/2 e^(2x) - x$
$\beta(x) = e^(x) - e^(-x)$
Sostituisci qui: $\alpha(x) \cdot 1 + \beta(x) \cdot e^x$ e trovi un "integrale particolare":
$( - 1/2 e^(2x) - x) \cdot 1 + (e^(x) - e^(-x)) \cdot e^x$
ovvero
$- 1/2 e^(2x) - x + e^(2x) - 1$
cioè:
$1/2 e^(2x) - x - 1$
Che coincide esattamente con quella che tu avevi trovato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#213372
Giusta punizione per me che non avevo voluto controllare i tuoi conti (il perché l'ho detto all'inizio di questo post).
Tieni conto che:
- odio fare i calcoli (qundi se ci incontriamo mi devi una tazza di cioccolata calda)
- li sbaglio spesso
Allora, l'integrale generale della omogenea è: $A + B e^x$. Ovvero $A \cdot 1 + B \cdot e^x$, mettendo in evidenza due soluzioni fondamentali dell'equazione omogenea.
Per trovare un integrale particolare dell'equazione non omogenea col metodo della variazione delle costanti arbitrarie devi risolvere il sistema costituito dalle seguenti due eqauzioni (mi pare fosse quello che tu avevi scritto 1000 post fa e che io ti avevo dettoc he era "sbagliatissimo". Ero stato tratto in inganno dal fatto che tu trovai una soluzione sbagliata e dal fatto che usavi delle notazioni che io, per abitudine, evito).
Si tratta di trovare una solzuione dell'equazione non omogenea che sia del tipo:
$\alpha(x) \cdot 1 + \beta(x) e^x$.
Le funzioni $\alpha(x)$ e $\beta(x)$ le dtermini risolvendo il seguente sistema
$\alpha'(x) \cdot 1 + \beta'(x) e^x = 0$
$\alpha'(x) \cdot 0 + \beta'(x) e^x = e^(2x) + 1$
Cioè:
$\alpha'(x) + \beta'(x) e^x = 0$
$\beta'(x) e^x = e^(2x) + 1$
Da cui:
$\beta'(x) = e^(x) + e^(-x)$
Sostituendo nella prima:
$\alpha'(x) + e^x (e^(x) + e^(-x))= 0$
da cui:
$\alpha'(x) + e^(2x) + 1 = 0$
Viene (trascuro la costante di integrazione):
$\alpha(x) = - 1/2 e^(2x) - x$
$\beta(x) = e^(x) - e^(-x)$
Sostituisci qui: $\alpha(x) \cdot 1 + \beta(x) \cdot e^x$ e trovi un "integrale particolare":
$( - 1/2 e^(2x) - x) \cdot 1 + (e^(x) - e^(-x)) \cdot e^x$
ovvero
$- 1/2 e^(2x) - x + e^(2x) - 1$
cioè:
$1/2 e^(2x) - x - 1$
Che coincide esattamente con quella che tu avevi trovato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#213372
Giusta punizione per me che non avevo voluto controllare i tuoi conti (il perché l'ho detto all'inizio di questo post).
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